by 
Από το εξαιρετικό physicsgg ένας γρίφος πιθανοτήτων:
Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων.
πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Πρόβλημα 2: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Το ζητούμενο είναι να βρούμε τη σχέση μεταξύ των δύο πιθανοτήτων Π και Π‘
Είναι Π=Π΄ ;
Είναι η Π πολύ μεγαλύτερη της Π’ ;
Είναι Π=2Π΄/3 ;
Ισχύει κάτι άλλο;
Όταν θα απαντηθεί (ή θα αγνοηθεί) το ερώτημα, θα γίνει η παραπομπή στην ιστοσελίδα.
Όχι Νίκο δεν είναι κάτι τέτοιο.
Έχω στείλει τη λύση της ιστοσελίδας.
Έγραψα και την λύση που αρχικά σκέφτηκα.
Όμως ας μην απορρίψω τη λύση σου χωρίς συζήτηση και ας την σχολιάσω. Δεν πρέπει να στέκει διότι αν έστεκε η πιθανότητα θα διέφερε από χώρα σε χώρα. Σε μία χώρα με άπειρα γυναικεία ονόματα θα ήταν 1/2. Σε έναν τόπο που (για μυστήριους λόγους) βγάζουν μόνο μόνο 3 ονόματα, θα ήταν 1/3. Κάτι τέτοιο παραβιάζει την λογική, διότι πρέπει η πιθανότητα να μην εξαρτάται από τόπο, περιοχή πλήθη ονομάτων.
Το όνομα θα μπορούσε να αντικατασταθεί με αναφορά ενός χαρακτηριστικού. Θα μπορούσαμε π.χ. να λέγαμε ότι το ένα κορίτσι γεννήθηκε στις 16 Αυγούστου χωρίς να έχει δίδυμο αδελφό ή αδελφή.
Το κακό είναι ότι το παράδοξο Μόντυ Χωλ επιβεβαιώθηκε (έγραψαν) από προσομοίωση (Μοντεκάρλο) το παρόν δεν βλέπω πως θα επιβεβαιωθεί ή θα διαψευσθεί.
Γιάννη, τη λύση την βρήκα το μεσημέρι, μετά την "απόρριψη" εκ μέρους σου της πιθανότητας 1/2 που σκέφτηκα.
Φαίνεται να είναι σωστή η παραπάνω λύση, αλλά περιμένω κάτι άλλο.
Τη σύνδεση με τα προηγούμενα…
Γιάννη θέλω να σου θέσω τρια πιο απλά προβλήματα και να τα συζητήσουμε.
1. Κάποιος ρίχνει δυο ζάρια ( μαζί ) Ποια η πιθανότητα να έρθουν εξάρες ;
2. Κάποιος ρίχνει ένα ζάρι και φέρνει έξι. Μετά ρίχνει το δεύτερο ζάρι. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρει έξι.
3. Κάποιος έριξε δυο φορές ένα ζάρι ( μια χθες και μια προχθές ) . Αν μια από τις δυο φορές έφερε έξι., Ποια είναι η πιθανότητα να είχε φέρει και τις δυο φορές έξι
Τα βιβλία που έχω από το Πανεπιστήμιο λένε πως από τα τρια προβλήματα μόνο το α) είναι πρόβλημα δεσμευμένης πιθανότητας …
Αλλά ίσως έχουν αλλάξει τα πράγματα στην επιστήμη από τότε
Περιμένω την γνώμη σου.
Διονύση δεν είναι ακριβώς απόρριψη.
Σκέφτομαι και τη λύση:
Η πιθανότητα να έχει δύο κορίτσια (αφού βλέπω ότι έχει ήδη ένα) ταυτίζεται με την πιθανότητα του "το δεύτερο παιδί είναι κορίτσι". Η πιθανότητα αυτή είναι 1//2. Οπότε τόση είναι η πιθανότητα να έχει η οικογένεια δύο κορίτσια.
