by 
Ο κύλινδρος έχει ακτίνα R και το τεταρτοκύκλιο ακτίνα 5R.
Ο κύλινδρος κυλίεται στο ακίνητο τεταρτοκύκλιο χωρίς να ολισθαίνει σ’ αυτό. Η έναρξη και το τέλος της διαδρομής του αποτυπώνονται στο σχήμα.
Πόσες στροφές έκανε;
Απάντηση:
Λόγω της απουσίας ολίσθησης τα δύο τόξα είναι ίσα.
Επειδή η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι πενταπλάσια, η γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου θα είναι πενταπλάσια της γωνίας του τεταρτοκυκλίου, δηλαδή θα είναι 5π/2.
Επομένως ο κύλινδρος εξετέλεσε 1,25 στροφές.
Καλησπέρα σε ολους
Στην διάλεξη που είχε δώσει ο καθηγητής Θεοχάρης Αποστολάτος στο πανεπιστήμιο με αφορμή το 4ο θέμα του 2015 σε σχετική ερώτηση για την κύλιση είχε πει αυτο που αναφέρει ο Γιάννης οτι το τόξο ιδιοπεριστροφης είναι ιδιο με τξμ μετακίνηση του κέντρου μάζας.
Θα βρω το βίντεο να δώσω την διάλεξη.
ΥΓ εκεί γνώρισα για πρώτη φορά από κοντά τον Βαγγέλη Κορφιάτη παρόλο που είχε μια κοθνη ανάρτηση που είχαμε κάνει με τη βοήθεια του Βαγγέλη και τον Κώστα Ψυλάκο. Θυμάμαι ήταν και ο Άρης Αλεβίζος
Κώστα γράφεις δύο τύπους στους οποίους εισάγεις το ΔS.
Γιατί είναι το ίδιο;
Θα μου πεις ίσως ότι είναι το άθροισμα μικρών dS. Γιατί όμως το μικρό dS είναι ίσο με την στοιχειώδη μετατόπιση του κέντρου και όχι με το στοιχειώδες τμήμα του δρόμου;
Ας θυμηθούμε τον Βαγγέλη Κορφιάτη.
Πόσοι εξεπλάγησαν με το ότι η γωνία ήταν διπλάσια;
Πόσοι έλαβαν υπ' όψιν όχι το μήκος της διαδρομής του κέντρου αλλά το μήκος της περιφέρειας (δρόμου);
Να συμφωνησουμε οτι μη ολισθηση σημαινει οτι η σχετικη ως προς την "αλλη επιφανεια" ταχυτητα ειναι μηδενικη. Απο εκει μπορει και πρεπει να προκυπτει καθε σχεση. Ειναι σκοπιμο να δινονται τετοια ερωτηματα που γενικευουν. Αλλωστε η ταχυτητα ειναι πιο προσιτη σαν εικονα στον μαθητη.
Καλησπέρα Γιάννη
Δε νομίζω ότι θα γράψω κάτι διαφορετικό από αυτό που έγραψε ο Κώστας (Κώστα χρόνια πολλά) πιο πριν
Ονομάζω
Scm το μήκος της διαδρομής του CM
Rcm την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του και
Ν το πλήθος των περιστροφών
Scm=Rcm x Δθ
Scm=(2πR)N
Γιάννη κάτι δεν καταλαβαίνω. Η κίνηση είναι επιταχυνόμενη, οπότε dθ = ω dt.
Στάθη γράφω κάπου:
Η Γεωμετρία δεν έχει ζώα όπως ο χρόνος, η στροφορμή, οι ομογένειες, τα κέντρα μάζας, οι επιταχύνσεις κ.λ.π. , οπότε ας θεωρηθούν τα παραπάνω σταθερά.
Έτσι υπολογίζω εύκολα των αριθμό των περιστροφών. Θα το δούμε και αλλού. Π.χ. στο κυκλοειδές η τροχιά δεν εξαρτάται από ταχύτητες και επιταχύνσεις.
Παναγιώτη εννοείς προφανώς το κέντρο και όχι (κατ' ανάγκην) το CM.
Γιατί όταν έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση το τόξο είναι ίσο με την διαδρομή του κέντρου και όχι ίση με το μήκος του δρόμου;
Είναι κάποιο είδος ορισμού αυτό;
Πως παρουσιάζουμε την κύλιση χωρίς ολίσθηση;
Με μια δυσνόητη αυθαιρεσία περί ισότητος τόξου – διαδρομής κέντρου;
Ας είχε μπογιά ο κύλινδρος. Είναι λίγοι αυτοί που θα διαιρέσουν το μήκος "του βαψίματος" με την περιφέρεια για να βρουν το πλήθος των περιστροφών;
Ας δούμε και την απόδειξη του Βαγγέλη Κορφιάτη και τα σχόλια. Το σχόλιο του Ανδρέα δείχνει πως το θέμα δεν είναι ούτε τετριμμένο, ούτε ζήτημα ορισμού.
Πέραν όλων αυτών είναι διδακτικά προσφορότερο να μιλήσουμε πρώτα για ταχύτητες και έπειτα για τόξα, παρά το ανάποδο με την δυσνόητη αυθαιρεσία που προανέφερα.
