by 
Μελετάω ενεργειακά τη χρονική συμπεριφορά της διαφοράς στάθμης δυο συγκοινωνούντων δοχείων. Υπάρχει μόνο μια περίπτωση στην οποία αυτή ακολουθεί αρμονική ταλάντωση συγκεκριμένης συχνότητας.
Η ανάλυση σε .pdf εδώ.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Μελετάω ενεργειακά τη χρονική συμπεριφορά της διαφοράς στάθμης δυο συγκοινωνούντων δοχείων. Υπάρχει μόνο μια περίπτωση στην οποία αυτή ακολουθεί αρμονική ταλάντωση συγκεκριμένης συχνότητας.
Η ανάλυση σε .pdf εδώ.
Παρέα του υλικονετ, καλησπέρα.
Το πρόβλημα αποκτά ενδιαφέρον! Ίσως η εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη στη γενική περίπτωση. Πάντως με προσομοίωση που έδωσα στο modellus, έχουμε ταλαντώσεις της διαφοράς στάθμης ακόμα κι αν οι διατομές δεν είναι ίσες.
Νίκο δεν μπορεί να έχουμε ταλάντωση με διατομή σωλήνα σημαντικά μικρότερη από αυτή των δοχείων.
Καλησπέρα παιδιά,
τελικά έχουμε ταλαντώσεις ή όχι, μπερδεύτηκα.
Νίκο η δική σου εξίσωση (20) είναι παρόμοια με την δική μου (13). Η διαφορά έγκειται στο ότι θεωρείς αμελητέα τα τετράγωνα μεταβολής των h. Αν την ολοκληρώσεις αριθμητικά θα βγάλεις περιοδική κίνηση της στάθμης σε κάθε δοχείο.
Στάθη πιστεύω πως μόνο στον υοειδή σωλήνα έχουμε ταλαντώσεις. Εκεί που οι τρεις διατομές είναι ίσες.
Γιάννη νομίζω πως “ταλαντώσεις” (καλύτερα περιοδική κίνηση) θα έχουμε ακόμη και αν οι τρεις διατομές θα είναι άνισες. Το σύστημα βέβαια θα είναι μη γραμμικό (από ότι βλέπω και ο Νίκος εκεί καταλήγει τώρα).
Γιατί το λες αυτό;
Τώρα είδα αυτό το σχόλιο. Για σημαντική μικρότερη διατομή μάλλον έχεις δίκιο (βέβαια δεν καταλαβαίνω που ακριβώς είναι το όριο).
Εικασία: Αν μειώσεις πολύ την διατομή σύνδεσης θα πρέπει να λάβεις υπ’ όψιν το ιξώδες για δύο λόγους. Πρώτον η ροή θα έχει πολύ μεγάλες ταχύτητες και δεύτερον θα μικρύνει ο αριθμός Reynolds. Εκεί η κίνηση θα γίνεται με απόσβεση και δεν θα παρατηρείται περιοδικότητα.
Οι προσομοιώσεις λένε ότι πάντα έχουμε ταλαντώσεις που μοιάζει πολύ να είναι αρμονικές. Το θέμα είναι: γιατί η τελική εξίσωση δεν είναι εξίσωση αρμονικών ταλαντώσεων;
Καλό βράδυ σε όλους.
Στάθη ας δούμε που οδηγεί μια παραδοχή του τύπου:
-Όλο το υγρό έχει στο αριστερό δοχείο ταχύτητα όση στο Α και όλο το υγρό στο δεξί δοχείο έχει ταχύτητα όση στο σημείο Γ.
Ευκολότατος υπολογισμός δείχνει ότι σε χρόνο dt η κινητική ενέργεια όλου του υγρού μειώθηκε!
Ταυτόχρονα μειώθηκε και η δυναμική του ενέργεια!
Αυτά δεν γίνονται διότι η μηχανική ενέργεια ιδανικού υγρού διατηρείται.
Μία τέτοια παραδοχή με οδηγεί σε περίεργο συμπέρασμα. Εδώ είναι προφανές το περίεργον του συμπεράσματος.
Αν όμως μια τέτοια παραδοχή μας οδηγήσει σε ταλάντωση, το περίεργον δεν είναι προφανές.
Αν η παραδοχή ήταν σωστή θα έπρεπε η κινητική ενέργεια να αυξάνεται αντί να μειώνεται.
Μια παραδοχή που διαψεύδεται σε μία περίπτωση είναι προβληματική και σε άλλες περιπτώσεις.
Νίκο δεν είναι προσομοιώσεις. Δεν έχουμε Interactive physics για ρευστά. Είναι γραφικές παραστάσεις σχέσεων που βγάλαμε.
Αν οι σχέσεις έχουν λάθος;
Το θέμα δεν είναι “γιατί η τελική εξίσωση δεν είναι εξίσωση αρμονικών ταλαντώσεων;”
Η εξίσωση μπορεί να είναι τέτοια. Μπορεί να προέκυψε όμως από προβληματική παραδοχή.
Αν κάνουμε υπολογισμούς με δεδομένες διατομές και βγάλουμε προβληματικές παροχές και ταχύτητες καταλαβαίνουμε ότι κάτι περίεργο βγάλαμε. Αν τα μαθηματικά μας είχαν συνέπεια, η παραδοχή μας έχει πρόβλημα.
Όπως στο γνωστό πρόβλημα ένα προβληματικό σχήμα οδηγούσε στο ότι μια οξεία γωνία ήταν ίση με μια ορθή.
Όλα όσα λέγαμε για τις ισότητες τριγώνων σωστά ήταν. Όμως το σημείο τομής ήταν αλλού.
Ένας άνθρωπος δεν ξέρει Γεωμετρία. Όταν θα του πεις το πρόβλημα όμως θα απορρίψει το συμπέρασμα, άσχετα με το αν μπορεί ή όχι να βρει το λάθος.
Στο modellus Γιάννη, υποτίθεται ότι δίνουμε τις σωστές εξισώσεις του φαινομένου. Οπότε το modellus κάνει την προσομοίωση του φαινομένου.
Γιάννη τα μαθηματικά είναι 99% σωστά. Λέω 99% επειδή ποτέ δε λέω 100%. Έκανα δυο προσεγγίσεις: η μια είναι ότι τα πεδία ταχυτήτων είναι ομογενή (γιατί κοντά στην τρύπα “σπάει” η ομογένεια) και η άλλη είναι ότι οι στάθμες κινούνται πολύ αργά έτσι ώστε τα τετράγωνα των ταχυτήτων τους να είναι αμελητέα. Στο υοειδή σωλήνα, επομένως, η ανάλυση αυτή δεν ισχύει. Πάντως αυτό δε σημαίνει ότι στο υοειδή σωλήνα δεν έχουμε αρμονικές ταλαντώσεις.