Ποιο λάθος έχει;
Τα ενδεχόμενα ποιας λύσης είναι ισοπίθανα;
Αν σωστή είναι η λύση με τις πιθανότητες διαφορετικές, θα είχαμε κάτι το "εκπληκτικό". Η παρατήρηση (ρωτάμε το κορίτσι πως λέγεται) διαφοροποιεί την πραγματικότητα!
Κάτι δηλαδή σαν τις υπερθέσεις, τη γάτα του Σρέντιγκερ, το πείραμα των δύο σχισμών.
Μήτσο στο 1 η πιθανότητα θεωρώ ότι είναι 1/36.
Στο δεύτερο ότι η πιθανότητα είναι 1/6.
Στο 3 η πιθανότητα μοιάζει να είναι 1/3. Εδώ δεν είμαι σίγουρος και πρέπει να πιάσω μολύβι.
Δεν κατάλαβα ούτε τα γιατί μόνο το πρώτο είναι πρόβλημα δεσμευμένης πιθανότητας και όχι τα άλλα, ούτε γιατί άλλαξε η επιστήμη.
Καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη, είχα ακούσει για το παράδοξο του Monty Hal, αλλά όχι γι’ αυτό της «Κλημεντίνης».
Έδωσα και εγώ την απάντηση που δίνει στο Physicsgg. Η επί πλέον πληροφορία αλλάζει το δειγματικό χώρο, άρα και την πιθανότητα.
Είδα όμως και την απάντηση του Νίκου και ψάχνοντας στο δίκτυο, βρήκα και αυτό: Girl Named Florida solutions
Είναι το τέταρτο πρόβλημα. Βγάζει ότι η πιθανότητα εξαρτάται από τη συχνότητα (πιθανότητα) του ονόματος (Χρησιμοποιεί το Florida αντί του Κλημεντίνη).
Γεια σας παιδιά.
Το να ρωτήσουμε το κορίτσι πώς λέγεται και να αλλάξει η πιθανότητα γέννησης ενός νέου κοριτσιού, είναι μάλλον τρελό!
Όμως αυτό είναι το ίδιο με το "μια συσκευή ανιχνεύει την ύπαρξη ενός ηλεκτρονίου";
Καλησπέρα Γιάννη (Φιορ).
Χαίρομαι που σε βλέπω στην παρέα…
Καλησπέρα Διονύση!
Γιάννη πρώτα να σε χαιρετίσω μια και χάθηκες.
Δεύτερον να πω ότι αν κάτι διαψεύδεται από ένα αντιπαράδειγμα, τότε δεν είναι σωστό.
Θα κάνουμε την υπόθεση ότι είμαι δικτάτορας και έχω εξορίσει 5.000.000 ανθρώπους σε ξερονήσια. Τους επιτρέπω να κάνουν παιδιά, αλλά επιβάλλω σ' αυτούς να ονομάζουν τα κορίτσια μόνον Ιωάννες (προς τιμήν μου).
Μια οικογένεια εξορίστων έχει δύο παιδιά που το πρώτο είναι κορίτσι και λέγεται (φυσικά) Ιωάννα.
Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν δύο κορίτσια;
Αν δεχθούμε αυτό που λέει ο Νίκος και η αλλοδαπή δημοσίευση τότε η πιθανότητα είναι μηδενική. Αυτό φυσικά είναι άτοπο διότι οι εξόριστοι δεν διαφοροποιήθηκαν βιολογικά από τους άλλους ανθρώπους.
Αφού βρήκαμε ένα αντιπαράδειγμα, δεν χρειάζεται να ψάχνουμε την ορθότητα της πρότασης.
Θα μπορούσα να επικαλεστώ τόπους εξορίας με πλήθη ονομάτων 2 ,3 ,4. Θα έβγαιναν διαφορετικές πιθανότητες, κάτι που δεν κολλάει στην λογική.
Πέραν όλων αυτών, ο Μήτσος έγραψε κάτι. Εγώ έγραψα την λύση που πρωτοσκέφτηκα.
Πολύ περισσότερο από την εύρεση σωστής λύσης αξίζει το να εντοπίσουμε το λάθος μιας άλλης λύσης.
