by 
Έχουμε δημιουργήσει ένα επίπεδο στερεό s, καρφώνοντας δύο ομογενείς ράβδους ΑΟ και ΟΒ, κάθετα μεταξύ. Η ράβδος ΑΟ με μήκος ℓ1=1,6m και η ΟΒ με μήκος ℓ2=1,2m και μάζα m=10kg. Το στερεό s στρέφεται δεξιόστροφα, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το μέσον Μ της ΑΟ, σε κατακόρυφο επίπεδο και κάποια στιγμή περνά από τη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα, όπου η ράβδος ΑΟ είναι οριζόντια. Τη στιγμή αυτή το μέσον Κ της ράβδου ΟΒ, έχει ταχύτητα μέτρου υΚ=2m/s, ενώ ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητάς του είναι ίσος με 5m/s2. Για τη θέση αυτή:
i) Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα, τα διανύσματα των ταχυτήτων και των ρυθμών μεταβολής των μέτρων τους, για τα σημεία Κ και Ο.
ii) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας του κοινού άκρου Ο των δύο ράβδων, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του Ο.
iii) Ποια η επιτάχυνση του μέσου Κ της ράβδου ΟΒ;
iv) Να βρεθεί η στροφορμή καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ΟΒ:
α) Ως προς το μέσον της Κ.
β) Ως προς τον άξονα περιστροφής του στερεού s, στο Μ.
iv) Να βρεθεί επίσης η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού s ως προς τον άξονα περιστροφής του.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm= mℓ2/12 και g=10m/s2.
ή
Δυο ράβδοι, ένα στερεό
Δυο ράβδοι, ένα στερεό
Πολύ καλή Διονύση!
Πόσοι μαθητές καταλαβαίνουν το δεδομένο: Ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σημείου Κ;
Η μετάφραση δεδομένων και ζητουμένων είναι καμιά φορά καθοριστική για τη λύση…
Να είσαι καλά με τις αστείρευτες εμπνεύσεις σου!
Καλημέρα Διονύση.
Το χόρεψες το ραβδοειδές σε όλους τους ρυθμούς ,εξαντλητικά μεν όμορφα δε …
Πράγματι η εκφώνηση θέλει ιδιαίτερη προσοχή με την έννοια ότι άλλο αφήνω ελέυθερο και ζητώ διάφορα εκείνη τη στιγμή και άλλο κάποιο σημείο έχει υ άρα είμαι σε κίνηση (όπως άλλωστε το λες εξ'αρχής)
Υ.Γ
Ρίξε τη ματιά στην απάντηση του iv) β) γιατί βλέπω δυό υπολογισμους της L2M με τον πρώτο …
Καλημέρα Πρόδρομε, καλημέρα Παντελή.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Παντελή ο πρώτος υπολογισμός έμεινε από το copy-paste….
Καλημέρα Διονύση και από εδώ. Επίσης πολύ καλή άσκηση, ειδικά τα ερωτήματα 1 και 4. Ομολογώ ότι στην αρχή το πρώτο ερώτημα για το διάνυσμα του ρυθμού μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας με μπέρδεψε. Η πρώτη μου αντίδραση ήταν ότι το μέτρο δεν είναι διάνυσμα! Μετά βέβαια σκέφτηκα την επιτρόχιο επιτάχυνση…
Καλημέρα Διονυση
Πολύ καλή ασκηση με ωραία ερωτηματα.
Μου άρεσαν περισσότερο τα ερωτήματα με τη στροφορμή και τους ρυθμούς μεταβολής αυτών.
Καλημέρα Διονύση, καλημέρα σε όλους,
Διονύση προσθέτω και τα δικά μου συγχαρητήρια
Ρυθμός μεταβολής του μέτρου της υ, η αε
Ρυθμός μεταβολής της υ, η α
Θα μπορούσες να ζητήσεις και το ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης της υ
(που … δεν είναι η ακ!).
Έχω ένα ερώτημα που βλέπω συχνά σε εκφωνήσεις:
Όταν λέμε ότι ένα σώμα στρέφεται "δεξιόστροφα" εννοούμε τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή την αντίθετη;
Είναι μια πλήρης άσκηση.
Η απορία μου είναι αν ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του Ο είναι η επιτρόχιος επιτάχυνση ή είναι το μέτρο της επιτροχίου επιτάχυνσης; Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής βαθμωτής ποσότητας (μέτρο ταχύτητας) είναι βαθμωτό (οπότε δεν σχεδιάζεται) ή μπορεί να εκληφθεί ως διάνυσμα.
Στην παρατήρηση του ετέρου Διονύση (ρυθμός μεταβολής διεύθυνσης) εννοεί το dθ/dt ;
Δηλαδή είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας;
Αντιλαμβάνομαι το δεξιόστροφα ως "ωρολογιακά".
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Στάθη, Χρήστο, Διονύση και Γιάννη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Για την έκφραση "ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας" απλά δανείζομαι, λόγω φτώχειας τη διατύπωση του βιβλίου:
αφού ποτέ δεν έχει διδαχτεί στα παιδιά η επιτρόχιος επιτάχυνση.
Ίσως δεν είναι η καλύτερη διατύπωση, αλλά αυτή διαθέτουμε…
Στην πραγματικότητα ούτε αυτή είναι η βέλτιστη δυνατότητα, ούτε η κεντρομόλος Διονύση είναι ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης.
