by 
Το ομογενές ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι πάνω σε ακίνητο καροτσάκι.
Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι τόσο μεγάλος ώστε εξασφαλίζεται η μη ολίσθηση του παραλληλεπιπέδου.
Θέλουμε το καροτσάκι να διανύσει 20 μέτρα χωρίς να ανατραπεί το κιβώτιο.
Στο τέλος της διαδρομής το καροτσάκι πρέπει να είναι ακίνητο.
Ποιος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος χρόνος;
Ωραία πράγματα…..
Ευχαριστώ Σπύρο.
Γιάννη, ας τροποποιήσουμε λίγο το πρόβλημα προσθέτοντας μια οριζόντια δύναμη ανάσχεσης F στο ΚΒ (ένα πύραυλο ανάσχεσης) η οποία φυσικά δεν δημιουργεί ροπή ως προς το ΚΒ αλλά δημιουργεί ως προς οποιοδήποτε άλλο σημείου του κιβωτίου (και επομένως ως προς τον άξονα ανατροπής).
Αν πάρουμε τις ροπές ως προς ΚΒ, η ροπή της Ν θα παραμείνει N.y/2=-W.y/2, και επομένως η Τ θα πρέπει να παραμείνει σταθερή έτσι ώστε Τ.y=W.y/2 και άρα a=g/2 δηλ. όσο θα ήταν και χωρίς τη δύναμη F, πράγμα φυσικά λάθος.
Απλή απόδειξη το ότι, αν η F>=W/2, τότε δεν χρειάζεται καν κίνηση του καροτσιού για να γίνει ανατροπή ( Τ=0) και παρολαυτά οι ροπές ως προς το ΚΒ θα ήταν μηδενικές αλλά θα είχαμε ανατροπή.
Γι’ αυτό επιμένω ότι οι ροπές δεν πρέπει να υπολογίζονται ως προς το ΚΒ αλλά ως προς τον άξονα ανατροπής όποια κι αν είναι η δύναμη ανάσχεσης (ή και υποβοήθησης) F. Το ότι πάλι προκύπτουν τα ίδια αποτελέσματα με τις ροπές ως προς τον άξονα ανατροπής είναι ειδική περίπτωση (F=0).
Επειδή η κίνηση είναι δεσμευμένη δεν μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο περιστροφής.
Καλημέρα Δημήτρη.
Θέλεις, αν κατάλαβα, να προσθέσω μία δύναμη F=w/2 ασκούμενη στο κέντρο μάζας του κουτιού και οριζόντια.
Να έχει την διεύθυνση της επιτάχυνσης.
Θέλεις να έχει την ίδια φορά με την επιτάχυνση ή αντίθετη φορά;
Μπορώ να λύσω το πρόβλημα αναφερόμενος σε όποιο σημείο θέλεις και ως προς αδρανειακό παρατηρητή, διότι ο μη αδρανειακός κάνει ότι θέλει. Φυσικά μπορώ να το λύσω και ως προς μη αδρανειακό. Αρκεί να καταλάβω ποιες είναι οι δυνάμεις.
Αρκεί να καταλάβω το σχήμα.
Έρχομαι στην παρατήρηση:
Επειδή η κίνηση είναι δεσμευμένη δεν μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο περιστροφής.
Θεμελιώδες για τη μηχανική συστημάτων είναι ότι "για κάθε σύστημα σωμάτων ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ισούται με την συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς οιοδήποτε σημείο ισούται με την ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων ως προς αυτό το σημείο" .
Αυτό αναγράφεται σε οιοδήποτε βιβλίο Μηχανικής (π.χ. Σπήγκελ, Φορντ, κ.α.) και αποδεικνύεται ιδιαίτερα εύκολα.
Επομένως το ότι η κίνηση είναι δεσμευμένη δεν μας απαγορεύει να αναφερθούμε σε οιοδήποτε σημείο.
