by 
Από το εξαιρετικό physicsgg ένας γρίφος πιθανοτήτων:
Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων.
πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Πρόβλημα 2: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη σχέση μεταξύ των δύο πιθανοτήτων Π και Π‘
Είναι Π=Π΄ ;
Είναι η Π πολύ μεγαλύτερη της Π’ ;
Είναι Π=2Π΄/3 ;
Ισχύει κάτι άλλο;
Όταν θα απαντηθεί (ή θα αγνοηθεί) το ερώτημα, θα γίνει η παραπομπή στην ιστοσελίδα.
Εντάξει, κινούμαστε σε λογικά πλαίσια…το θέμα είναι να καταλάβουμε τον τρόπο που θα δουλέψουμε…
Κατερίνα η συζήτηση είχε και επισκεψιμότητα και συμμετοχή, όχι διότι δεν κατάλαβαν οι φίλοι πως δουλεύουμε.
Η μέθοδος που πρότεινε το physicsgg ήταν σαφής. Όμως προέκυψε ένα παράδοξο. Η "βάπτιση" ενός παιδιού άλλαξε τις πιθανότητες.
Αυτό αρχικά έμοιαζε παράλογο. Για να καταλάβω ο ίδιος το παράδοξο έκανα τα σχήματα. κατάλαβα τι συμβαίνει και γιατί τα δύο προβλήματα ήταν διαφορετικά.
Με άλλα λόγια, μπορούμε να βρούμε έναν τρόπο να λύνουμε τα προβλήματα με "Κλημεντίνες". Όμως μπορούμε να απαντήσουμε στο ρώτημα:
-Γιατί διαφέρουν τα δύο προβλήματα;
Έχεις δίκιο, κι εμένα στην αρχή μου φάνηκε παράξενο.
Σκέφτηκα όμως κάτι που διαφοροποιεί τα δύο προβλήματα…
Η σκέψη μου είναι η εξής:
Ξέρουμε ότι η πιθανότητα να γεννηθεί κορίτσι είναι 1/2
Στην συγκεκριμένη όμως περίπτωση το κορίτσι λέγεται και Κλημεντίνη.
Άρα η πιθανότητα να γίνει αυτό είναι (πιθανότητα να βγει κορίτσι)x(πιθανότητα να έχει το όνομα Κλημεντίνη)
Συμφωνείς μέχρι εδώ;
Συνεχίζω και ολοκληρώνω:
Άρα λοιπόν στις διατεταγμένες δυάδες του αρχικού προβλήματος τα δύο ανεξάρτητα γεγονότα της καθεμιάς δεν έχουν την ίδια πιθανότητα.
(Τα ενδεχόμενα-διατεταγμένες δυάδες- βέβαια του δειγματικού μας χώρου είναι ισοπίθανα)
Θα πρέπει επίσης να συμπληρώσουμε τον καινούριο δειγματικό χώρο με ένα περισσότερο στοιχείο, τη στιγμή που Κλημεντίνη μπορεί να είναι το πρώτο ή το δεύτερο από τα δύο κορίτσια. Εδώ επομένως παίζει ρόλο και η διάταξη των κοριτσιών.
Αυτή είναι η δική μου σκέψη για τη διαφοροποίηση των δύο προβλημάτων…
Δεν συμφωνώ.
Η πιθανότητα που αναφέρεις είναι η πιθανότητα:
-Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε δύο αδελφούλες και η μία να ονομάζεται Κλημεντίνη.
Η πιθανότητα είναι πολύ μικρή. Είναι σήμερα μικρότερη απ' ότι το 1960.
Το πρόβλημα είναι άλλο:
-Μια οικογένεια έχει δύο παιδιά. Το ένα είναι κορίτσι, ψηλότερο από 2 μέτρα, λέγεται Κλημεντίνη και είναι οπαδός του Πανελευσινιακού. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι;
-Είναι 1/2.
Άλλο πρόβλημα:
-Μια οικογένεια έχει 8 παιδιά. Τα 7 κορίτσια. Το ένα λέγεται Μαρία, το άλλο είναι ξανθιά, το άλλο γεννήθηκε Παρασκευή, τα άλλα 4 κορίτσια σπουδάζουν. Ποια είναι η πιθανότητα το 8ο παιδί να είναι κορίτσι;
-Είναι 1/2.
Και τα λοιπά.
Γιατί όχι;
Όμως μπορεί να υπάρχει απάντηση χωρίς να χρειάζεται ο εντοπισμός του δειγματοχώρου. Εξαρτάται από το πρόβλημα.
Τα προηγούμενα που ανέφερα λύνονται πανεύκολα χωρίς να βρούμε τον δειγματοχώρο, κάτι που είναι τρομερά δύσκολο.
Κάποιες φορές πρέπει αναγκαστικά να σημειώσουμε όλα τα ενδεχόμενα και να βρούμε τον δειγματοχώρο.
Εξαρτάται από το πρόβλημα.
