by 
Από το εξαιρετικό physicsgg ένας γρίφος πιθανοτήτων:
Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων.
πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Πρόβλημα 2: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη σχέση μεταξύ των δύο πιθανοτήτων Π και Π‘
Είναι Π=Π΄ ;
Είναι η Π πολύ μεγαλύτερη της Π’ ;
Είναι Π=2Π΄/3 ;
Ισχύει κάτι άλλο;
Όταν θα απαντηθεί (ή θα αγνοηθεί) το ερώτημα, θα γίνει η παραπομπή στην ιστοσελίδα.
Καλησπέρα Γιάννη (Κυρ) και Γιάννη (Μήτση).
Θα συμφωνήσω ότι παίζει πολύ μεγάλο ρόλο η διατύπωση του προβλήματος.
Γιάννη (Μήτση) πράγματι διατυπώνοντας το πρόβλημα όπως λες, βρίσκουμε πιθανότητα 1/2.
Γιάννηδες αυτό βγαίνει στο χαρτί. Μου φαίνεται πάντως παράδοξο το να καθορίζεται η πιθανότητα από το αν εγώ γνωρίζω το όνομα.
'Δηλαδή:
Βλέπω ένα κοριτσάκι. Μαθαίονω ότι είναι δυο παιδιά στο σπίτι. Δεν γνωρίζω ούτε το φύλλο του άλλου παιδιού, ούτε αν είναι μεγαλύτερο ή όχι. Σκέφτομαι ποια είναι η πιθανότητα να έχει αδελφάκι κορίτσι Είναι 1/3.
Αν όμως το ρωτήσω:
-Πως σε λένε μικρούλα;
-Κλημεντίνη.
Θα πω από μέσα μου ότι η πιθανότητα να έχει αδελφούλα είναι 1/2;;
Δηλαδή αλλάζει η πιθανότητα με μία ερώτηση;
Καταρρέει ας πούμε κάποια κυματοσυνάρτηση;
Όχι Γιάννη Κυρ,
Αν δεις ένα κοριτσάκι και μάθεις πως έχει αδερφάκι, η πιθανότητα να είναι το αδερφάκι του κορίτσι είναι 1/2 και όχι 1/3. Αν στη συνέχεια μάθεις το όνομά της, η πιθανότητα παραμένει 1/2.
Ποια η διαφορά αυτού που είπες από το πρόβλημα 1;
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Πολλοί μαθηματικοί γνωρίζουν την ακρίβεια της μαθηματικής γλώσσας που ασχολείται με αντικείμενα αλλά είναι άτσαλοι στις γλώσσες που περιγράφουν γεγονότα ( φυσικές γλώσσες – ελληνικά αγγλικάκ.λ.π. – και γλώσσες φύσης -φυσικής, χημείας )
Ας γίνω πιο σαφής για να δείτε και τις ομοιότητες και τις διαφορές με την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης
΄Διατύπωση 1. : Κάποιος με το όνομα Μπάμπης Φλου είχε ένα τσουβάλι γεμάτο με μερικές χιλιάδεςσφαιρίδια και βγάζοντας διαδοχικά 100 σφαιρίδια και ανκατεύοντας συνεχώς είδε πως τα σφαιρίδια που έβγαλε ήταν 98 κόκκινα και 96 μπλε . Υπέθεσε ότι μάλλον ττο τσουβάλι είχε περίπου μισά κόκκινα μισά μπλε σφαιρίδια .
Διατύπωση 2 : Ο Μπάμπης ο Φλου αναρωτήθηκε αν μπορούσε να προβλέψει την πιθανότητα να βγει η 20η ( εικοστή ) σφαίρα κόκκινη αν οι σφαίρες που έβγαλε από την 1η ως την 19η δοκιμή ήταν κόκκινες όλες.
