by 
Έχουμε δημιουργήσει ένα επίπεδο στερεό s, καρφώνοντας δύο ομογενείς ράβδους ΑΟ και ΟΒ, κάθετα μεταξύ. Η ράβδος ΑΟ με μήκος ℓ1=1,6m και η ΟΒ με μήκος ℓ2=1,2m και μάζα m=10kg. Το στερεό s στρέφεται δεξιόστροφα, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το μέσον Μ της ΑΟ, σε κατακόρυφο επίπεδο και κάποια στιγμή περνά από τη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα, όπου η ράβδος ΑΟ είναι οριζόντια. Τη στιγμή αυτή το μέσον Κ της ράβδου ΟΒ, έχει ταχύτητα μέτρου υΚ=2m/s, ενώ ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητάς του είναι ίσος με 5m/s2. Για τη θέση αυτή:
i) Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα, τα διανύσματα των ταχυτήτων και των ρυθμών μεταβολής των μέτρων τους, για τα σημεία Κ και Ο.
ii) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας του κοινού άκρου Ο των δύο ράβδων, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του Ο.
iii) Ποια η επιτάχυνση του μέσου Κ της ράβδου ΟΒ;
iv) Να βρεθεί η στροφορμή καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ΟΒ:
α) Ως προς το μέσον της Κ.
β) Ως προς τον άξονα περιστροφής του στερεού s, στο Μ.
iv) Να βρεθεί επίσης η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού s ως προς τον άξονα περιστροφής του.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm= mℓ2/12 και g=10m/s2.
ή
Δυο ράβδοι, ένα στερεό
Δυο ράβδοι, ένα στερεό
Το dn/dt είναι ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης και το u dn/dt η κεντρομόλος επιτάχυνση.
Ίσως αν θέλουμε μεγαλύτερη λεκτική ακρίβεια. η κεντρομόλος επιτάχυνση εξαρτάται από τον ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας, δεν είναι αυστηρά ο ίδιος ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης.
Ωραία.
Αυτονόητα ο όρος d(u n)/dt είναι η επιτάχυνση.
Αυτονόητα ο όρος u dn/dt είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση. Στο κάτω-κάτω είναι και ένας καλός τρόπος υπολογισμού της.
Αυτό που με μπερδεύει εμένα είναι "ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης". Κατανοώ τι σημαίνει "ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους Α".
Είναι το dA/dt. Διάνυσμα 'η μονόμετρο μέγεθος.
Με μπερδεύει ο όρος "ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης". Η διεύθυνση καθορίζεται φυσικά από το μοναδιαίο διάνυσμα.
Ταυτίζεται όμως με αυτό;
Είναι μέγεθος η διεύθυνση;
Αν λέγοντας "διεύθυνση" εννοούμε το μοναδιαίο διάνυσμα, τότε προφανώς ο ρυθμός μεταβολής της είναι το dn/dt.
Αν λέγοντας διεύθυνση εννοούμε την γωνία, τότε ζητάμε το dθ/dt.
Τι εννοούμε λέγοντας "διεύθυνση";
Καλησπέρα Στάθη και Γιάννη.
Δεν βλέπω πού σας μπέρδεψα…
Έγραψα παραπάνω:
ο αντίστοιχο σχήμα θα είναι:
Όπου τώρα το διάνυσμα dυ είναι το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας (ίδια κατεύθυνση έχει και η επιτάχυνση). Το διάνυσμα αυτό μπορεί να αναλυθεί στη συνιστώσα dυx (προς το κέντρο του κύκλου), που θα μας δώσει την κεντρομόλο επιτάχυνση και τη συνιστώσα dυε εφαπτομενικά στον κύκλο που θα μας δώσει την επιτρόχια επιτάχυνση.
Υπάρχει κάποια διαφωνία πάνω σε αυτό;
Δεν έχω πει πουθενά ότι η κεντρομόλος είναι ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης!
