by 
Από το εξαιρετικό physicsgg ένας γρίφος πιθανοτήτων:
Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων.
πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Πρόβλημα 2: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη σχέση μεταξύ των δύο πιθανοτήτων Π και Π‘
Είναι Π=Π΄ ;
Είναι η Π πολύ μεγαλύτερη της Π’ ;
Είναι Π=2Π΄/3 ;
Ισχύει κάτι άλλο;
Όταν θα απαντηθεί (ή θα αγνοηθεί) το ερώτημα, θα γίνει η παραπομπή στην ιστοσελίδα.
Γιάννη γιατί το βλέπω εύκολο;
Πού κάνω λάθος που σκέφτομαι ότι οι δυο πιθανότητες είναι ίσες;
Στο όνομα;
Διονύση αν κάνεις λάθος, έκανα το ίδιο λάθος όταν το διάβασα.
Εκτός αν κάνω τώρα λάθος νομίζοντας ότι εγώ τότε και εσύ τώρα κάναμε λάθος.
Περιμένω και άλλες απαντήσεις πριν στείλω το λινκ του physicsgg με την απάντηση.
Πρόκειται για ένα παράδοξο όπως αυτό του Μόντυ Χωλ.
Γειά σου Γιάννη.
Αν δεν το είχα δει σε διπλανή κουβέντα, θα απαντούσα το α. Ωραίο και αυτό του Μόντυ Χωλ. Αναρωτιέμαι αν οι συμμετέχοντες σε παιχνίδια του τύπου αυτού, το γνωρίζουν.
Ανέφερα κάτι σε διπλανή κουβέντα αλλά όχι τη λύση.
Μπορείς να δώσεις μια λύση φυσικά.
Γεια σου Αποστόλη.
Επειδή το ρίξατε με το Γιάννη στα … συνωμοτικά
, ας δώσω κάτι για το παράδοξο του Μόντυ Χωλ:
Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα.
Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής, βέβαια, δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας ας πούμε την 3η πόρτα, η οποία περιέχει μία κατσίκα.
Εκείνη τη στιγμή, λοιπόν, ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει.
Αν ήσουν στη θέση του παίκτη τι θα επέλεγες να κάνεις;
Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων που ερωτώνται (και έχουν κατανοήσει το πρόβλημα) απαντούν ότι δεν υπάρχει διαφορά όποια πόρτα κι αν διαλέξει ο παίκτης, οπότε και εμμένουν στην αρχική τους επιλογή (δηλ. την 1η πόρτα). Αυτό όμως είναι λάθος, γιατί αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του, και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει διπλάσιες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο!
Για να κατανοήσουμε το γιατί, πρέπει να σκεφτούμε ποιες είναι οι δυνατές στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει ο παίκτης. Υπάρχουν δύο επιλογές:
1) Ο παίκτης επιλέγει μία πόρτα και εμμένει σε αυτήν μέχρι το τέλος, ότι και αν του πει ο παρουσιαστής. Αφού υπάρχουν τρεις πόρτες και ένα αυτοκίνητο, η πιθανότητα νίκης με αυτή τη στρατηγική είναι 1/3.
2) Ο παίκτης επιλέγει αρχικά μία πόρτα και μόλις ο παρουσιαστής ανοίξει μία άλλη πόρτα και αποκαλύψει μία κατσίκα, αλλάζει και επιλέγει την πόρτα που έχει απομείνει. Με αυτή τη στρατηγική, ο παίκτης για να κερδίσει τελικά, οφείλει να επιλέξει αρχικά μία πόρτα με κατσίκα. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει τότε την άλλη πόρτα με την κατσίκα και αλλάζοντας ο παίκτης θα πάρει τελικά το αυτοκίνητο. Έτσι η πιθανότητα νίκης του με αυτή τη δεύτερη στρατηγική είναι 2/3.
Ο λόγος που οι περισσότεροι οδηγούνται στη λανθασμένη επιλογή είναι ότι υποτιμούν τα δεδομένα. Η κατάσταση στην οποία βρεθήκαμε δεν είναι καθόλου ανεξάρτητη από το παρελθόν της, δηλαδή από τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε.
Στην αρχή, όταν υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης την πόρτα με το αυτοκίνητο ήταν 1/3, ενώ η πιθανότητα να επιλέξει πόρτα με κατσίκα ήταν 2/3. Αποκαλύπτοντας ο παρουσιαστής την κατσίκα, πίσω από την πόρτα που άνοιξε, δεν άλλαξε αυτό το δεδομένο.
Αυτό που συνήθως παραβλέπεται είναι ένα στοιχείο που έχει διατυπωθεί ή εννοηθεί στην υπόθεση του προβλήματος, το γεγονός δηλαδή ότι ο παρουσιαστής πάντα α) γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και β) θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα.
Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε πράγματι οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%.
Αλλά λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω δεδομένο, καταλαβαίνουμε ότι με το άνοιγμα της πόρτας ο παρουσιαστής δεν αλλάζει καθόλου τις πιθανότητες. Έτσι η αρχική επιλογή του παίκτη, εξακολουθεί να έχει 1/3 πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 2/3 πιθανότητα να κρύβει κατσίκα. Τότε η άλλη πόρτα θα έχει, αντιστρόφως, 2/3 πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 1/3 να έχει κατσίκα. Αλλάζοντας πόρτα, λοιπόν, έχουμε διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο.
