by 
Το Πρώτο:
Να συγκρίνετε τις ενδείξεις των ρολογιών.
Το αυτοκίνητο κινείται με μεγάλη ταχύτητα. Ο φράκτης (κατά το παιδί) έχει μήκος L.
Και το παιδί και ο οδηγός έχουν χρονόμετρα όπως αυτό της εικόνας. Κάθε ένας ξεκινά το χρονόμετρο όταν το αυτοκίνητο περνά μπροστά από το Α και το σταματά όταν περνά μπροστά από το Β.
Οι ενδείξεις διατηρούνται διότι ουδείς σβήνει το χρονόμετρό του.
Μετά από λίγη ώρα συναντώνται και βλέπουν τα χρονόμετρα. Τι θα διαπιστώσουν;
- Το χρονόμετρο του παιδιού έχει γράψει μεγαλύτερο χρονικό διάστημα.
- Το χρονόμετρο του οδηγού έχει γράψει μεγαλύτερο χρονικό διάστημα.
- Τα δύο χρονόμετρα έχουν γράψει ίδια χρονικά διαστήματα.
Το δεύτερο:
Κάντε το ίδιο και εδώ.
Η Κατερίνα βρίσκεται μέσα σε ένα διαφανές και κλειστό όχημα που τρέχει με μεγάλη ταχύτητα.
Το έκλεισε για μας, ώστε να μην συζητάμε για αντιστάσεις αέρα.
Αφήνεται ένα μπαλάκι να πέσει από ύψος h.
Η Κατερίνα και ο Δημήτρης πατάνε το κουμπί του γνωστού χρονομέτρου ώστε να ξεκινήσει με την έναρξη της πτώσης και το ξαναπατάνε με την λήξη της.
Μετά από λίγη ώρα συναντώνται και βλέπουν τα χρονόμετρα. Τι θα διαπιστώσουν;
- Το χρονόμετρο της Κατερίνας έχει γράψει μεγαλύτερο χρονικό διάστημα.
- Το χρονόμετρο του Δημήτρη έχει γράψει μεγαλύτερο χρονικό διάστημα.
- Τα δύο χρονόμετρα έχουν γράψει ίδια χρονικά διαστήματα.
Καλησπέρα, Γιάννη.
Διάβασα τη μελέτη που έκανεs και δε βρίσκω κάτι λάθοs.
Πιστεύω όμωs ότι είναι καλύτερο να αντιμετωπίζεται η χρονική διάρκεια ξεχωριστά από την επιτάχυνση.
Για παράδειγμα στο τελευταίο πείραμα όπου ο Δημήτρηs αφήνει το μπαλάκι από κάποιο ύψοs θα θεωρήσω σαν ίδιο σύστημα το σύστημα του Δημήτρη επειδή η μέτρηση του χρόνου γίνεται σε σταθερό σημείο του και το χρόνο που υπολογίζει σαν ίδιο χρόνο.
'Ετσι το σύστημα τηs κατερίναs θεωρείται κινούμενο και ο χρόνοs που μετριέται πάνω σε αυτό εμφανίζεται μεγαλύτεροs.
'Eτσι αν t o χρόνοs που υπολογίζει ο Δημήτρηs και t' αυτόs που υπολογίζει η Κατερίνα θα συνδέονται με τη σχέση t=t'/γ όπου γ>1.
Αν τώρα θέλουμε να υπολογίσουμε επιταχύνσειs θα πρέπει αυτέs να υπολογιστούν με βάση τουs μετασχηματισμούs.Aυτό που προκύπτει είναι ότι η επιτάχυνση στα διάφορα αδρανειακά συστήματα αναφοράs ενώ σύμφωνα με τη κλασσική μηχανική είναι ίδια, δεν είναι ίδια σε φαινόμενα όπωs το παράδειγμά μαs.Eπιπλέον αν η επιτάχυνση ενόs υλικού σημείου είναι σταθερή ωs προs ένα αδρανειακό σύστημα, παύει να είναι σταθερή στα άλλα αδρανειακά συστήματα γιατί στουs τύπουs μπαίνει η ταχύτητα του υλικού σημείου.
Για παράδειγμα στη περίπτωση που η Κατερίνα είναι ο κινούμενοs παρατηρητήs και υπολογίσει μεγαλύτερο χρόνο θα θεωρηθεί ότι έχει μικρότερη επιτάχυνση κάτι που δεν ισχύει.Ουσιαστικά Γιάννη κάνειs το ίδιο με λιγότερα μαθηματικά.Δέχεσαι από την αρχή ότι η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή στα δυο συστήματα και αποδεικνύειs με πολύ όμορφο τρόπο τη νέα τιμή τηs.