Ποιο είναι το λάθος;
Γιάννη το 4ο πρόβλημα (όπως γράφεται) είναι τελείως διαφορετικό από το παρόν.
Σε καλεί να βρεις το ποσοστό των οικογενειών που έχουν μόνο δύο κορίτσια, εκ των οποίων το ένα ονομάζεται Φλόριντα.
Με δεδομένο το ότι είναι (ίσως) σπάνιο όνομα, το ποσοστό είναι (ίσως) πολύ μικρό (ή μηδέν).
Εδώ είναι άλλο ερώτημα:
Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π‘) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι και το λένε Κλημεντίνη, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια;
Δηλαδή δεν ψάχνουμε ποσοστό ιδιόρρυθμων οικογενειών που βγάζουν τα παιδιά τους Κλημεντίνες αντί Άννες. Έχουμε ήδη πέσει σε οικογένεια ιδιόρρυθμη. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν δύο κορίτσια;
Τα δύο προβλήματα ουδεμία σχέση έχουν.
Αλοίμονο αν κάτι δεν κολλάει στην λογική.
Δηλαδή οι εξόριστοι που επικαλέστηκα μυστικά έχουν δώσει άλλο όνομα στο παιδί τους. Κρυφά το αποκαλούν Αντιγόνη.
Αυτό σημαίνει ότι αλλάζει η πιθανότητα να κάνουν άλλο ένα κορίτσι;
Με μαθηματικοφανή τρόπο έχουμε "αποδείξει" ότι ο Αχιλλέας δεν πιάνει τη χελώνα, ότι 2=1, ότι μια οξεία γωνία ισούται με μια αμβλεία. Θα πιστέψουμε τις "αποδείξεις" μας;
Η λογική υπερισχύει κάθε ανθρώπινου δημιουργήματος.
Γεια σου Γιάννη (Φιορ)
Μερικές σκέψεις
Το 1ο ερώτημα λέει: "Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, να είναι και τα δυο παιδιά κορίτσια".
Όταν λέει "…ένα παιδί…" εννοεί κάποιο παιδί και δεν αναφέρεται σε συγκεκριμένο παιδί (πχ στο 1ο παιδί)
Μια πιο καθαρή διατύπωση του 1ου ερωτήματος θα ήταν: "Μία οικογένεια έχει 2 παιδιά. κάποιο από τα παιδιά είναι κορίτσι. Ποια η πιθανότητα η οικογένεια να έχει 2 κορίτσια;"
Στην παραπάνω διατύπωση θα απαντούσαμε πως η πιθανότητα είναι 1/3.
Έστω πως το ερώτημα δεν αναφέρονταν σε κάποιο παιδί αλλά σε συγκεκριμένο παιδί (πχ στο 1ο παιδί) της οικογένειας. Δηλαδή, έστω πως το ερώτημα έλεγε: "Μία οικογένεια έχει 2 παιδιά. Το 1ο παιδί είναι κορίτσι. Ποια η πιθανότητα να είναι το 2ο παιδί κορίτσι; (και έτσι η οικογένεια να έχει 2 κορίτσια)"
Η πιθανότητα τώρα είναι 1/2.
Είναι δηλαδή διαφορετική πληροφορία πως κάποιο παιδί είναι κορίτσι και διαφορετική πως ένα συγκεκριμένο παιδί είναι κορίτσι.
Όταν το 2ο ερώτημα αναφέρεται στην Κλημεντίνη δεν αναφέρεται σε κάποιο παιδί που τυγχάνει να το λένε Κλημεντίνη. Αναφέρεται στην Κλημεντίνη, ένα συγκεκριμένο πρόσωπο.
Η διατύπωση του 2ου ερωτήματος κατά τη γνώμη μου δεν είναι καλή. Μια καθαρή διατύπωση θα ήταν:
"Η οικογένεια της Κλημαντίνης έχει 2 παιδιά. Ποια είναι η πιθανότητα το αδερφάκι της Κλημεντίνης να είναι κορίτσι; (και έτσι η οικογένεια να έχει 2 κορίτσια)"
Εδώ απαντάμε 1/2.