by 
Δύο ευθύγραμμοι αγωγοί μεγάλου μήκους βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και είναι κάθετοι μεταξύ τους. Οι αγωγοί διαρρέονται από ρεύματα Ι1 και Ι2=4Ι1 /3. Στο σημείο επαφής των δύο αγωγών υπάρχει μονωτικό υλικό, ώστε να μην εμφανίζεται κόμβος. Θεωρούμε σημείο Α στο επίπεδο που ορίζουν οι αγωγοί, πάνω σε ευθεία ε, η οποία διέρχεται από το σημείο επαφής των αγωγών και σχηματίζει γωνία θ με τον αγωγό Ι1 , όπου ημθ=0,6.
Από το σημείο αυτό:
α) διέρχονται δύο δυναμικές, αφού έχουμε δύο πηγές μαγνητικού πεδίου, όσοι και οι ρευματοφόροι αγωγοί
β) διέρχεται μία δυναμική γραμμή, αφού οι δυναμικές γραμμές δεν τέμνονται και δεν εφάπτονται
γ) δεν διέρχεται δυναμική γραμμή
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας
ή
Δυναμικές γραμμές: δύο, μία ή καμία
Καλησπέρα. Στα δυο ερωτήματα της ανάρτησης δίνουν απάντηση τα Μαθηματικά. Οι δυναμικές γραμμές είναι αντικειμενικώς υπάρχοντα μαθηματικά αντικείμενα , καθώς είναι οι ολοκληρωτικές καμπύλες διανυσματικού πεδίου (ηλεκτρικού ή μαγνητικού). Δεν είναι λοιπόν συμβατικές κατασκευές. Από ένα θεμελιώδες θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας (που είναι ουσιαστικά το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων συνήθων διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης) προκύπτει ότι από κάθε σημείο του χώρου στον οποίον υπάρχει το πεδίο περνάει μια ακριβώς ολοκληρωτική καμπύλη (τοπικά τουλάχιστον). Δεν εξαιρούνται τα μεμονωμένα σημεία που το πεδίο μηδενίζεται.
[μια καμπύλη t→σ(t) λέγεται ολοκληρωτική καμπύλη του διανυσματικού πεδίου F(r) αν ισχύει dσ(t)/dt = F(σ(t)) Το t δεν είναι χρόνος και παίρνει τιμές σ’ ένα διάστημα Ι.]
Φίλοι μου αγαπημένοι. Μετά από τόσες αναρτήσεις δεν σας έπεισα ότι οι δυναμικές γραμμές μολονότι είναι ένα πολύτιμο εκπαιδευτικό εργαλείο δεν είναι φυσικό μέγεθος. Δεν σας έπεισα ότι θα πρέπει να αποφεύγετε ερωτήσεις σαν και αυτές που έθεσε ο Θοδωρής και που ήταν η αφορμή για όλη αυτή την κουβέντα. Ίσως να φταίω και εγώ που δεν χειρίζομαι επαρκώς την ελληνική γλώσσα ( σε ζηλεύω Βαγγέλη) με αποτέλεσμα να μην μπορώ να διατυπώσω με αρκετή σαφήνεια τα επιχειρήματά μου. Γι αυτό δε θα συνεχίσω άλλο αυτή τη κουβέντα. Η προτροπή του φίλου μου του Γιώργου για πειραματικές προτάσεις, είναι και προτροπή δική μου που ως Πρόεδρος της ΠΑΝΕΚΦΕ έχω απευθύνει προς όλους τους ΕΚΦΕ. Τα αποτελέσματα ελπίζω να τα δείτε και να τα αξιολογήσετε το Σεπτέμβρη.
Θα τελειώσω με το πρώτο πρόβλημα που έθεσα. Αν έχουμε μία πλαστική σφαίρα ακτίνας R στην οποία υπάρχει μία ομοιόμορφη κατανομή φορτίου Q, τότε εφαρμόζοντας Gauss βρίσκουμε ότι η ένταση στο εσωτερικό της σφαίρας δίνεται από τη σχέση: E=Qr/(4πε0R^3) όπου r η απόσταση από το κέντρο της σφαίρας. Αν κάποιος συνάδελφος μου ζωγραφίσει τις δυναμικές γραμμές αυτού του πεδίου, τότε θα αναθεωρήσω ριζικά όλες μου τις απόψεις περί των δυναμικών γραμμών.
ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΣΑΣ
Καλημέρα Πάνο. Μια ερώτηση:
Αν έχω μια συνεχή, σφαιρική, κατανομή ηλ φορτίου, σταθερής πυκνότητας, βγαίνει το αποτέλεσμα που έδωσες στο εσωτερικό. Στο εξωτερικό, βγαινει η γνωστη σχέση που μοιάζει με το πεδίο σημειακού φορτίου. Βάζω την συνάρτηση στο mathematica και βγαίνουν ακτινικές δυν γραμμές. Πού κάνω λάθος, γιατί σίγουρα κάτι έχεις στο μυαλό σου…
Στο εσωτερικό Στάθη οι δυναμικές γραμμές προφανώς δεν είναι ακτινικές αφού τότε παραβιάζεται ο κανόνας που λέει ότι η ένταση είναι ανάλογη της πυκνότητας των δυναμικών γραμμών. Όσο πάμε από το κέντρο προς την επιφάνεια τόσο πρέπει να αυξάνει η πυκνότητα των δυναμικών γραμμών. Ισχυρίζομαι ότι δεν μπορεί το εσωτερικό πεδίο της σφαίρας να περιγραφεί με τη βοήθεια δυναμικών γραμμών!!!!
Πάνο έχεις δίκιο ότι στο εσωτερικό η πυκνότητα των δυναμικών γραμμών δεν είναι ανάλογη της έντασης του πεδίου. Η εικόνα του πεδίου, όπως βγαίνει από το mathematica, είναι η παρακάτω (όσο πιο ανοικτόχρωμο είναι το υπόβαθρο, τόσο πιο ισχυρό το πεδίο).:
Τώρα που το προσέχω περισσότερο, στο γράφημα δεν απεικονίζονται καν γραμμές, αλλά τα διανύσματα της έντασης, με μήκος (μέτρο) το οποίο δίνει τα σημεία του χώρου όπου το πεδίο είναι ισχυρότερο (εκέι όπου το μήκος τους είναι μεγαλύτερο).
Νά 'σαι καλά και καλό καλοκαίρι.
Καλημέρα Πάνο, καλημέρα Στάθη.
Να συμπεράνω από το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό μονωτικής φορτισμένης σφαίρας, ότι η περιγραφή ενός ηλεκτρικού πεδίου με την βοήθεια δυναμικών γραμμών, μειονεκτεί σε σχέση με άλλα μαθηματικά εργαλεία;
Μπορεί να δίνει εύκολους τρόπους αναπαράστασης, αλλά σε απλές περιπτώσεις;
Να προσθέσω κάτι ακόμη σαν διευκρίνηση στο προηγούμενο.
Έστω το ηλεκτρικό πεδίο που περιγράφει η εικόνα:
Έχουμε τρία σημειακά φορτία μόνο και ένα …τόσο πολύπλοκο ηλεκτρικό πεδίο!
Αν μας δίνανε τα τρία φορτία, είναι εύκολος ο σχεδιασμός αυτών των δυναμικών γραμμών; Νομίζω πώς όχι!
Και αυτή είναι μια απεικόνιση στο επίπεδο, ενώ οι δυναμικές γραμμές εκτείνονται στο χώρο…
Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουν καμιά αξία οι δυναμικές γραμμές; Προσωπικά, παρ' όλες αυτές τις δυσκολίες, νομίζω ότι είναι ένα χρήσιμο διδακτικό εργαλείο, για απλά πεδία.
Αν θέλουμε μεγαλύτερες δυνατότητες, ας μην μείνουμε στο Faraday… Υπάρχει και ο Maxwell…
Παραμένω χωρίς σύνδεση και παρακολουθώ τη συζήτηση από το κινητό…
Όταν έγραφα την ανάρτηση, δεν πίστευα ότι θα προκαλέσει μια τόσο γόνιμη συζήτηση… Έχουν διατυπωθεί πολύ ενδιαφέρουσες απόψεις, τις οποίες μόλις αποκτήσω σύνδεση, θα κωδικοποιησω, μαζί με τη δική μου θέση..