Επειδή δεν ήξερε ρώτησε έναν μαθηματικό τον Τάκη τον Νταν
Ο Τάκης ο Νταν τον ρώτησε λοιπόν πως ακριβώς έκανε την επιλογή . " Κάθε φορά το σφαιρίδιο που βγάζεις το ξαναπετάς μέσα και ανακατεύεις ή την κρατάς έξω ανακατεύεις και επιλέγεις σφαιρίδιο από τα εναπομείναντα ; "
Φλου : Έχεις δίκιο αυτό δεν το πρόσεξα νομίζω πως άλλοτε έκανα το ένα και άλλοτε το άλλο … Όταν μαζευόντουσαν κάμποσες τις έριχνα ξανά μέσα για να μην τις χάσω "
Πως σας φαίνεται συνάδελφοι το πείραμα του Φλου ; ήξερε να περιγράψει τις συνθήκες των γεγονότων με ακρίβεια ;
Η πρόβλεψη προϋποθέτει θεωρία … αλλά και το πείραμα και ο έλεγχος των παραμέτρων του απαιτεί θεωρία .
Για όσους κατάλαβαν που το πάω …. συνεχίζω με τα κορίτσια.
Α . Πως καθορίζεται το φύλο του τέκνου ενός ζεύγους ανθρώπων. Είναι για παράδειγμα το ίδιο με τον καθορισμό του φύλλου του τέκνου ενός ζεύγους δροσόφιλας ;
Στον Homo Sapiens έχουμε μια γονιμοποίηση , ενός ωαρίου από ένα σπερματοζωάριο από 200.000- 300.000 σπερματοζωάρια εκ των οποίων ένα μεγάλο ποσοστό είναι δραστήρια αλλά ΕΝΑ και ΜΟΝΟ ΕΝΑ θα γονιμοποιήσει το ωάριο.
Αν υποθέσουμε ότι η μείωση στις σπερματογονίες δεν επηρεάστηκε από γενετικούς και περιβαλλοντικούς παράγοντες τότε τα μισα σπερματοζωάρια έχουν Χ χρωμόσωμα και τα μισά Υ. Κάτι που δεν συμβαίνει σε πολύ μικ΄ρο ποσοστό ανδρώνδιότι και μεγάλη συσσώρευση γενετικών μεταλλάξεων αλλά και κληρονομικών παραγόντων κυρίως επηρεάζουν διαφορετικά την παραγωγή και βιωσιμότητα των σπερματοζωαρίων σε έναν άντρα . Από την άλλη όμως η ενεργητικότητα των σπερματοζωαρίων εντός του κόλπου επηρεάζεται όχι απλά σε σημαντικό βαθμό αλλά στο μεγαλύτερο ποσοστό από παράγοντες όπωςτο το ph του κόλπου ( αυτό φαίνεται να επηρεάζει η αντράκλα κοινώς αρσενικοβότανο ) όπως και πολλοί άλλοι παράγοντες ) Είναι λοιπόν σύνηθες να παρουσιάζεται πολύ συχνά γυναίκεςνα γεννούν σε 4 και πέντε διαδοχικές γέννες ίδιου φύλου τέκνο.
Ναι αλλά αν πάρουμε 20.000 ζευγάρια (εξασφαλίζοντας μέσο δειγματικό χώρο ) και 40.000 γεννήσεις από αυτά … Ναι θα επιτύχουμε 50 % αγόρια ή κορίτσια.
Δύσκολα πράγματα καλύτερα να διαλέξουμε ως πειραματόζωα την δροσόφιλα ( μύγα ξιδιού ) . Μια ωορηξία 500 ωάρια γονιμοποιημένα από 520 σπερματοζωάρια . Με 20 γέννες πετύχαμε ίδιες ακρίβειες ΑΛΛΑ ΠΡΟΣΟΧΗ σε διαφορετικό τρόπο αναπαραγωγής …
Τα προβλήματα με τα ενδεχόμενα για το κορίτσια που λέγονται Κλημεντίνες συνεπως δεν είναι ίδιο με το πρόβλημα μυγούλες εκ των οποίων η μια λέγεται Βατραχοτροφή
Β.
