by 
Η ανάρτηση του Διονύση “Δυο κύματα που διαδίδονται αντίθετα” φοβάμαι ότι μπορεί να παρεξηγηθεί.
Φοβάμαι ότι μπορεί να θεωρήσει κάποιος ότι αν στα άκρα μιας χορδής βάλουμε δύο πηγές που τα αναγκάζουν να ταλαντεύονται με ίδιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη, δεν θα έχουμε στάσιμο κύμα.
Όντως δεν θα έχουμε στην περίπτωση της ανάρτησης του Διονύση. Εδώ όμως;
Στα ίδια μπορούμε να καταλήξουμε και λιγότερο “τολμηρά”. Αναζητώντας λύση της κυματικής εξίσωσης που ικανοποιεί τις συνθήκες των άκρων. Πάλι στάσιμο θα προκύψει.
Γεια σας παιδιά.
Νίκο, πέρα από τα μαθηματικά και τη μεθοδολογία, τι ακριβώς υποστηρίζεις; Ότι στην παραπάνω χορδή ΔΕΝ δημιουργείται στάσιμο;
Καλημέρα παιδιά.
Η εξίσωση του Γιάννη στο S.I. είναι η
y = 0.01sqrt(5) ημ(25πχ/3+θ) ημ(200πt), όπου θ = 0.46 rad.
Δεν καταλαβαίνω γιατί δεν είναι στάσιμο.
Καλημέρα παιδιά.
Όποια και αν είναι η λύση εκφράζεται ως άθροισμα αρμονικών όρων του τύπου:
Β.ημ2π(ft-x/λ) , Β΄.συν2π(ft-x/λ) , Γ.ημ2π(ft+x/λ) , Γ΄.συν2π(ft+x/λ)
Θεωρώ ότι και έτσι θα “βγάλουμε” στάσιμο κύμα.
Καλησπέρα Γιάννη.
Η λύση σου είναι γινόμενο αρμονικών όρων με ορίσματα kx+θ και ωt. Είναι σίγουρα στάσιμο, συμφωνώ.
Καλησπέρα Στάθη.
Αυτό πιστεύω. Σκέφτομαι γραφικές λύσεις που θα έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα.
Το θέμα με έχει ξανααπασχολήσει με πηγές ίδιου πλάτους.
Διονύση, στάσιμο είναι δυο αντίθετα διαδιδόμενα κύματα ίσου πλάτους. Εσύ ξέρεις εκ των προτέρων ότι τα δύο αντίθετα διαδιδόμενα κύματα στη χορδή είναι ίσου πλάτους;
Συνάδελφοι καλησπέρα.
Για το πρόβλημα που συζητάμε, υπάρχει μεθοδολογία λύσης. Στις 11/8, απαντώντας σε παρόμοιο πρόβλημα που είχε τεθεί τότε, έδειξα, εδώ πως εργαζόμαστε σε ένα ανάλογο πρόβλημα: το ένα άκρο της χορδής είναι σταθερό και το άλλο κάνει ταλάντωση ορισμένου πλάτους. Χρησιμοποίησα βέβαια μιγαδικά εκθετικά, αλλά το πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί και με αρμονικές συναρτήσεις. Αν και η λύση είναι στάσιμο κύμα, έκανα πως δεν το γνωρίζω. Για να πω την αλήθεια, δεν ξέρω τι θα πει στάσιμο κύμα. Κάθε κύμα είναι υπέρθεση δύο κυμάτων: το ένα πάει προς το + και το άλλο προς το -. Σε κάποιες περιπτώσεις το ένα από τα δύο αυτά κύματα μηδενίζεται.
Όχι Νίκο. Περιγράφεται έτσι και καλώς περιγράφεται έτσι.
Είναι μια ταλάντωση συνεχούς μέσου. Η λύση του προβλήματος “υπακούει” στην κυματική εξίσωση. Έτσι γράφεται ως άθροισμα δύο όρων:
Α.ημ2π(ft-x/λ) , Α.ημ2π(ft+x/λ)
με κατάλληλο σημείο αναφοράς.
Οι όροι αυτοί παριστάνουν δύο κύματα ίδιου πλάτους αντίθετα διαδιδόμενα.
Δεν είναι όμως αυτή η ουσία του.
Έχω γράψει σχετικά:
Ποιο είναι το πλάτος των κοιλιών.
Δυο πηγές δημιουργούν στάσιμο κύμα.
Σ’ αυτές φαίνεται ότι το πλάτος των κοιλιών δεν είναι πάντα 2Α. Είναι συνήθως σημαντικά μεγαλύτερο.
Η ανάλυσή σου είναι σωστή καθώς και τα συμπεράσματα.