Κατερίνα η σχέση του Γιάννη, όπως σαφώς έγραψα, δεν ισχύει με Δt δηλαδή χρονικά διαστήματα αλλά με t δηλαδή χρονικές στιγμές. Όπως είδες χρησιμοποιούνται οι ανάλογες
t1’= γ(t1- ux/c2 ) t2’= γ(t2- ux/c2 ) με t για την απόδειξη της διαστολής του χρόνου.
Δt’= γΔt
Η σχέση λέει. Το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών κτύπων του ρολογιού που βρίσκεται στο κινούμενο σύστημα Σ’ ως προς παρατηρητή στο ακίνητο Σ, είναι μεγαλύτερο από εκείνο που παρατηρεί ο παρατηρητής στο κινούμενο Σ’.
Άρη, οι σχέσεις που αναφέρω δεν είναι (δυστυχώς) δικές μου. Υπάρχουν σε κάθε βιβλίο ειδικής σχετικότητας (ενδεικτικά δες wikipedia) και όπως θα δεις αφορούν και χρονικά διαστήματα.
Πράγματι ισχύει αυτό που γράφεις:
"Η σχέση λέει: Το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών κτύπων του ρολογιού που βρίσκεται στο κινούμενο σύστημα Σ’ ως προς παρατηρητή στο ακίνητο Σ, είναι μεγαλύτερο από εκείνο που παρατηρεί ο παρατηρητής στο κινούμενο Σ’" (Δt΄= γΔt)
Δικαιούσε όμως να θεωρήσεις τον Σ' ακίνητο οπότε καταλήγεις στο αντίστροφο συμπέρασμα, δηλαδή:
"Το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών κτύπων του ρολογιού που βρίσκεται στο κινούμενο σύστημα Σ ως προς παρατηρητή στο ακίνητο Σ', είναι μεγαλύτερο από εκείνο που παρατηρεί ο παρατηρητής στο κινούμενο Σ" (Δt= γΔt΄)
Η ίδια σχέση που χρησιμοποίησε ο Γιάννης Μήτσης υπάρχει βέβαια και στις σημειώσεις του καθηγητή Πανεπιστημίου Kρήτης Θεόδωρου Τομαρά. Στο παρακάτω αρχείο, σελ. 3 μπορούμε να δούμε τους μετασχηματισμούς Lorentz και συγκεκριμένα τη σχέση μεταξύ Δt και Δt' για την οποία συζητάμε:
ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ
Άρη δεν ξέρω ποιο βιβλίο συμβουλεύεσαι.
Η σχέση του Γιάννη Μήτση είναι η γενική σχέση που έχουν όλα τα πανεπιστημιακά συγγράμματα.
Αν τώρα τη στιγμή σύμπτωσης των αξόνων των δύο αδρανειακών συστημάτων γίνει ρύθμιση των ρολογιών ώστε t=t'=0
και έχουμε ένα γεγονός Γ1 με συντεταγμένες
x=y=z=0=t και x'=y'=z'=0=t'
τότε για τις διαφορές χωροχρονικών συντεταγμένων ανάμεσα σε ένα άλλο γεγονός Γ2 και στο Γ1 μπορούμε να έχουμε στον αντίστοιχο τύπο χρονικές στιγμές και επομένως t' στη θέση του Δt'.
Καλησπέρα Γιάννη.
Λύσεις με μετασχηματισμούς τους αποφεύγω. Κυρίως διότι η ουσία βρίσκεται στο να καταλάβουμε τι συμβαίνει.
Καλησπέρα παιδια.
Παρακολουθώ τα σχόλια. Έχω έναν φόβο. Βρίσκουμε κάπου έναν σωστό τύπο. Σε βιβλία Σχετικότητας, στην Βικιπαίδεια ή σε σημειώσεις που ανέφερε η Κατερίνα.Σε τι όμως αναφέρονται τα σύμβολα των τύπων;
Σε κάποια συμβάντα που συμβαίνουν την στιγμή t στην θέση x. Ποια όμως είναι τα συμβάντα;
Αν δεν εντοπίσουμε τα συμβάντα η χρήση σωστών τύπων οδηγεί σε λανθασμένα αποτελέσματα. Από τα σχόλια καταλαβαίνω ότι τα συμβάντα έχουν παρεξηγηθεί. Για παράδειγμα, άλλο το συμβάν "Η Κατερίνα πατάει το κουμπί του χρονόμετρου" και άλλο το συμβάν "Το μπαλάκι φτάνει στο έδαφος". Γίνονται και σε διαφορετικές θέσεις (στο πρόβλημα του Γιάννη" και σε εμφανώς διαφορετικές στιγμές.