Πάμε τώρα πίσω στα σφαιρίδια ( κόκκινα και μπλε ) για λίγο . Αν ο Τάκης ο Νταν εκτελέσει το πείραμα ξαναβάζοντας το σφαιρίδιο εντός του σάκκου και ανακατέβοντας πριν επιλέξει το επόμενο …ξέρει ότι η πιθανότητα είναι 50% ( ΑΝΑΞΑΡΤΗΤΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ ) . Μάλιστα μπορείτε να βρέιτε και ένα τεράστιο τύπο με παραγοντικά στο βιβλίο του Κάκουλου για n ανεξάρτητες επαναλήψεις επιλογής k σφαιρών από Ν σφαιρίδια για την πιθανότητα επανεμφάνισης ώστε να έχουμε κατανομή Gauss.
Αν όμως το σφαιρίδιο μένει κάθε φορά έξω και ανακατεύουμε τα υπόλοιπα πριν επιλέξουμε, τι θα συμβεί ; Έστω 2000 σφαιρίδια . ΚΑΙ ΕΣΤΩ βγάλαμε ήδη 20 μπλέ ( ποια είναι η πιθανότητα να βγει και το 21) επίσης μπλέ …. Α εδώ λέει ο κ. Κάκκουλος έχουμε εξαρτημένη πιθανότητα … Συμφωνείτε
Γ. Τώρα σκεφτείτε μόνοι σας αν το πράβλημα του δεύτερου κοριτσιού επηρεάζεται από την γέννηση του πρώτου και πως ; Είναι εξαρτημένα ή ανεξάρτητα γεγονότα.
Θεωρώ ότι έχω ήδη επιχειρηματολογήσει ότι το φύλο του δέυτερου τέκνου είναι ανεξάρτητο του φύλου του πρώτου τέκνου. Οι μαθηματικοί καλύτερα να δίνουν παραδείγματα που ξέρουν να χειρίζονται ( τα ενδεχόμενα Α και Β …μούμπλε μούμπλε )
Δ. Δεν έχω αν θέλετε και καμιά αντίρρηση να συζητήσω και για την δίδυμη γέννηση κοριτσιών ( αν και δεν είμαι βιολόγος ). Προτιμώ όμως να συζητήσω ως φυσικός για την δίδυμη γένεση δυο ηλεκτρονίων που δεν είναι δυο ανεξάρτητα γεγονότα αλλά εξαρτημένα ( εξαρτημένα ισχυρώς όπως τα μονοζυγωτικά δίδυμα και όχι όπως τα ετεροζυγωτικά δίδυμα αδέλφια που είναι ανεξάρτητα γεγονότα συσχετισμένα ασθενώς μεταξύ τους )
Συνάδελφοι το πρόβλημα με την εμφάνιση πιθανοτήτων στον μικρόκοσμο είναι σίγουρα και θέμα περιγραφής αλλά μάλλον όχι μόνο περιγραφής ( ατελούς ) . Το πιθανότερο είναι ότι η φύση στο μικρόκοσμο πιθανοκρατείται περίεργα πολύ απλά γιατί τα διακριτά μαθηματικά των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων είναι υπεραπλούστευση . Κατά πάσα πιθανότητα τα χαοτικά μαθηματικά ( κλασματικών διαστάσεων ) και μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων θα περιγράψουν κάποια στιγμή αυτήν την πιθανοκρατούμενη φύση του μικρόκοσμου εντελώς κατανοητά και φυσικά….δίνοντας μια ερμηνεία για τον ενδογενή στην φύση χαρακτήρα των σημερινών μας πιθανοκρατούμενων αδιέξοδων περιγραφών …
Να υποθέσω Μήτσο ότι θεωρείς πως και στο πρώτο πρόβλημα η πιθανότητα είναι 1/2 και όχι ΄1/3 ;
Ναι Γιάννη
Αν στις προκείμενεςτο ενδεχόμενο Α μόνο του είναι ισοπίθανό με το ενδεχόμενο Κ
Τότε κάθε ανεξάρτητη δοκιμή θα το επιβεβαιώνει .