Όμως η προσέγγιση των δύο κυμάτων δεν είναι η μοναδική. Μέχρι γραφική λύση επιδέχεται το πρόβλημα.
Υπάρχουν δυο τρόποι να δουλεύουμε Γιάννη. Ο ένας είναι να ακολουθούμε ενιαία μεθοδολογία σε όλα τα προβλήματα του είδους. Η άλλη είναι, όταν σε κάποιο πρόβλημα υπάρχει τρόπος να αλλάξουμε μεθοδολογία για να “κόψουμε δρόμο” να το κάνουμε. Μπορείς να μου λύσεις ένα πρόβλημα κύματος σε χορδή στην οποία οι ταλαντώσεις στα δυο άκρα περιγράφονται από ορισμένες αρμονικές συναρτήσεις, που να δίνονται πλάτη, συχνότητες και φάσεις; Με αυτές τις οριακές συνθήκες να μου προσδιορίσεις την ταλάντωση στο σημείο x της χορδής. Αν το κάνεις λέγοντας ότι η ταλάντωση στο άκρο Α δημιουργεί στάσιμο κύμα και το ίδιο κάνει και η ταλάντωση στο Β, πως μπορείς να αποδείξεις ότι αυτά τα κύματα είναι στάσιμα;
Καλημέρα Νίκο και Γιάννη.
Επειδή βλέπω ανταλλαγή “απόψεων” που δεν βγάζουν κάπου, δοκίμασα να δω τι θα βγει, αν στην παραπάνω περίπτωση εφαρμόσουμε τη διαφορική εξίσωση σε συνδυασμό με τις συνοριακές και αρχικές συνθήκες, σύμφωνα με την καλοκαιρινή μου μελέτη:
Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο
Το αποτέλεσμα είναι όπως το διαβάζετε στο αρχείο:
Μια χορδή με δυο πηγές…
Επιστρέφω Γιάννη για μια συνέχεια, μετά την παραπάνω θεωρητική επιβεβαίωση της θέσης σου.
Η απάντηση του Νίκου, σε παραπάνω ερώτημά μου ότι:
«Διονύση, στάσιμο είναι δυο αντίθετα διαδιδόμενα κύματα ίσου πλάτους. Εσύ ξέρεις εκ των προτέρων ότι τα δύο αντίθετα διαδιδόμενα κύματα στη χορδή είναι ίσου πλάτους;»
Παρότι είναι μια τυπική-δηλωτική απάντηση, με κράτησε σε εγρήγορση. Πράγματι έτσι γράφεται στα βιβλία και έτσι τη διδάσκουμε. Έχει ισχύ αξιώματος ή απλά παίρνουμε μια ενδιαφέρουσα περίπτωση τη μελετάμε και φτιάχνουμε και «έναν νόμο» γενικεύοντας τα μερικά συμπεράσματα που προέκυψαν;
Έστω λοιπόν ότι έχουμε μια χορδή μήκους L=2,2m στα άκρα της οποίας τοποθετούμε τις δυο πηγές σου, με αποτέλεσμα τα κύματα που δημιουργούνται να έχουν μήκος κύματος λ=2m. Θα δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα, κάπως έτσι:
Όπου τα άκρα της χορδής ταλαντώνονται με την ίδια φάση.
Αλλάζουμε το μήκος της ίδιας χορδής στην τιμή L1=3,2m. Τι θα συμβεί μόλις ταλαντωθούν οι πηγές; Μπορούμε να έχουμε στάσιμο; Τα 3,2m είναι λίγο παραπάνω από 1,5λ οπότε η εικόνα που θα μπορούσε να δημιουργηθεί, είναι κάπως όπως αυτή του σχήματος. Αλλά τότε τα δυο άκρα της χορδής παρουσιάζουν διαφορά φάσης π, ενώ εμείς θέλουμε να έχουν την ίδια φάση!
Δεν βλέπω με άλλα λόγια να δημιουργείται στάσιμο κύμα πάνω σε αυτή τη χορδή.
Αν είναι έτσι, η παραπάνω γενική δήλωση του Νίκου είναι σωστή.
Κάνω κάποιο λάθος;
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση είναι ωραία η πορεία που παρουσιάζεις.
Θέλει λίγο ψάξιμο το ότι πρέπει οι φάσεις να είναι κατάλληλες ώστε να δούμε στάσιμο. Τούτο δε διότι αν μετατοπίσεις το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις δύο πηγές μπορείς να πετύχεις να έχουν ίδια φάση;;
Θα το δω τώρα.
Όντως ουδεμία μετατόπιση πηγών θα μας δώσει στάσιμο κύμα στην περίπτωση του σχήματός σου.