Το διατυπώνω ξανά:
Η dυR συνδέεται με την κεντρομόλο, άρα με την αλλαγή της διεύθυνσης, αλλά δεν θα την ονόμαζα «ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης», αφού η αλλαγή στη διεύθυνση εκφράζεται μέσω του dθ/dt, όπου αυτό ισούται με το ω, ενώ ακ=υ∙ω.”
Διονύση και σε μένα έρχεται καλύτερα το ότι ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης είναι το dθ/dt.
Όμως η όλη συζήτηση δείχνει ότι ο όρος "ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης" δεν είναι αυστηρά ορισμένος.
Λόγου χάριν, ίσως ο Στάθης θεωρεί ως "ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης" το dn/dt.
Τι εννοούμε όταν λέμε "ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης";
Δεν έχουμε πουθενά ορίσει Γιάννη "ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης".
Έχει χρησιμοποιηθεί σε αντιδιαστολή με το "ρυθμό μεταβολής του μέτρου" για να υποστηρίξει την θέση ότι η κεντρομόλος συνδέεται με την αλλαγή στην διεύθυνση.
Αλλά όπως ο "ρυθμός μεταβολής του μέτρου" είναι κατ΄ανάγκη "ορισμός" (μιας και δεν διδάσκεται πουθενά η επιτρόχιος και μας χρειάζεται), έτσι μια ακόμη "προέκταση-ορισμός" είναι και ο "ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης"…
Διονύση καλησπέρα. Με μπέρδεψε το τι εννοείς εσύ και ο έτερος Διονύσης (Μητρόπουλος) ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας. Δεν διαφωνώ καθόλου με τις σχέσεις που βγάζεις, αν δεις συμφωνούν απόλυτα με αυτές που έδωσα και εγώ. Αν γράψουμε dθ/dt εννοούμε τον ρυθμό μεταβολής ενός μονόμετρου μεγέθους, της γωνίας, και ισούται με το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας. Αν γράψουμε dθ/dt εννοούμε τον ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας και με u dθ/dt την κεντρομόλο επιτάχυνση.
Ρυθμό μεταβολής και γενικά παραγώγους έχουν και τα μονόμετρα και τα διανυσματικά μεγέθη. Απλά ο ρυθμός μεταβολής ενός διανύσματος "σπάει" σε δύο όρους, την μεταβολή του μέτρου του (άν έχει) και την μεταβολή του μοναδιαίου του (αν έχει). Με τον όρο "διεύθυνση" εννοώ την ευθεία στην οποία ανήκει το διάνυσμα και την φορά του (αν γενικεύσουμε το σύνολο των παραλλήλων ευθειών). Αν θυμάμαι καλά ο όρος της παραγώγου ενός διανύσματος ο οποίος οφείλεται/εξαρτάται από τον ρυθμό μεταβολής του μοναδιαίου καλείται και κατευθυντική παράγωγος του διανύσματος στα μαθηματικά. Συνεπώς η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι η κατευθυντική παράγωγος του διανύσματος της ταχύτητας.
Στάθη, διάβασε το προηγούμενο σχόλιό μου.
Νομίζω ότι απαντώ…
Δεν όρισα ποτέ τον ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης…
Στο προτελευταίο σχόλιό μου, έγραψα:
Το διατυπώνω ξανά:
Η dυR συνδέεται με την κεντρομόλο, άρα με την αλλαγή της διεύθυνσης, αλλά δεν θα την ονόμαζα «ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης», αφού η αλλαγή στη διεύθυνση εκφράζεται μέσω του dθ/dt, όπου αυτό ισούται με το ω, ενώ ακ=υ∙ω.