Πείραμα (γεγονός ) που να συνδέει τα δυο γεγονότα σε ενδεχόμενα σύζευξης δεν βλέπω .
Όπως το να πετάξω δυο φορές ένα ζάρι ( ισοπίθανο ε! Οχι πειραγμένο)
Παίζω Τριβιαλ
Σκέψου ότι πέταξα το ζάρι και δεν ξέρω τι έφερα γιατί έπεσε κάτω και το μάζεψε άλλος.
Μου το ξαναδίνει και ρίχνω . Ποια θα είναι η πιθανότητα εξάρας . Δεν είναι 1/6 ;
Πισττεύεις ότι αν αυτός που μάζεψε το ζάρι μου έλεγε ότι έφερα 6 .
Θα άλλαζε την δεύτερη φορά η πιθανότητα εξάρας ;
Παραλογισμοί με φορμαλισμό δήθεν μαθηματικό .
Ονομάζω:
(ΑΑ) την οικογένεια με το 1ο παιδί αγόρι και το 2ο αγόρι
(ΑΚ) την οικογένεια με το 1ο παιδί αγόρι και το 2ο κορίτσι
(ΚΑ) την οικογένεια με το 1ο παιδί κορίτσι και το 2ο αγόρι
(ΚΚ) την οικογένεια με το 1ο παιδί κορίτσι και το 2ο κορίτσι
Έχω 100 τυχαίες οικογένειες των 2 παιδιών. Οι 25 είναι (ΑΑ), οι 25 (ΑΚ), οι 25 (ΚΑ) και οι 25 (ΚΚ). Συνεπώς έχω 100 κορίτσια. Τα 25 κορίτσια προέρχονται από τις οικογένειες (ΑΚ), τα 25 από τις (ΚΑ) και τα 50 από τις (ΚΚ)
Πρόβλημα Α: Διαλέγω τυχαία μία οικογένεια από αυτές που έχουν τουλάχιστον 1 κορίτσι, Ποια η πιθανότητα να διάλεξα μια οικογένεια (ΚΚ);
Απάντηση: Έχω 75 οικογένειες με τουλάχιστον 1 κορίτσι και οι 25 από αυτές είναι (ΚΚ). Άρα πιθανότητα 25/75 = 1/3.
Πρόβλημα Β: Βλέπω ένα κορίτσι (από τα 100 που συνολικά έχω). Ποια η πιθανότητα να προέρχεται από οικογένεια (ΚΚ);
Απάντηση: Αφού όπως είπαμε, 50 κορίτσια προέρχονται από τις οικογένειες (ΚΚ), η πιθανότητα το κορίτσι που βλέπω να προέρχεται από μια οικογένεια (ΚΚ) είναι 50/100 = 1/2.
Τα προβλήματα Α και Β είναι προφανώς διαφορετικά.
Γιάννη επανέρχομαι.
Δυο ( η περισσότερα ) ζάρια ρίχνονται μαζί . Ναι τότε υπάρχει εξάρτηση .
Γιαδυο ζάρια ταυτόχρονα : οι εξάρες 1/36, το ασσότριο 2/36 …
Αλλά οι άνθρωποι ρίχνουν 120000 Χ και 120000Υ απο τα οποία ΕΝΑ ΜΟΝΟ γονιμοποιεί ΕΝΑ ΩΑΡΙΟ και δημιουργεί ΕΝΑ ζυγωτό φύλλου ΧΧ . Ποια ήταν η πιθανότητα ; Μου απαντάς 50%
Επαναλαμβάνω το πείραμα χωρίς να έχω βαφτίσει το πρώτο κορίτσι :
Άντε πάλι 120000 Χ και 120000Υ απο τα οποία ΕΝΑ ΜΟΝΟ γονιμοποιεί ΕΝΑ ΩΑΡΙΟ και δημιουργεί ΕΝΑ ζυγωτό . Ποια ήταν η πιθανότητα φύλλου ΧΧ ;
ΕΣΥ τι απαντάς 33% ή 50% ;
Και μετά αν θες συζητάμε και πως θα επιδρούσαν αν είχαν προηγηθεί της συνουσίας και τα βαφτίσια του πρώτου κοριτσιού.
