by 
Από το εξαιρετικό physicsgg ένας γρίφος πιθανοτήτων:
Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων.
πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Πρόβλημα 2: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη σχέση μεταξύ των δύο πιθανοτήτων Π και Π‘
Είναι Π=Π΄ ;
Είναι η Π πολύ μεγαλύτερη της Π’ ;
Είναι Π=2Π΄/3 ;
Ισχύει κάτι άλλο;
Όταν θα απαντηθεί (ή θα αγνοηθεί) το ερώτημα, θα γίνει η παραπομπή στην ιστοσελίδα.
Όχι έχουμε μόνο δύο ενδεχόμενα.
1. Τα τρία αρσενικά όργια έχουν έναν αδελφό.
2. Τα τρία αρσενικά όργια έχουν μία αδελφή.
Έχουμε ως δεδομένα τα:
1. Τα τρία όργια υπάρχουν.
2. Έχουν ΄μόνο έναν/μία αδελφό/η.
Φυσικά η πιθανότητα ύπαρξης των τεσσάρων αυτών οργίων είναι πολύ μικρή. Ίσως μικρότερη από 1/1.000.000.
Όμως δεν ρωτάει κάτι τέτοιο το θέμα.
Γιάννη δεν πρόλαβα τη ραδιοφωνική εκδοχή, η οποία φαντάζομαι θα ήταν ανώτερη. Θυμάμαι αρχές δεκαετίας 70, καθόμασταν με τη γιαγιά μου και ακούγαμε ραδιοφωνικές εκπομπές. Ήμουν πολύ μικρός και οι μνήμες έχουν ξεθωριάσει. Δυστυχώς για εμάς τους λίγο μικρότερους η τηλεόραση αντικατέστησε το ραδιόφωνο.
Αποστόλη πρέπει να ήταν 1961-1962-1963 γιατί δεν πήγαινα σχολείο.
Δεν είχα δει τηλεόραση. Ήμουν στο Δημοτικό όταν σε ένα "γέλιο και χαρά" είδα τον ήρωα να βλέπει εικόνα σε ένα μυστηριώδες κουτί. Ο πατέρας μου μου είπε ότι λέγεται τηλεόραση, κάτι που στην Ελλάδα δεν έχουμε.
Στις αρχές της δεκαετίας του 70 δεν υπήρχε η εκπομπή. Το ραδιόφωνο είχε αντικατασταθεί από ένα Sanyo με τρανζίστορ.
(Τρανζίστορ και όχι τρανζίστορς ο πληθυντικός.)
Μοιάζει με το παρακάτω:
-Έχω ρίξει ένα ζάρι και έχω φέρει 6.Ποια η πιθανότητα στην επόμενη ζαριά να φέρω 6;
-Είναι 1/6.
Επίσης:
-Έχω ρίξει ένα ζάρι κάποιες φορές και έχω φέρει 2,5,5,6,1. Ποια η πιθανότητα στην επόμενη ζαριά να φέρω 6;
-Πάλι είναι 1/6.
Επίσης:
-Έχω φάει πρωινό και ρίχνω ένα ζάρι. Ποια η πιθανότητα να φέρω 6;
-Πάλι 1/6.
Μα όταν έχουμε μια τετραμελή οικογένεια, τα ενδεχόμενα είναι όλες οι διατεταγμένες πιθανές τετράδες.
Αυτό δεν το λαμβάνεις πουθενά υπόψη σου!
Τα δύο άγνωστα τυχαία παιδιά μπορεί να είναι: (αγόρι μεγαλύτερο,αγόρι μικρότερο), (αγόρι μεγαλύτερο, κορίτσι μικρότερο), (κορίτσι μεγαλύτερο, αγόρι μικρότερο) σε οποιαδήποτε σειρά τοποθετήσουμε τα αδέλφια με τα "συγκεκριμένα " χαρακτηριστικά.
Άρα λοιπόν η πιθανότητα να έχουμε ένα κορίτσι είναι διπλάσια.
Τα ενδεχόμενα είναι πολλά όταν ψάχνουμε την πιθανότητα να έχουμε αυτήν την τετραμελή οικογένεια.