Δεν αναφερόμουν σε οικογένεια με δύο παιδιά, αλλά στο ανεξάρτητο γεγονός της γέννησης ενός παιδιού που να είναι κορίτσι ΚΑΙ να το λένε Κλημεντίνη. Πιστεύω να κατάλαβες τη σκέψη μου από τη συνέχεια…
Γιάννη δε συμφωνώ με τον τρόπο που αντιμετωπίζεις το πρόβλημα 2 κατά τις ομολογουμένως πολύ όμορφες εικονογραφήσεις σου.
Στις εικονογραφίσεις δεν λύνεις το πρόβλημα 2 : "Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πικανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;"
Λύνεις το πρόβλημα 2β: "Η Κλιμεντίνη είναι παιδί μιας οικογένειας 2 παιδιών. Ποια η πιθανότητα το άλλο παιδί της οικογένειας να είναι κορίτσι;"
Το πρόβλημα 2 μοιάζει ισοδύναμο με το πρόβλημα 2β αλλά δεν είναι.
Επιμένω στη γνώμη μου ότι στο πρόβλημα 2 η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1/3 (όση ήταν και πριν μάθουμε το όνομα της κοπέλας) ενώ στο πρόβλημα 2β η πιθανότητα είναι 1/2.
Γιάννη δεν καταλαβαίνω γιατί λες ότι η λύση μου στο δύο αναφέρεται σε άλλο πρόβλημα.
Πάμε στο επίμαχο:
"Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πικανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;"
Οι οικογένειες έχουν δύο παιδιά. Είναι οι εικονιζόμενες και μόνο.
Οιοδήποτε από τα κορίτσια μπορεί να είναι η Κλημεντίνη.
Εξετάζω κάθε περίπτωση. Από τις 4 περιπτώσεις δύο είναι οι ευνοϊκές.
Δεν καταλαβαίνω γιατί αλλάζω το πρόβλημα. Δεν σκέφτηκα την δεύτερη φράση.
Στο κάτω-κάτω οι φράσεις:
"Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;"
και
"Η Κλημεντίνη είναι παιδί μιας οικογένειας 2 παιδιών. Ποια η πιθανότητα το άλλο παιδί της οικογένειας να είναι κορίτσι;"
δεν είναι ισοδύναμες;
Η μια δεν συνεπάγεται την άλλη;
Δεν είναι το ίδιο με άλλα λόγια. Δεν είναι σαν να λέμε:
-Έχω μόνο έναν αδελφό που τον λένε Γιάννη.
και
-Ο Γιάννης είναι ο μοναδικός μου αδελφός.
Οι φράσεις που παρέθεσες δεν είναι ισοδύναμες;
Μπορούμε να βρούμε περίπτωση που ισχύει η μία και δεν ισχύει η άλλη;
Αν δείξεις ότι δεν είναι, έχεις (πάλι) δίκιο. Αν όχι είναι ισοδύναμες.
Δύο ισοδύναμες περιπτώσεις δεν είναι και ισοπίθανες;
Το αντίστοιχο πρόβλημα της Κλημεντίνης στο μπαρμπούτι.
Ρίχνει κάποιος τα ζάρια. Αν το ένα ζάρι είναι το 6 ποιά είναι η πιθανότητα να είναι και το δεύτερο 6;
1η ΛΥΣΗ
Ο δειγματοληπτικός χώρος των ζαριών είναι ο
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
Από όλα αυτά τα ενδεχόμενα αυτά που έχουν το 6 είναι συνολικά 11. Από τα 11 αυτά που έχουν και δεύτερο 6 είναι 1. Άρα η πιθανότητα και το δεύτερο ζάρι να είναι εξάρι είναι 1/11
2η ΛΥΣΗ
Ανεξάρτητα τι έχει έρθει το πρώτο ζάρι, η πιθανότητα να είναι 6 το δεύτερο ζάρι είναι 1/6. Αυτή είναι και η σωστή λύση. Το πρόβλημα είναι ως συνήθως στην επιλογή του δειγματοληπτικού χώρου.
Η πρώτη λύση μας λέει ότι αν ρίξουμε δύο ζάρια, η πιθανότητα να έρθει ένα ή 2 εξάρια είναι 11/36.
Το παράδοξο αυτό μοιάζει με το παράδοξο του παίχτη που είναι το εξής. Ένας θεατής παρακολουθώντας τη ρουλέτα διαπιστώνει ότι έχει έρθει 10 φορές συνεχόμενα μαύρο, οπότε στην επόμενη μπιλιά πάει και παίζει όλα του τα χρήματα στο κόκκινο θεωρώντας ότι οι πιθανότητες νίκης είναι υπέρ του. Έτσι πχ στο παιχνίδι deal αν έχει μείνει ένα κουτί και το κουτί του παίχτη και ο Φιορεντίνος προτείνει αλλαγή, οι πιθανότητες να κερδίσει ο παίχτης είτε αλλάξει το κουτί του είτε όχι είναι 50-50.