Το τι ακριβώς θα ήθελα προσωπικά να διδάσκουμε, έχει γραφτεί εδώ, πριν 1,5 χρόνο:
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Έστω δύο σημεία Α και Β από τα οποία διέρχεται το υλικό σημείο που εκτελεί ΟΚΚ.
Συνεπώς το dυ οφείλεται στη γωνία dθ, που είναι η γωνία που διαγράφει σε χρόνο dt η επιβατική ακτίνα, αφού το μέτρο της ταχύτητας έχει μια σταθερή τιμή. Αν δεν άλλαζε διεύθυνση η ταχύτητα, δεν θα υπήρχε η dυ…
Διαιρώντας με dt, θα έχουμε:
Η τελευταία εξίσωση (σκόπιμα δεν την προχωρώ να βγάλω τη γνωστή μορφή της…) μας λέει ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη του ω, δηλαδή του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής θέσης του κινητού. Τονίζω ότι στην τελευταία σχέση υ είναι το σταθερό μέτρο της ταχύτητας.
Θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας; Τι θα εννοούσαμε στην περίπτωση αυτή; Ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης, φαντάζομαι ότι είναι το dθ/dt, άρα το ω, ενώ η κεντρομόλος είναι ανάλογη αυτού του ρυθμού, με βάση την παραπάνω εξίσωση.
Ας δούμε τώρα μια κυκλική κίνηση που το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται. Το αντίστοιχο σχήμα θα είναι:
Όπου τώρα το διάνυσμα dυ είναι το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας (ίδια κατεύθυνση έχει και η επιτάχυνση). Το διάνυσμα αυτό μπορεί να αναλυθεί στη συνιστώσα dυx (προς το κέντρο του κύκλου), που θα μας δώσει την κεντρομόλο επιτάχυνση και τη συνιστώσα dυε εφαπτομενικά στον κύκλο που θα μας δώσει την επιτρόχια επιτάχυνση.
Μπορούμε την dυε να την συνδέσουμε με την αντίστοιχη επιτάχυνση την οποία να ονομάσουμε «ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας»; Νομίζω ναι, αυτό είναι και έτσι την λέμε.
Η dυR συνδέεται με την κεντρομόλο, άρα με την αλλαγή της διεύθυνσης, αλλά δεν θα την ονόμαζα «ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης», αφού αυτός είναι το ω, ενώ ακ=υ∙ω.
Και έρχομαι Διονύση στο δεξιόστροφο της περιστροφής.
Εδώ πάσο…
Θυμάμαι ότι κάποια στιγμή έβαλες το ίδιο θέμα, έψαξα να το βρω, αλλά απέτυχα….
Οπότε έχω μείνει και γω στη γραμμή που λέει ο Γιάννης:
Δεξιόστροφη η ωρολογιακή.
Θυμάμαι την αντίθετη άποψη που είχες διατυπώσει, οπότε δεν μένει παρά να την… ξαναπείς
Καλησπέρα συνάδελφοι. Οι τελευταίες αναρτήσεις με μπέρδεψαν λίγο. Ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας είναι κατ ουσίαν ο ρυθμός μεταβολής του μοναδιαίου εφαπτόμενου στην τροχιά, διανύσματος. Αυτή δεν είναι η κεντρομόλος (επί το μέτρο της επιτροχίου ταχύτητας);
Τα τελευταία σχόλια ήθελα να πω, όχι αναρτήσεις. Είμαι ακόμα ζαλισμένος από το μάθημα…
Δεν έχεις άδικο Στάθη.
Γι' αυτό προηγουμένως ρώτησα:
Στην παρατήρηση του ετέρου Διονύση (ρυθμός μεταβολής διεύθυνσης) εννοεί το dθ/dt ;
Ο Διονύσης έτσι το εκλαμβάνει και αυτός, αν κατάλαβα καλά το σχόλιό του.
Με απλά λόγια, αν η διεύθυνση σε επίπεδη κίνηση καθορίζεται μόνο από μια γωνία ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής;
Η διεύθυνση δεν είναι μέγεθος. Μέγεθος είναι η γωνία. Μέγεθος είναι το μοναδιαίο διάνυσμα.
Ποιου τον ρυθμό μεταβολής ζητάμε;
Ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας είναι το μέτρο κάποιας γωνιακή ταχύτητας.
Ο ρυθμός μεταβολής του μοναδιαίου διανύσματος είναι διάνυσμα.
Ποιο εννοούμε από τα δύο;
Γιάννη εννοούμε τον ρυθμό μεταβολής του μοναδιαίου διανύσματος. Αν το συμβολίσω με n τότε
d(u n)/dt = (du/dt) n + u (dn/dt)
Η πρώτη επιτάχυνση είναι η επιτρόχιος, η δεύτερη η κεντρομόλος.
Για παράδειγμα στις κυλινδρικές συντεταγμένες αν θ το εφαπτόμενο μοναδιαίο έχουμε ότι dθ/dt = -ω r, όπου ω η γωνιακή ταχύτητα και r το ακτινικό μοναδιαίο.
Τώρα με μπέρδεψες εσύ.
Εννοούμε το d(u n)/dt ή το dn/dt;
Ο όρος d(u n)/dt μου μοιάζει ως ο "ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας".
Ο όρος dn/dt ως ο "ρυθμός μεταβολής του μοναδιαίου διανύσματος".
Ο ρυθμός μεταβολής της διεύθυνσης πως εκλαμβάνεται;
Υποθέτω όχι ως "ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας".
Μήπως ως ο "ρυθμός μεταβολής του μοναδιαίου διανύσματος";
Μήπως ως ο "ρυθμός μεταβολής της γωνίας";