Όταν την έχουμε τα ενδεχόμενα δεν είναι πολλά. Η ύπαρξή τους είναι δεδομένη.
Τα δύο προβλήματα δεν έχουν σχέση.
Δες τι έγραψα με τα ζάρια.
Όταν διάβασα το πρόβλημα δεν είχα καταλάβει αυτά που τώρα γράφω.
Όμως είναι απλό.
Η πιθανότητα να υπάρχει οικογένεια με παιδιά που λέγονται Κίμων, Φαίδων, Στησίχορος, Αρχέλαος, Εγκέλαδος και ένα αγόρι ακόμα, είναι ίσως μηδενική.
Αν όμως σου πουν ότι οι Κίμων, Φαίδων, Στησίχορος, Αρχέλαος, Εγκέλαδος έχουν έναν/μία αδελφό/ή, τότε υπάρχει η σπάνια πεντάδα με πιθανότητα 1. Η πιθανότητα να έχουν άλλον ένα αδελφό είναι 1/2.
Δεν καθόμαστε να κάνουμε πίνακες και δειγματοχώρους, ούτε ασχολούματε με το ποιος γεννήθηκε πρώτος.
Έχεις δίκιο Κατερίνα, βιαζόμουν να φύγω και δεν το πρόσεξα, είναι το ίδιο, άρα 1/2
ρωτάς την πιθανότητα να είναι αγόρι στην κουρτίνα με τα 4 παιδιά του Γιάννη, μα 1/2, υπάρχει άλλο τι ισοδύναμο από αγόρι -κορίτσι;
Γιάννη αυτό με τα ζάρια το έγραψα νωρίτερα
(θα προσπαθήσω να δω τα υπόλοιπα)
"Αν όμως σου πουν ότι οι Κίμων, Φαίδων, Στησίχορος, Αρχέλαος, Εγκέλαδος έχουν έναν/μία αδελφό/ή, τότε υπάρχει η σπάνια πεντάδα με πιθανότητα 1. Η πιθανότητα να έχουν άλλον ένα αδελφό είναι 1/2."
Αυτό εννοούσα ότι προηγείται, Γιάννη, η γνώση, το δεδομένο της ύπαρξης, που είναι αδιάφορο για το φύλο του τυχόν υπάρχοντος νιοστού παιδιού του οποίου η γέννηση είναι ανεξάρτητο γεγονός από τις προηγούμενες γεννήσεις και άρα επειδή δύο τα φύλα η πιθανότητα να είναι αγόρι είναι 1/2 για κάθε ν.
Καλημέρα!
Γιάννη (Κυρ) και Βαγγέλη, το σκίτσο 2 του Γιάννη είναι ουσιαστικά το "Πρόβλημα1" της ανάρτησης:
"Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;" (μόνο που αντί για κορίτσια έχουμε αγόρια…)
Με το σκεπτικό το δικό σας, αφού δεν μας ενδιαφέρει ποιο παιδί γεννήθηκε πρώτο ή δεύτερο, θα πρέπει να βρείτε πάλι πιθανότητα 1/2.
Αυτό όμως είναι λάθος, παίρνοντας διατεταγμένες δυάδες, η πιθανότητα βγαίνει 1/3.
Με τον τρόπο που σκέφτεστε όμως βρίσκουμε την πιθανότητα του "ανεξάρτητου γεγονότος" της γέννησης ενός παιδιού (που είναι πάντα 1/2 για τη γέννηση κοριτσιού και 1/2 για τη γέννηση αγοριού) και όχι την πιθανότητα κάποιου "ενδεχομένου" την οποία για να τη βρούμε χρειαζόμαστε οπωσδήποτε διατεταγμένες ν-άδες παίρνοντας όλες τις διαφορετικές περιπτώσεις χρονολογικής σειράς γέννησης των παιδιών.
Επίσης, Βαγγέλη, θα ήθελα να μου απαντήσεις τι πιθανότητα βρίσκεις στο πρόβλημα που σου έθεσα στο προηγούμενο σχόλιό μου.