Μέχρι τότε σας ευχαριστώ για τη συμμετοχή στη συζήτηση…
Και μόνο η ενεργοποίηση μέσα στο κατακαλοκαιρο των φίλων Ριζοπουλου, Μουρουζη, Κουντουρη, Φασουλοπουλου, Αλεβιζου, Στεργιαδη, Λεβετα και του νέου στην παρέα συναδέλφου Μαζη, είναι πέρα από τις αρχικές σκέψεις…
Για το Διονύση, η καθημερινή επαφή είναι δεδομένη… οπότε θα τον ταλαιπωρησω και με κάτι άλλο που ετοίμασα
Χαίρετε.
Αγαπητέ Πάνο στο παράδειγμα της σφαίρας σε κάθε σημείο στο εσωτερικό της υπάρχει φορτίο πηγή του πεδίου. Προτείνω να εξεταστεί αρχικά η περίπτωση ηλεκτρικού πεδίου σε ελεύθερο χώρο όπου σε μεμονωμένα μόνο σημεία μπορούν να υπάρχουν πηγές του πεδίου. Στην περίπτωση αυτή και με βάση το θεώρημα που ανέφερα , μπορούμε να αποφύγουμε το συμπέρασμα ότι από κάθε σημείο (που δεν υπάρχει πηγή του πεδίου) περνάει μια ακριβώς δυναμική γραμμή;
Σε επιχειρήματα σου χρησιμοποίησες την πυκνότητα των δυναμικών γραμμών. Μπορεί να οριστεί αυτή η έννοια με συνεπή τρόπο;
Καλημέρα σε όλους.
Ο Πάνος έχει εντοπίσει όντως ένα "πρόβλημα" με τις δ.γ., (το οποίο δεν είχα σκεφτεί). Νομίζω ότι είναι πρόβλημα σχεδιαστικό και ερμηνείας περισσότερο, παρά κάτι άλλο. Απλά στο εσωτερικό της σφαίρας το πεδίο δεν είναι ισχυρότερο εκεί που οι δ.γ. είναι πυκνότερες. Είναι αναμενόμενο να υπάρχουν κάποια προβλήματα, είμαστε μέσα στην "πηγή" του πεδίου. Αυτό για μένα δεν σημαίνει ότι δεν μπορώ να ορίσω δ.γ. στο εσωτερικό, αφού μπορώ να ορίσω την ένταση. Απλά εκεί οι σχεδιαστικοί κανόνες αλλάζουν, όπως και τα συμπεράσματα που βγάζουμε από αυτές.
Θεωρώ δε μεγάλη την αξία τους ως μέσον απεικόνισης. Θα τις σχεδίαζα και στο εσωτερικό της σφαίρας, όπως θα σχεδίαζα και μια στην μεσοκάθετο, στο πρόβλημα των δύο ίδιων φορτίων που έθεσε, επίσης ο Πάνος. Η δε μεγάλη τους αξία φαίνεται σε περιπτώσεις τριών φορτίων (και πάνω), όπως στην εικόνα που έδωσε ο Διονύσης. Είναι ένα γρήγορος τρόπος να καταλάβουμε το πεδίο, όταν οι αναλυτικές του λύσεις δεν είναι και τόσο "ευανάγνωστες".
Το αντιστοιχο προβλημα αφορα στην παρασταση του βαρυτικου πεδιου στο εσωτερικο της Γης.Για τον χαρακτηρα των γραμμων να επισημανω οτι το πεδιο ειναι "κληρονομια του πεδιου ταχυτητων στα ρευστα με οτι αυτο συνεπαγεται. Για την ροη πεδιου αντιστοιχα το φυσικο περιεχομενο ειναι και αυτο μαθηματικο κατασκευασμα που δινει εμμεσα ΜΕΤΡΗΣΙΜΟ μεγεθος.
Σε συνεχεια του προηγουμενου σχολιου θαπρεπε να βλεπουμε την παρασταση με δυναμικες γραμμες και ισοδυναμικες επιφανειες σαν ΧΑΡΤΗ εργαλειο οπως οι χαρτες επιφανειας με τις ισοβαρεις στην μετεωρολογια και τους χαρτες ανωτερης ατμοσφαιρας. Αλλωστε και η ροη μονο εργαλειακο χαρακτηρα εχει.