Περίμενα ότι θα διαβαστεί ότι έγραψα, αλλά βλέπω από τα σχόλια ότι δεν έχει γίνει.
Γράφω για παράδειγμα ότι το πρόβλημα του Γιάννη δεν έχει μία λύση και βλέπω σχόλια μιλούν για μία λύση.
Μπορώ να γράψω σχέσεις που υπάρχουν σε όλα τα πανεπιστημιακά συγγράμματα και να αποδείξω ότι μια οξεία γωνία είναι ίση με μία ορθή. Θα φταίνε τα πανεπιστημιακά συγγράμματα για το λάθος (λαθροχειρία) που θα κάνω;
Παραθέτεις Κατερίνα ωραιότατες σημειώσεις. Αν όμως δεν καταλάβουμε το πρόβλημα και εφαρμόσουμε τους ορθούς αυτούς τύπους σε διαφορετικά γεγονότα από αυτά του προβλήματος, δεν λύνουμε το πρόβλημα. Πως να το πω διαφορετικά.
Και η σχέση Στ=Ι.αγ σωστή είναι και υπάρχει σε κάθε βιβλίο. Αν όμως εσύ την εφαρμόσεις σε τυχαίο σημείο, θα φταίει το βιβλίο;
Αν την εφαρμόσεις σε άλλο σώμα από αυτό του προβλήματος, θα φταίει το βιβλίο για το λάθος;
Για παράδειγμα βρίσκω σε ένα πανεπιστημιακό βιβλίο την σχέση Δt=γ.Δt΄.
Σωστότατη είναι. Ποια όμως γεγονότα συνδέει;
Συνδέει τους δύο χρόνους πτώσης. Δεν συνδέει τις δύο χρονομετρήσεις.
Το γιατί το καταλαβαίνουμε.. Πατάς το κουμπί λήξης της χρονομέτρησης με μία καθυστέρηση. Το φως θέλει κάποιο χρόνο να φτάσει σε σένα από το σημείο πτώσης του μπαλακίου. Δεν φταίει η ορθή σχέση του καλού βιβλίου για το λάθος αυτό. Λάθος που και εγώ έκανα αρχικά.
Κατόπιν αν μου πούνε ότι έκανα λάθος, αποτελεί απάντηση το να πω ότι βρήκα τη σχέση στο τάδε βιβλίο;
Γιάννη όταν για παράδειγμα λέμε "Ο παρατηρητής Π χρονομετρά χρονική διάρκεια 2s μεταξύ των γεγονότων Α και Β" δεν εννοούμε πως απλά πατά το χρονόμετρο όταν βλέπει το Α γεγονός και μετά το ξαναπατά όταν βλέπει το Β. Εννοούμε πως μετά την καθαυτή μέτρηση έχει πραγματοποιήσει όλες τις απαραίτητες διορθώσεις και υπολόγισε τον ορθό χρόνο μεταξύ των δύο γεγονότων.
Ενδεχομένως το χρονόμετρο να έχει συστηματικό σφάλμα 2%, ενδεχομένως τα αντανακλαστικά του παρατηρητή να είναι πεσμένα και να καθυστερεί να πατήσει το κουμπί, ενδεχομένως, ενδεχομένως,….. Μια θεωρία προφανώς δεν ασχολείται με όλα τα "ενδεχομένως" που προανέφερα.
Όταν λέμε λοιπόν "Ο Π χρονομετρά 2s" εννοούμε "Ο Π υπολογίζει χρόνο 2s"
Γιάννη ίσως διάβασες τα δύο κείμενα που έγραψα. Και στα δύο αναφέρονται οι εκτιμήσεις κάθε παρατηρητή για την διάρκεια της πτώσης.
Γράφω τις εκτιμήσεις χρόνων συγκεκριμένα συναρτήσει των h, g, υ και c.
Οι χρονομετρήσεις έχουν σημασία. Στο πρόβλημα π.χ. που εσύ έθεσες τα δύο γεγονότα (κλείσιμο χρονομέτρου και άφιξη στο έδαφος) είναι ταυτόχρονα και για τους δύο, διότι γίνονται στην ίδια θέση. Όμως ο ένας παρατηρητής θεωρεί ότι το ρολόι του άλλου θα γράψει λιγότερο χρόνο. Όμως τα γεγονότα "κλείσιμο ρολογιού Κατερίνας" και "άφιξη στο έδαφος" διαφέρουν χωρικά.
