by 
Από το εξαιρετικό physicsgg ένας γρίφος πιθανοτήτων:
Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων.
πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Πρόβλημα 2: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη σχέση μεταξύ των δύο πιθανοτήτων Π και Π‘
Είναι Π=Π΄ ;
Είναι η Π πολύ μεγαλύτερη της Π’ ;
Είναι Π=2Π΄/3 ;
Ισχύει κάτι άλλο;
Όταν θα απαντηθεί (ή θα αγνοηθεί) το ερώτημα, θα γίνει η παραπομπή στην ιστοσελίδα.
Μάλλον δεν διατύπωσα σωστά το πρόβλημα, αλλά πιστεύω κατάλαβες τι εννοώ…
Γεια σου Κατερίνα
Το πρόβλημα1 λέει : "Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;"
Το πρόβλημα2 λέει: "Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;"
Το πρόβλημα 2 παρουσιάζεται ως μια εξέλιξη του προβλήματος 1 (τουλάχιστον εγώ αυτό αντιλήφθηκα). Δηλαδή πρώτα επιλέγουμε στην τύχη μία δίτεκνη οικογένεια με ένα τουλάχιστον κορίτσι (οποιοδήποτε ονόματος) και μετά μας πληροφορούν πως το όνομα του κοριτσιού είναι Κλημεντίνη. Αν δεν ισχύει αυτή η χρονική αλληλουχία τότε έχω άδικο.
μα, Κατερίνα, δεν υπάρχει "πιθανότητα υπό συνθήκη", διότι τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (ως προς το αγόρι κάθε νέα γέννα έχει πιθανότητα 1/2 και όποιος αντέξει…, άντεξε ο πατέρας γνωστότατου τραγουδιστή, 17 συνεχόμενα κορίτσια και επιτέλους ένα αγόρι!)
είναι διαφορετική η περίπτωση όπου κάθε γεγονός επηρεάζει το επόμενο π.χ. τραβάμε ένα φύλλο από μια ακέραιη τράπουλα, η πιθανότητα να είναι σπαθί είναι 13/52 ή 1/4 ή 25%, αν το φύλλο είναι πράγματι σπαθί τότε η πιθανότητα το επόμενο, από την απομένουσα τράπουλα, να είναι σπαθί είναι 12/51, ενώ αν δεν είναι σπαθί η πιθανότητα είναι 13/51
αν ρίξουμε ένα ζάρι η πιθανότητα να έρθει 6 είναι 1/6, αν πράγματι έρθει 6 η πιθανότητα στην επόμενη ζαριά να έρθει 6 είναι πάλι 1/6, αν έρθει 1,2,3,4,5 η πιθανότητα στην επόμενη ζαριά να έρθει 6 είναι πάλι 1/6, διότι τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους
Ναι Βαγγέλη, όπως σου είπα η διατύπωσή μου ήταν λάθος. Άλλο ήθελα να πω…
Ήθελα να πω το εξής:
Σε μια οικογένεια πενταμελή, η πιθανότητα να έχει 5 κορίτσια είναι μικρότερη από την πιθανότητα να έχει 4 κορίτσια και 1 αγόρι.
Κατάλαβα πώς το σκέφτηκες, αλλά πιστεύω ότι δεν επιλέγουμε, αλλά έχουμε από την αρχή δεδομένη την Κλημεντίνη. Οπότε δεν υπάρχει χρονική αλληλουχία..
Δηλαδή το πρόβλημα 2 δεν αποτελεί συνέχεια του 1, τα δύο προβλήματα είναι ανεξάρτητα.
Γεια σας παιδιά.
Βαγγέλη θέτεις ένα πρόβλημα που δεν είμαι σίγουρος αν είναι ίδιο.
Γιάννη δεν μπορώ να αποκλείσω το να έχεις δίκιο και εγώ άδικο. Όμως νομίζω ότι κάνεις λαθροχειρία.
Με βάζεις να ζητήσω χαρτάκι και μαθαίνεις το όνομα. Θα μπορούσες να συνεργαστείς και με τον Θεό, που δεν θα χρειαζόταν χαρτάκι.
Καταφέρνεις επομένως να βγάλεις αυτό που πιστεύεις (ίσως έχοντας δίκιο).
Με τα σκιτσάκια μου έβγαλα κάτι διαφορετικό και υπάρχει ο κίνδυνος να αρχίσουμε:
-Τα σκιτσάκια μου δείχνουν το σωστό.
-Όχι διότι πρόκειται για την ίδια οικογένεια, την Α και αυτή δεν κερδίζει δύο φορές. Ο πίνακάς μου είναι σωστός.
Μπορεί να έχεις δίκιο και εγώ άδικο όμως και πέφτουμε σε αδιέξοδο και το λάθος δεν το βρίσκουμε.
Επανέρχομαι με άλλη λύση, φυσικά με σκιτσάκια.
Κάποιες εικόνες:
Μπορούμε να απαντήσουμε χωρίς κατασκευή πινάκων για προσδιορισμό του δειγματοχώρου;
Γράφεις Γιάννη:
Το πρόβλημα 2 παρουσιάζεται ως μια εξέλιξη του προβλήματος 1 (τουλάχιστον εγώ αυτό αντιλήφθηκα). Δηλαδή πρώτα επιλέγουμε στην τύχη μία δίτεκνη οικογένεια με ένα τουλάχιστον κορίτσι (οποιοδήποτε ονόματος) και μετά μας πληροφορούν πως το όνομα του κοριτσιού είναι Κλημεντίνη. Αν δεν ισχύει αυτή η χρονική αλληλουχία τότε έχω άδικο.