καλημέρα Κατερίνα
σού έχω απαντήσει, δεν θα το είδες, το ξαναγράφω
"Έχεις δίκιο Κατερίνα, βιαζόμουν να φύγω και δεν το πρόσεξα, είναι το ίδιο, άρα 1/2"
και αναλυτικότερα: οι δυνατοί συνδυασμοί είναι δύο: αγόρι-αγόρι και αγόρι-κορίτσι, άρα το ζητούμενο (αγόρι-αγόρι) έχει πιθανότητα 1/2 (εκτός και αν κάτι δεν καταλαβαίνω)
Συγγνώμη Βαγγέλη, δεν κατάλαβα ότι το 1/2 ήταν η απάντηση στο πρόβλημα που σου έθεσα.
Βαγγέλη, όπως σου είπα και πριν υπολογίζεις την πιθανότητα ενός ανεξάρτητου γεγονότος και όχι ενός ενδεχομένου.
Σου παραθέτω έναν σύνδεσμο με ασκήσεις πιθανοτήτων και την άσκηση που σου έδωσα (σελ. 5 άσκηση 1.25, λίγο πιο δύσκολη στις πανεπιστημιακές σημειώσεις) για να δεις ποιον τύπο παίρνουμε και πώς δουλεύουμε με την "δεσμευμένη πιθανότητα". Η πιθανότητα βγαίνει 1/3 (και όχι 1/2) στην περίπτωση που τα γεγονότα γέννησης αγοριού ή κοριτσιού είναι ισοπίθανα .
Είναι σημειώσεις Στατιστικής από το Πανεπιστήμιο Πειραιώς και πιστεύω δεν χωρούν αμφισβήτηση…
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ-ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ
Βαγγέλη, δες πρώτα την άσκηση 1.22 στην πρώτη σελίδα και μετά πας στα δύσκολα…
Καλημέρα Κατερίνα και Βαγγέλη.
Κατερίνα μια χαρά είναι οι σημειώσεις. Όμως πως εφαρμόζονται όσα σωστά γράφει στο πρόβλημα;
Τα Μαθηματικά είναι σωστά όμως κάποιες φορές εμείς κάνουμε λάθη.
Το πρόβλημα 1.22 που αναφέρεις είναι διαφορετικό.
Δες εκτός από την δική μου λύση και την λύση του fhysicsgg.
Δες και την λύση Μlodinow που παρέθεσε ο Γιάννης Φιορεντίνος.
Αν θέλεις μη δεις τη δική μου λύση. Δες τις άλλες δύο. Καταλήγουν στο ίδιο με εντελώς διαφορετικούς δρόμους.
Το 1.22 είναι σαν το πρώτο πρόβλημα, το εύκολο.
Κατερίνα δεν έχω τώρα χρόνο για τα δύσκολα, διότι…, και είδα την πρώτη σελίδα, εννοείς το πρόβλημα που βάζει ο Διονύσης με την κατσίκα (για το κρέας της οποίας, ειρήσθω εν παρόδω, τρελαίνομαι…)
Διαφωνώ και ισχυρίζομαι ότι "ό γέγονε γέγονε", δηλαδή μετά το άνοιγμα του 3, όπου και η κατσίκα, η νέα πραγματικότητα, με πλήρη αδιαφορία για την προϋπάρχουσα, είναι ότι υπάρχουν δύο επιλογές με την μία από αυτές να έχει το αυτοκίνητο, άρα η πιθανότητα είναι 1/2, ότι και αν κάνει είτε επιμείνει στην αρχική του επιλογή είτε την αλλάξει, και όχι 2/3 αν την αλλάξει, συνεπώς ο παίχτης δεν έχει κανέναν λόγο να αλλάξει επιλογή, πέραν της τυχόν "μαντεψιάς".
Γιάννη, εννοείται ότι οι σημειώσεις είναι μια χαρά….
Το θέμα είναι εσύ τι πιθανότητα βρίσκεις στο σκίτσο 2 με το σκεπτικό των συμπληρωματικών ενδεχομένων που εφαρμόζεις;
Βρίσκεις 1/3; Βρίσκεις 1/2;