Διονύση γράφαμε μαζί και δεν είδα το σχόλιο που αναφέρεις. Δεν νομίζω ότι υπάρχει διαφωνία πέραν του ότι εγώ θεωρώ το dθ/dt ως μονόμετρο μέγεθος, ενώ εσύ ως διανυσματικό; Γιατί η διεύθυνση και ο ρυθμός μεταβολής της πρέπει εξ' ορισμού να είναι διάνυσμα. Και η στοιχειώδης γωνία γίνεται διάνυσμα μόνον μέσω του εφαπτόμενου μοναδιαίου. Να το θέσω διαφορετικά, ποιος είναι ο ορισμός του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας; Πως είναι δυνατόν ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας να προκύπτει κάθετος σε μία κυκλική τροχιά;
Στάθη δεν διάλεξα πουθενά μεταξύ του dθ/dt και του dθ/dt, αφού δεν ήθελα να δώσω μεγαλύτερες θεωρητικές (μαθηματικές) προεκτάσεις
Στο σχόλιο εδώ, ήθελα να βγάλω μια σχέση μέτρων, οπότε αναγκαστικά χρησιμοποίησα το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας για να προκύψει η σχέση μέτρων ακ=υω. Το επόμενο βήμα θα ήταν το ακ=ω2r, το οποίο δεν ήθελα να εμφανιστεί, αφού για σταθερό μέτρο γραμμικής ταχύτητας (Ο.Κ.Κ.) ήθελα να αναδειχθεί η αναλογία μεταξύ κεντρομόλου επιτάχυνσης και γωνιακής ταχύτητας.
Προφανώς αυτά τα διανύσματα (α-ω) είναι ασυμβάτως κάθετα και οι σχέσεις αυτές συνδέουν μέτρα. Αν θέλαμε να δώσουμε τις αντίστοιχες διανυσματικές σχέσεις, θα είχαμε να παίζουν τα μοναδιαία διανύσματα και οι παράγωγοί τους…
Διονύση το ξαναλέω, δεν υπάρχει διαφωνία επί της ουσίας. Αν όμως χαλαρώσουμε την ακρίβεια στην έκφραση, η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας στον χώρο. Η δε μεταβολή στην διεύθυνση είναι η μεταβολή της τροχιάς, άρα η μεταβολή του εφαπτόμενου μοναδιαίου. Το σχόλιο που με μπέρδεψε (δεν λέω ότι κατ' ανάγκην διαφωνώ) είναι ακριβώς αυτό. Νομίζω ότι σε μαθητές είναι σωστό να πούμε ότι η μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας είναι επιτρόχια ενώ η μεταβολή της διεύθυνσής της είναι κεντρομόλα. Δεν κατάλαβα, δηλαδή, τι ακριβώς εννοούμε όταν λέμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης δεν είναι η κεντρομόλος.
Καλημέρα σε όλους,
Φοβάμαι ότι προκάλεσα με το σχόλιό μου πολλή ανακατωσούρα, χωρίς … πρόθεση
Γράφω κι εγώ μερικές σκέψεις, αν και το θέμα έχει καλυφθεί με τις τοποθετήσεις …
ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Καλημέρα Διονύση.
Τη σύνδεση με το δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς, δεν θυμόμουν…
Ίσως να έχεις δίκιο, αλλά δεν πρόκειται να …το βρεις
Έχει περάσει πια, μια ορισμένη λογική που λέει ότι, όταν γυρίζει όπως οι δείκτες του ρολογιού έχουμε δεξιόστροφη περιστροφή και δεν συνδέεται καθόλου με τους άξονες ή τα μοναδιαία διανύσματα και τα εξωτερικά γινόμενα…
Πάντως σε ευχαριστώ για όλο το κείμενο, που δίνεις γενικότερα απαντήσεις!
Καλημέρα Διονύση. Πολύ ουσιαστικό θέμα. Στο (iv) ' Να βρεθεί επίσης η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής του στερεού s ' αναφέρεσαι προφανώς στο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής.
Καλημέρα και από εδώ Αποστόλη.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό αλλά και την διόρθωση…