Πάντως όταν ήμασταν φοιτητές και παίζαμε ποκα, όταν τα πράγματα δεν εξελισσόντουσαν όπως προέβλεπαν οι πιθανότητες, μία συνηθισμένα ατάκα ήταν ‘Φέρτε μου να σχίσω τον Κάκουλο»
Έστω ότι στη Γη υπάρχουν Ν δίτεκνες οικογένειες που έχουν ένα τουλάχιστον κορίτσι. Για κάθε μία από αυτές φτιάχνουμε έναν κλήρο-χαρτάκι που γράφει έναν αύξοντα αριθμό και τα ονόματα των 2 παιδιών. π.χ. για την οικογένεια με αύξοντα αριθμό 32145 έχουμε φτιάξει το χαρτάκι:
Βάζω όλα αυτά τα χαρτάκια σε μια κληρωτίδα και επιλέγω ένα από αυτά στην τύχη. Η πιθανότητα να έχω επιλέξει μια οικογένεια (Κ Κ) (δηλαδή μία οικογένεια με το 1ο παιδί κορίτσι και το 2ο παιδί κορίτσι), είναι 33,3%. Γραφικά αυτό μπορεί να παρασταθεί:
Τα παραπάνω περιγράφουν τις συνθήκες του προβλήματος1 και νομίζω πως όλοι συμφωνούμε πως η πιθανότητα αυτή είναι 1/3=33,3%.
Ας συνεχίσουμε τώρα παρακάτω όπου υπάρχουν διαφωνίες και μπερδέματα.
Ας υποθέσουμε πως το χαρτάκι που έβγαλα από την κληρωτίδα το δείχνω στον Κυριακόπουλο. Ο Κυρ. λοιπόν, σε αντίθεση με εμένα, γνωρίζει τα ονόματα των παιδιών της οικογένειας που έχω επιλέξει.
Λέω στον Κυρ.: «Γιάννη, προφανώς το χαρτάκι που επέλεξα και εσύ είδες, αναφέρει ένα τουλάχιστον γυναικείο όνομα. Ενημέρωσέ με ποιο όνομα είναι αυτό.». Ο Κυρ. μου απαντά: «Κλημεντίνη».;
Με βάση την πληροφορία που έλαβα από τον Κυρ., το αρχικό διάγραμμα γίνεται:
Ναι μεν ο δειγματικός μας χώρος έχει πλέον 4 (και όχι 3) ενδεχόμενα, αλλά τα ενδεχόμενα αυτά δεν είναι ισοπίθανα. Το physicsgg θεωρώντας τα ενδεχόμενα ισοπίθανα (25% το καθένα) αθροίζοντας τις πιθανότητες (κορίτσι-Κλημεντίνη) και (Κλημεντίνη-κορίτσι) βγάζει αποτέλεσμα 25%+25%=50%.
Το ορθό είναι να αθροίσουμε 16,7%+16,7%=33,3%, γεγονός που συμφωνεί με την κοινή λογική που λέει πως η γνώση του ονόματος του κοριτσιού δεν μπορεί να μεταβάλει την υπολογιζόμενη πιθανότητα.
Καλημέρα Γιάννη Μ
Έτσι όπως θέτεις το θέμα φαίνεται σαν η "Κλημεντίνη" να μας εμφανίστηκε τυχαία μετά από το τράβηγμα ενός χαρτιού. Εδώ όμως στο πρόβλημά μας η "Κλημεντίνη" δεν έτυχε… Η Κλημεντίνη είναι σίγουρη, δεδομένη. Άρα πρέπει να δεσμευθούμε να την εμφανίσουμε παντού στον δειγματικό μας χώρο, επομένως ΚΑΙ στην κορυφή της πυραμίδας στο διάγραμμά σου, κάτι που δεν υπάρχει…
Κατά τη γνώμη μου οι δύο διατυπώσεις του Γιάννη (Κυρ) είναι ισοδύναμες και βγάζουν το ίδιο αποτέλεσμα.
καλημέρα σε όλους
είδα μόνο την εκφώνηση (διότι διάφοροι γιατροί με τραβούν από το μανίκι…)
θεωρώ ότι οι πιθανότητες είναι ίδιες, δηλαδή Π=Π΄, διότι το ερώτημα είναι το ίδιο (το όνομα είναι απολύτως αδιάφορο): ποια η πιθανότητα ένα παιδί (το δεύτερο, το τρίτο, το νιοστό…) να είναι κορίτσι, η πιθανότητα είναι πάντα η ίδια, ως η Βιολογία διδάσκει (διασταύρωση ΧΨxΧΧ): 2 στις 4 ή 1/2 ή 50%
Καλημέρα Βαγγέλη!
Η Βιολογία διδάσκει μεν, αλλά η Στατιστική και οι Πιθανότητες αλλάζουν όταν έχουμε "Πιθανότητα υπό συνθήκη".
Σκέψου μόνο μια περίπτωση:
Μια οικογένεια έχει 4 κορίτσια. Ποια είναι η πιθανότητα το επόμενο παιδί να είναι κορίτσι; 1/2;
Αν ήταν έτσι και η οικογένεια ήθελε κι ένα αγόρι, δεν θα το επιχειρούσε κανένας πιστεύω…