Φυσικά δεν θα αλλάξουν οι πιθανότητες επειδή το κοριτσάκι μας είπε το όνομά του. Θα μπορούσε να μας έλεγε ψέματα στο κάτω-κάτω.
Αντιλαμβάνομαι ότι έχουμε μπροστά μας ένα συγκεκριμένο κορίτσι. Η πιθανότητα να έχει αδελφή κρίνω ότι είναι 1/2.
Οι προτάσεις:
"Το κορίτσι έχει μία αδελφή"
"Είναι δυο αδελφές"
θεωρώ ότι είναι ισοδύναμες.
Αυτό επεχείρησα να παρουσιάσω στις εικόνες που έστειλα πριν.
Γιάννη
δεν προλαβαίνω, με ευθύνη μου, αναρτήσεις
απαντώ στα 4 αδέλφια
(απολύτως αδιάφορο το όνομα, η ομάδα, το κόμμα)
1/2 ή 50% παντού
και, σε κάθε περίπτωση, να κατανοήσουμε ότι "δεδομένο" σημαίνει δεδομένο, προηγείται δηλαδή χρονικά, δεν μπαίνει σε αμφισβήτηση, δεν μπαίνει αν…
Βαγγέλη και εγώ αυτή πιστεύω πως είναι η πιθανότητα.
Στο άλλο σχόλιό σου (προηγείται χρονικά κ.λ.π.) ας πω ότι πρόσφατα έμαθα για την διαμάχη κλασικής και μπεϊζιανής στατιστικής.
Όταν ρίχνω νόμισμα, το πιάνω και το κρύβω, δεν ξέρεις τι έλαχε. Έχει νόημα να μιλάμε για πιθανότητα κάποιου ήδη γεγονότος;
Δεν απαντούν όλοι το ίδιο. Δες το physicsgg.
Προηγείται χρονικά λες. Δηλαδή γεννήθηκε πρώτο το ένα παιδί;
Αν όλα έχουν συμβεί;
Συγκεκριμένη συνάδελφός μου έχει έναν/μια αδελφό/αδελφή. Εσύ δεν γνωρίζεις το φύλλο που εγώ γνωρίζω.
Θα μπορούσαμε να στοιχηματίσουμε, φυσικά με εσένα στην πρόβλεψη στοίχημα. Αν ποντάρεις 10 ευρώ ότι είναι γυναίκα και κερδίσεις, πόσα πρέπει να κερδίσεις;
Αν πρέπει να κερδίσεις 10 ευρώ τότε η πιθανότητα είναι 1/2.
Αν η πιθανότητα είναι 1/3 πρέπει να κερδίσεις περισσότερα χρήματα από όσα πόνταρες.
Αν κάποιος πιστεύει ότι η πιθανότητα είναι 1/3 και δέχεται να σου δώσει περισσότερα χρήματα από όσα πόνταρες, τότε βρήκες επικερδή ενασχόληση.
Εγώ κάνω το λάθος Γιάννη, γιατί "μεταφράζω" τη διατύπωση. Αν διαβάσεις κατά γράμμα το πρόβλημα2 καταλήγεις σε πιθανότητα 1/2.
Στην περίπτωση που διαβάζει κάποιος τη διατύπωση, αναρωτιέται γιατί ο ποιητής χρησιμοποιεί την περιττή φράση " … το ένα παιδί είναι κορίτσι…", αφού θα μπορούσε κατ' ευθείαν να πει "… με δεδομένο πως το ένα παιδί ονομάζεται Κλημεντίνη…".
Η σύγχυση Βαγγέλη έγκειται στο ότι κάποιες φορές, στο ερώτημα με τα 4 αδέρφια, νομίζουμε ότι μας ζητάνε να βρούμε την πιθανότητα ύπαρξης 4 αδελφών που ο ένας α είναι κοντός διοπτροφόρος Μαθηματικός, ο άλλος ψηλός διοπτροφόρος και νεοδημοκράτης Χημικός ο άλλος ψηλός και ασπρομάλης και ο τελευταίος οτιδήποτε.
Η πιθανότητα αυτή είναι πολύ μικρή. Ίσως στην Ελλάδα δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια.
Αυτό όμως ζητάμε;
Γιάννη έβγαζα συνεχώς το ίδιο. Μου φάνηκε αρχικά 'ανορθόδοξη" η απάντηση του physics gg. Το πρωί μετά την απάντησή σου προβληματιζόμουν αν όντως η πιθανότητα είναι 1/3 διότι η "επιτυχία" αφορά την ίδια οικογένεια και δεν μετράει δυο φορές.
Είναι φανερό το ότι θέλησα να εντοπίσω παράδοξα πιθανοτήτων διότι σκέφτομαι το αν οι παραδοξότητες της Κβαντομηχανικής είναι παραδοξότητες πιθανοτήτων και όχι μεταφυσικές παραδοξότητες.
προηγείται χρονικά, Γιάννη, εννοώ ότι είναι ήδη τετελεσμένο και είτε το γνωρίζω είτε όχι είναι αδιάφορο
το αδελφάκι της συναδέλφου είναι 50%-50% αγόρι-κορίτσι,
μα τί λέμε, μπαίνει ερώτημα;
θα μας "κράξουν' οι Μαθηματικοί…