Το ένα κορίτσι λέγεται Κλημεντίνη

Από το εξαιρετικό physicsgg ένας γρίφος πιθανοτήτων:

Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων.

πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;

  

Πρόβλημα 2: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;

 

Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη σχέση μεταξύ των δύο πιθανοτήτων Π και Π

Είναι Π=Π΄ ;

Είναι η Π πολύ μεγαλύτερη της Π’ ;

Είναι Π=2Π΄/3 ;

Ισχύει κάτι άλλο;

Όταν θα απαντηθεί (ή θα αγνοηθεί) το ερώτημα, θα γίνει η παραπομπή στην ιστοσελίδα.

(Visited 2,624 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
160 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής

Γιάννη γιατί το βλέπω εύκολο; 

Πού κάνω λάθος που σκέφτομαι ότι οι δυο πιθανότητες είναι ίσες;

Στο όνομα;

Αποστόλης Παπάζογλου
Αρχισυντάκτης

Γειά σου Γιάννη.

Αν δεν το είχα δει σε διπλανή κουβέντα, θα απαντούσα το α. Ωραίο και αυτό του Μόντυ Χωλ. Αναρωτιέμαι αν οι συμμετέχοντες σε παιχνίδια του τύπου αυτού, το γνωρίζουν.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής

Γεια σου Αποστόλη.

Επειδή το ρίξατε με το Γιάννη  στα … συνωμοτικάwink, ας δώσω κάτι για το παράδοξο του Μόντυ Χωλ:

 

Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα.

Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής, βέβαια, δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας ας πούμε την 3η πόρτα, η οποία περιέχει μία κατσίκα.
 

Εκείνη τη στιγμή, λοιπόν, ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει.

Αν ήσουν στη θέση του παίκτη τι θα επέλεγες να κάνεις;

Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων που ερωτώνται (και έχουν κατανοήσει το πρόβλημα) απαντούν ότι δεν υπάρχει διαφορά όποια πόρτα κι αν διαλέξει ο παίκτης, οπότε και εμμένουν στην αρχική τους επιλογή (δηλ. την 1η πόρτα). Αυτό όμως είναι λάθος, γιατί αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του, και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει διπλάσιες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο! 

Για να κατανοήσουμε το γιατί, πρέπει να σκεφτούμε ποιες είναι οι δυνατές στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει ο παίκτης. Υπάρχουν δύο επιλογές:

1) Ο παίκτης επιλέγει μία πόρτα και εμμένει σε αυτήν μέχρι το τέλος, ότι και αν του πει ο παρουσιαστής. Αφού υπάρχουν τρεις πόρτες και ένα αυτοκίνητο, η πιθανότητα νίκης με αυτή τη στρατηγική είναι 1/3.

2) Ο παίκτης επιλέγει αρχικά μία πόρτα και μόλις ο παρουσιαστής ανοίξει μία άλλη πόρτα και αποκαλύψει μία κατσίκα, αλλάζει και επιλέγει την πόρτα που έχει απομείνει. Με αυτή τη στρατηγική, ο παίκτης για να κερδίσει τελικά, οφείλει να επιλέξει αρχικά μία πόρτα με κατσίκα. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει τότε την άλλη πόρτα με την κατσίκα και αλλάζοντας ο παίκτης θα πάρει τελικά το αυτοκίνητο. Έτσι η πιθανότητα νίκης του με αυτή τη δεύτερη στρατηγική είναι 2/3.

Ο λόγος που οι περισσότεροι οδηγούνται στη λανθασμένη επιλογή είναι ότι υποτιμούν τα δεδομένα. Η κατάσταση στην οποία βρεθήκαμε δεν είναι καθόλου ανεξάρτητη από το παρελθόν της, δηλαδή από τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε.