Έτσι θα αρθεί το παράδοξο που από επιπολαιότητα θα προέκυπτε. Δηλαδή η Κατερίνα να θεωρήσει ότι το ρολόι του Δημήτρη θα γράψει λιγότερο διότι τρέχει πιο αργά. Ας το σκεφτούμε και διαφορετικά. Καθένας ισχυρίζεται ότι ο άλλος θα μετρήσει λιγότερο χρόνο. Θα επιβεβαιωθούν και οι δύο;
Στα πρώτα pdf αναφέρω πιθανές λανθασμένες απόψεις.
Γράφεις:
Όταν λέμε λοιπόν "Ο Π χρονομετρά 2s" εννοούμε "Ο Π υπολογίζει χρόνο 2s"
Οι υπολογισμοί και των δύο παρατηρητών παρατίθενται. Καθένας ξέρει (αν δεν κάνει λάθος) ποια θεωρεί ο άλλος ως διάρκεια πτώσης.
Ποιες είναι οι σχέσεις που προκρίνεις συναρτήσει των h, g, υ και c;
Τα ανακλαστικά φυσικά δεν μπαίνουν σε τέτοια προβλήματα. Ούτε στην μονομαχία Φιλίππου-Ναθαναήλ μπήκαν τέτοιοι παράγοντες.
Η εκφώνηση γράφει:
Η Κατερίνα και ο Δημήτρης πατάνε το κουμπί του γνωστού χρονομέτρου ώστε να ξεκινήσει με την έναρξη της πτώσης και το ξαναπατάνε με την λήξη της.
Δεν γράφει:
Η Κατερίνα και ο Δημήτρης εκτιμούν την διάρκεια της πτώσης.
Κάτι τέτοιο θα είχε ενδιαφέρον διότι η συστολή μήκους κάνει να διαφέρουν το βεληνεκές από την μετατόπιση του παρατηρητή.
Πάντως παρέθεσα και τις εκτιμήσεις διάρκειας της πτώσης.
Όλες οι σχέσεις μετασχηματισμών των εγχειριδίων όταν αναφέρουν χρονικές στιγμές, χρονικά διαστήματα, θέσεις κτλ, δεν αναφέρονται σε αυτό που βλέπει ο παρατηρητής. Όταν λέμε "Ο παρατηρητής μετράει" ή "Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται" ή ακόμα ακόμα και "Ο παρατηρητής βλέπει" εννοούμε πως έχει κάνει όλες τις απαραίτητες διορθώσεις.
Ένα απλό παράδειγμα:
Το φως κάνει περίπου 500s για να έρθει από τον Ήλιο στη Γη. Καθώς παρατηρώ τον Ήλιο με ένα ειδικό τηλεσκόπιο, βλέπω μια έκλαμψη στην επιφάνειά του. Μετά από 10s βλέπω δίπλα μου μια μύγα να πετάει. Έχουμε λοιπόν δύο γεγονότα.
Α γεγονός: Μία έκλαμψη συμβαίνει στον Ήλιο
Β γεγονός: Μία μύγα πετά δίπλα μου.
Ερώτημα: Μεταξύ των δύο γεγονότων, ποια χρονική απόσταση μετράω; 10s ή 510s;
Κατά μία έννοια και τα δύο νούμερα μπορούν να θεωρηθούν σωστά. Το ρολόι μου έγραψε διαφορά χρόνου 10s αλλά κάνοντας τις διορθώσεις αντιλαμβάνομαι ότι η διαφορά χρόνου είναι 510s. Αν θέλω να εφαρμόσω σχετικιστικές εξισώσεις θα θέσω Δt=510s.
Καλημέρα Γιάννη.
Συμφωνώ με ότι λες. Επομένως το πρόβλημα δεν είναι μια εφαρμογή μετασχηματισμών μόνο.
Ποιες ενδείξεις καταγράφονται στα ρολόγια (συναρτήσει των h,g,υ και c);
Το πρόβλημα του προβλήματος βρίσκεται στο εξής. Ο κινούμενος παρατηρητής εκτιμά ότι η πτώση διαρκεί λιγότερο και το εξηγεί λέγοντας ότι αυξάνεται η επιτάχυνση της πτώσης. Ταυτόχρονα όμως θεωρεί ότι το ρολόι του άλλου τρέχει πιο αργά (θεωρεί ότι κινείται ο άλλος). Ότι θα γράψει λιγότερο χρόνο.
Όταν συναντώνται βλέπει το ρολόι του άλλου έγραψε περισσότερο. Πως θα το εξηγήσει;
Πως θα μπορούσε εξ' αρχής να μην κάνει αυτό το λάθος και να προβλέψει σωστά;
Θα μπορούσαμε να θέσουμε σε κάθε παρατηρητή το πρόβλημα:
-Τι χρόνο θα γράψει το ρολόι του άλλου;
ή:
-Τι χρόνο θα μετρήσει ο άλλος ως χρόνο πτώσης;