H διάλεξη που προανέφερα
Με αφορμή ένα πρόβλημα Πανελλαδικών: Τι έμαθα από τα λάθη μου
Να συμπληρώσω ότι ο καθηγητής έκανε ιδαίτερη αναφορά στην εργασία του Βαγγέλη που είχε προηγηθεί.
Καλησπέρα σε όλους,
Να προσθέσω κι εγώ ένα σχήμα για την καλύτερη κατανόηση της αφαίρεσης γωνιών (όταν η κύλιση γίνεται σε κοίλη απιφάνεια).
Ας φανταστούμε μια ευθύγραμμη λάμα ΑΒ1 μήκους S και δύο νοητά ευθύγραμμα τμήματα ΑΟ και Β1Ζ1 μήκους R, συνεχώς κάθετα στη λάμα στα άκρα της.
Δίσκος ακτίνας r κυλίεται πάνω στη λάμα από το Α (θέση Ι) έως το Β1 (θέση ΙΙ). Τότε θα έχει στραφεί κατά τη φορά του ρολογιού και κατά γωνία φ = S/r.
Στη συνέχεια, στη θέση ΙΙ, συγκολλάμε το δίσκο στη λάμα και αρχίζουμε να καμπυλώνουμε τη λάμα φροντίζοντας να παραμένει το ΑΟ ακίνητο και η λάμα κάθετη σ’ αυτό (θέση ΙΙΙ).
Έτσι, το ευθύγραμμο τμήμα Β2Ζ2 στρέφεται αντίθετα από το ρολόι κατά γωνία θ (ώστε να παραμένει κάθετο στη λάμα) και μαζί του στρέφεται και ο δίσκος κατά την ίδια γωνία θ.
Συνεχίζουμε μέχρι το σημείο Ζ3 να συμπέσει με το Ο και να σχηματιστεί τμήμα κύκλου κέντρου Ο, ακτίνας R και μήκους τόξου S (θέση IV).
Τότε ο δίσκος θα έχει στραφεί αντίθετα από το ρολόι κατά γωνία Θ = S/R.
Επομένως, η συνολική γωνία στροφής του δίσκου θα είναι:
φολ = φ – Θ = S/r – Θ = ΘR/r – Θ → φολ = Θ(R – r)/r
Με τα δεδομένα του προβλήματος του Γιάννη (R = 5r και Θ = π/2) προκύπτει:
φολ = 4 Θ = 2π
Καλημέρα παιδιά.
Μια άλλη προσέγγιση θα μπορούσε να γίνει μέσω ενός παρατηρητή που στρέφεται έτσι ώστε να βλέπει συνεχώς το κέντρο.
Όμως θα επιμείνω πως η καλύτερη προσέγγιση είναι αυτή με τις ταχύτητες. Δηλαδή η επίκληση της υ = ω.R.
Βολεύει και διδακτικά και "μεθοδολογικά". Επίσης γενικεύεται εύκολα σε κάθε περίπτωση κινούμενου υπόβαθρου.
Στην τελευταία περίπτωση τα "τόξα" θα μας δυσκόλευαν. Θεωρώ ότι κακώς προσεγγίζεται στο βιβλίο έτσι η κύλιση.
Καλημέρα Γιάννη.
Προσωπικά πάντως, εδώ και καιρό έχω "ασπαστεί" την θέση που λες.
Το ότι δεν υπάρχει σχετική κίνηση, είναι απλό, σαφές και αλάνθαστο κριτήριο…
Καλημέρα Διονύση.
καλημέρα σε όλους
επιχειρώ μια προσέγγιση, ίσως, προσιτή για μαθητές:
αν αντί για σφαίρα έχω κύβο, αυτός λόγω του οδηγού θα κάνει 1/4 στροφής προς τα αριστερά,
η σφαίρα κάνει ως προς τον οδηγό 1 και 1/4 στροφές προς τα δεξιά
άρα συνολικά 1 στροφή προς τα δεξιά
(κάτι μου μοιάζει με "τον γύρο της Γης σε 80 μέρες",
φαίνεται εκτός από τον όρο "σχετική ταχύτητα", θα πρέπει να εισάγουμε και τον όρο "σχετική στροφή"…)
Γιάννη καλημέρα
Αντιγράφω το απόσπασμα από τη σελ. 112 του σχολικού (τα bold δικά μου)
"…Ας επανέλθουμε στην κύλιση του τροχού (σχ. 4.5). Κατά την κύλιση κάθε σημείο του τροχού έρχεται διαδοχικά σε επαφή με το δρόμο. Έτσι, όταν ο τροχός σε χρόνο dt μετακινηθεί κατά ds, ένα σημείο Α της περιφέρειας του θα έχει στραφεί κατά τόξο μήκους ds..)
Επομένως (σύμφωνα πάντα με το σχολικό) είναι δεδομένο και όχι αυθαίρετο να θεωρήσουμε ότι το τόξο είναι ίσο με το μήκος της διαδρομής του κέντρου και όχι ίσο με το μήκος του δρόμου
Αν το κέντρο είναι το γεωμετρικό κέντρο και όχι το κέντρο μάζας πραγματικά δεν το είχα σκεφτεί. Ομως μια απορία (της στιγμής… θα το ξανασκεφτώ) όταν γράφεις στη δική σου πρόταση u=ωR ποιο είναι αυτό το R;
Καλημέρα Βαγγέλη.