Στην αρχή, όταν υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης την πόρτα με το αυτοκίνητο ήταν 1/3, ενώ η πιθανότητα να επιλέξει πόρτα με κατσίκα ήταν 2/3. Αποκαλύπτοντας ο παρουσιαστής την κατσίκα, πίσω από την πόρτα που άνοιξε, δεν άλλαξε αυτό το δεδομένο.

Αυτό που συνήθως παραβλέπεται είναι ένα στοιχείο που έχει διατυπωθεί ή εννοηθεί στην υπόθεση του προβλήματος, το γεγονός δηλαδή ότι ο παρουσιαστής πάντα α) γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και β) θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα.

Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε πράγματι οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%.

Αλλά λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω δεδομένο, καταλαβαίνουμε ότι με το άνοιγμα της πόρτας ο παρουσιαστής δεν αλλάζει καθόλου τις πιθανότητες. Έτσι η αρχική επιλογή του παίκτη, εξακολουθεί να έχει 1/3 πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 2/3 πιθανότητα να κρύβει κατσίκα. Τότε η άλλη πόρτα θα έχει, αντιστρόφως, 2/3 πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 1/3 να έχει κατσίκα. Αλλάζοντας πόρτα, λοιπόν, έχουμε διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο.

Είναι γεγονός ότι και μαθηματικοί μεγάλου βεληνεκούς, δεν βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Είναι πολύ γνωστή η διένεξη της Μέριλιν Φος Σαβαντ, του ανθρώπου εν ζωή με το μεγαλύτερο IQ (228 μονάδες), με πολλούς μαθηματικούς. Η Μεριλιν Φος Σαβαντ έγραφε μια δημοφιλή στήλη στο περιοδικό Parade η οποία τιτλοφορούνταν "Ρώτα την Μέριλιν". Το 1990 όταν ρωτήθηκε για το παράδοξο του Monty Hall από αναγνώστη του περιοδικού, υποστήριξε ότι για να βελτιωθούν οι πιθανότητες πρέπει ο διαγωνιζόμενος οπωσδήποτε να αλλάξει πόρτα. 

Το αποτέλεσμα ήταν απρόσμενο, 10.000 αναγνώστες από τους οποίους οι 1.000 είχαν τριτοβάθμια εκπαίδευση, έστειλαν διαμαρτυρία στο περιοδικό ότι η λύση ήταν λανθασμένη. Η Μέριλιν Φος Σαβαντ τελικά δικαιώθηκε και η απάντησή της επαληθεύτηκε πειραματικά με την μέθοδο Montecarlo. Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην ερώτηση του παραδόξου.

πηγή

 

Δημήτρης Γκενές
Αρχισυντάκτης
2 έτη πριν

Ας κάνω μια υπόθεση για την διαφοροποίηση της πιθανότητας 

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε Π=50% πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι ( ανεξάρτητα γεγονότα )

Στην δεύτερη περίπτωση η μόνη εξήγηση που μπορώ να σκεφτώ για μεγαλύτερη πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι … είναι ότι ….το όνομα της γιαγιάς Κλημεντίνης θα έμπαινε μόνο αν υπάρχει ήδη κορίτσι που θα είχε πάρει ήδη το όνομα της γιαγιάς που είναι με πολύ μεγαλύτερη πιθανότητα ποιο οικείο ( κονό , αναμενόμενο, αποδεκτό …όπως θέλεις πεσ το ) … Άρα Π' >50%

Να ψάξω τώρα για την απάντηση ; ή να πάω για μεσημεριανή σιέστα ;

 

Δημήτρης Γκενές
Αρχισυντάκτης
2 έτη πριν

Απέτυχα 

όπως έλεγξα

Σκέφτηκα ανεξάρτητα βιολογικά γεγονότα ( μερικά εκατομμύρια σπερματοζωάρια τα μισα με Υ και τα άλλα μισά με Χ , που πολιορκούν ένα ή δυο ωάρια κάθε φορά …)

Έπρεπε να σκεφτώ πιθανότητες μαθηματικών ενδεχομένων …