Είναι γεγονός ότι και μαθηματικοί μεγάλου βεληνεκούς, δεν βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Είναι πολύ γνωστή η διένεξη της Μέριλιν Φος Σαβαντ, του ανθρώπου εν ζωή με το μεγαλύτερο IQ (228 μονάδες), με πολλούς μαθηματικούς. Η Μεριλιν Φος Σαβαντ έγραφε μια δημοφιλή στήλη στο περιοδικό Parade η οποία τιτλοφορούνταν "Ρώτα την Μέριλιν". Το 1990 όταν ρωτήθηκε για το παράδοξο του Monty Hall από αναγνώστη του περιοδικού, υποστήριξε ότι για να βελτιωθούν οι πιθανότητες πρέπει ο διαγωνιζόμενος οπωσδήποτε να αλλάξει πόρτα.
Το αποτέλεσμα ήταν απρόσμενο, 10.000 αναγνώστες από τους οποίους οι 1.000 είχαν τριτοβάθμια εκπαίδευση, έστειλαν διαμαρτυρία στο περιοδικό ότι η λύση ήταν λανθασμένη. Η Μέριλιν Φος Σαβαντ τελικά δικαιώθηκε και η απάντησή της επαληθεύτηκε πειραματικά με την μέθοδο Montecarlo. Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην ερώτηση του παραδόξου.
πηγή
Το Μόντυ Χωλ είναι ένα εντυπωσιακό παράδοξο.
Το παρόν με την Κλημεντίνη, αν δεν υπάρχει λάθος στη λύση, είναι επίσης εντυπωσιακό.
Με παραξένεψε περισσότερο από αυτό του Μόντυ Χωλ.
Ας κάνω μια υπόθεση για την διαφοροποίηση της πιθανότητας
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε Π=50% πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι ( ανεξάρτητα γεγονότα )
Στην δεύτερη περίπτωση η μόνη εξήγηση που μπορώ να σκεφτώ για μεγαλύτερη πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι … είναι ότι ….το όνομα της γιαγιάς Κλημεντίνης θα έμπαινε μόνο αν υπάρχει ήδη κορίτσι που θα είχε πάρει ήδη το όνομα της γιαγιάς που είναι με πολύ μεγαλύτερη πιθανότητα ποιο οικείο ( κονό , αναμενόμενο, αποδεκτό …όπως θέλεις πεσ το ) … Άρα Π' >50%
Να ψάξω τώρα για την απάντηση ; ή να πάω για μεσημεριανή σιέστα ;
Απέτυχα
όπως έλεγξα
Σκέφτηκα ανεξάρτητα βιολογικά γεγονότα ( μερικά εκατομμύρια σπερματοζωάρια τα μισα με Υ και τα άλλα μισά με Χ , που πολιορκούν ένα ή δυο ωάρια κάθε φορά …)
Έπρεπε να σκεφτώ πιθανότητες μαθηματικών ενδεχομένων …
Μήτσο δεν είναι θέμα βιολογικό. Προϋπόθεση του προβλήματος είναι το ότι η πιθανότητες γέννηση αγοριού-γέννηση κοριτσιού είναι ίσες.
Είναι 50% εκάστη. Ούτε το όνομα παίζει ρόλο. Κράτησα το Κλημεντίνη διότι αυτό επέλεξε το physicsgg. Θα μπορούσα να βάλω ένα συνηθισμένο και όχι κακόηχο. Π.χ. Κατερίνα, Μαρία, Άννα, Ελένη, Βαγγελιώ κ.λ.π.
Η πιθανότητες είναι συγκεκριμένα (διαφορετικά) κλάσματα.
Η αποτυχία έρχεται όπως και στο παράδοξο Μόντυ Χωλ αν δεν πιάσουμε μολύβι.
Καλησπέρα Γιάννη.
Αν του πρώτου κοριτσιού το όνομα είναι άγνωστο, η πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι κορίτσι είναι 0,5. Στο ενδεχόμενο κορίτσι-κορίτσι, όμως αντιστοιχεί ένα μεγάλο πλήθος ζευγών. Σ΄ αυτά τα ζεύγη το πρώτο μέλος είναι "κορίτσι" και το δεύτερο είναι: Κατερίνα, Μαρία, Δήμητρα,….Ιουλία,…(και πάει λέγοντας).
Αν το πρώτο κορίτσι είναι Κλημεντίνη, πρέπει να πάρουμε όλα τα δυνατά ζεύγη Κλημεντίνη-κορίτσι. Σ΄ αυτά τα ζεύγη το δεύτερο μέλος είναι: Κατερίνα, Μαρία, Δήμητρα,…,Ιουλία,… (και πάει λέγοντας εξαιρουμένου του Κλημεντίνη). Άρα τώρα τα δυνατά ζεύγη είναι λιγότερα, άρα Π΄<0,5.
Καλησπέρα Νίκο.
Θα έλεγα ότι είναι: Κλημεντίνη-μη Κλημεντίνη. Δεν επηρεάζουν τα άλλα ονόματα.
Ποιες είναι οι πιθανότητες όμως;
Ο υπολογισμός είναι ιδιαίτερα εύκολος.
Θα στείλω τη λύση αν δεν υπάρξουν απαντήσεις σύντομα. Φυσικά αμέσως, αν υπάρξει απάντηση.
Η λύση από το physicsgg:
Ποια είναι η σχέση των δύο πιθανοτήτων.
Όταν διάβασα το πρόβλημα σκέφτηκα:
Η πιθανότητα να έχει δύο κορίτσια (αφού βλέπω ότι έχει ήδη ένα) ταυτίζεται με την πιθανότητα του "το δεύτερο παιδί είναι κορίτσι".
Η πιθανότητα αυτή είναι 1//2. Οπότε τόση είναι η πιθανότητα να έχει η οικογένεια δύο κορίτσια.
Ποια απάντηση είναι σωστή;
Που βρίσκεται το όποιο λάθος;
Νομίζω (n-1)/(2n) όπου n το πλήθος των γυναικείων ονομάτων.