Γιάννη Μήτση
μερικά ερωτήματα
οικογένειες με ΑΚΑ ή ΚΑΚ δεν υπάρχουν; …Έστω ότι δεν υπάρχουν και περιοριζόμαστε μόνο στις δίτεκνες
Όμως
Οικογένεις με ΑΚ και οικογένειες με ΚΚ γιατί είναι είναι ισοπιίθανες ;
Δόθηκε ότι τα τρία ενδεχομενα ΚΑ , ΑΚ , ΚΚ, είναι ισοπίθανα ; Που βρίσκεται αυτή η πληροφορία στα δεδομένα ;
Γεια σου Δημήτρη
Γράφω "Έχω 100 τυχαίες οικογένειες των 2 παιδιών", άρα προφανώς περιορίζω τη μελέτη αποκλειστικά σε δίτεκνες οικογένειες και όχι στις (ΑΑΚ) ή (Α) κτλ.
Η πιθανότητα το 1ο παιδί να είναι αγόρι-κορίτσι είναι 50%-50%. Επίσης, η πιθανότητα το 2ο παιδί να είναι αγόρι-κορίτσι είναι πάλι 50%-50% και ανεξάρτητη από το φύλλο του 1ου παιδιού. Έτσι προκύπτει πως οι οικογένειες (ΑΑ) (ΑΚ) (ΚΑ) (ΚΚ) είναι ισοπίθανες. Δεν καταλαβαίνω που έχεις αντίρρηση σε αυτό.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Ξαναδιαβάζοντας σήμερα το πρωί τις παραπάνω τοποθετήσεις, μάλλον με πείθει η θέση του Μήτσου:
"Παραλογισμοί με φορμαλισμό δήθεν μαθηματικό."
Αν συναντήσω ένα κοριτσάκι στο δρόμο και μου πουν ότι έχει και ένα αδελφάκι μόνο, τότε η πιθανότητα να είναι αυτό κοριτσάκι είναι 1/2, είτε το κοριτσάκι αυτό έχει άγνωστο σε μένα όνομα, είτε λέγεται Κλημεντίνη…
Τα αναλυτικά ενδεχόμενα που δίνει και η λύση, μάλλον για μπέρδεμα δίνονται…
Καλημέρα σε όλους.
Αντιλαμβάνομαι ότι ο Δημήτρης έχει δίκιο. Το ερώτημα βέβαια είναι, πού πάσχει η συλλογιστική της απάντησης, που δίνει μεγαλύτερη πιθανότητα στο δεύτερο σενάριο. Ίσως το λάθος είναι ότι χρησιμοποιεί την Κλημεντίνη ως επιπλέον ενδεχόμενο.
Καλημέρα συνάδελφοι, ξυπνήσαμε βλέπω και το "μαθηματισμό μας". Νομίζω ότι ο Γιάννης Μήτσης έχει καλύψει απόλυτα το γεγονός.
Συμφωνώ και γω με τον Μήτση. Αν η οικογένεια έχει ένα παιδί η πιθανότητα να είναι αγόρι ή κορίτσι είναι 50-50. Αν έχει δυο παιδιά και το ένα είναι κορίτσι, πάλι η πιθανότητα να είναι και το άλλο κορίτσι είναι 50%. Αν το κορίτσι λέγεται Κλημεντίνη, δεν πιστεύω ότι αλλάζουν οι πιθανότητες, αν και αρχικά νόμισα ότι πρέπει να υπάρχει κάποια απειροελάχιστη μεταβολή στις πιθανότητες.