Το θεώρημα δεν κάνει διάκριση μεταξύ δεσμευμένων και ελεύθερων σωμάτων. Αρκεί φυσικά να συμπεριληφθούν στις εξωτερικές δυνάμεις αυτές που οι δεσμοί ασκούν.
Μια λύση από την σκοπιά αδρανειακού παρατηρητή με ροπές ως προς το Κ.
Βλέπεις ότι λύνεται η άσκηση ως προς το Κ.
Αν δεν συνέβαινε αυτό θα παραβιαζόταν η Μηχανική των συστημάτων.
Δεν υπάρχει περιορισμός στην επιλογή σημείου, αρκεί να μην κάνουμε λάθος.
Το πλεονέκτημα του Κ είναι ότι μπορούμε να πούμε ότι Στ=0.
Σε κάθε άλλο σημείο, ακόμα και ως προς αυτό που γίνεται η ανατροπή, πρέπει να πούμε ότι Στ=dL/dt και όχι Στ=0.
Αυτό έλεγε ο Διονύσης στο πρώτο του σχόλιο.
Αν δεν εννοείς αυτήν την δύναμη, πες μου ποια εννοείς και θα την λύσω πάλι ως προς το Κ.
Όχι μόνο ως προς το Κ, αλλά ως προς όποιο σημείο θέλεις, λαμβάνοντας όμως υπ' όψιν τον ρυθμό μεταβολής της τροχιακής στροφορμής ως προς το σημείο που θα μου προτείνεις.
"Αν πάρουμε τις ροπές ως προς ΚΒ, η ροπή της Ν θα παραμείνει N.y/2=-W.y/2, και επομένως η Τ θα πρέπει να παραμείνει σταθερή έτσι ώστε Τ.y=W.y/2 και άρα a=g/2 δηλ. όσο θα ήταν και χωρίς τη δύναμη F".
Εδώ έκανα λάθος γιατί θεώρησα ότι T=m.a ενώ το σωστό (όπως γράφεις κι εσύ) είναι T-F = m.a
"Απλή απόδειξη το ότι, αν η F>=W/2, τότε δεν χρειάζεται καν κίνηση του καροτσιού για να γίνει ανατροπή ( Τ=0) και παρολαυτά οι ροπές ως προς το ΚΒ θα ήταν μηδενικές αλλά θα είχαμε ανατροπή"
Εδώ όμως έχω δίκιο εγώ γιατί (όπως κι εσύ έγραψες) έχουμε ανατροπή παρά το γεγονός ότι η ροπή ως προς το ΚΒ είναι μηδενική.
Πώς εξηγείς την ανατροπή με μηδενική ροπή ως προς το ΚΒ ?
Καλησπέρα Δημήτρη.
Έγραψα ότι είμαστε στο όριο της ανατροπής. Όταν είμαστε στο όριο τότε Στ=0. έχουμε και δεν έχουμε ανατροπή.
Αν όμως F>m.g/2 θα έχουμε ανατροπή με ακίνητο το καροτσάκι. Τούτο διότι η ροπή της F είναι F.y>m.g.y/2.
Η ροπή της Ν είναι Ν.x = m.g.x. Επειδή το x γίνεται το πολύ y/2 τότε η ροπή της Ν γίνεται το πολύ m.g.y/2.
Δηλαδή η ροπή της F είναι μεγαλύτερη της ροπής της Ν και Στ>0 (θετική η ωρολογιακή φορά). Ανατρέπεται.
Όλες οι ροπές που έγραψα πριν αναφέρονται στο κέντρο μάζας.
Δημήτρη σε προηγούμενο σχόλιο έγραψα στην ίδια φράση τις διατυπώσεις δύο βασικών θεωρημάτων της Μηχανικής συστημάτων.
Τα στερεά είναι υποπεριπτώσεις συστημάτων. Έγραψα:
Θεμελιώδες για τη μηχανική συστημάτων είναι ότι "για κάθε σύστημα σωμάτων ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ισούται με την συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς οιοδήποτε σημείο ισούται με την ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων ως προς αυτό το σημείο" .
Προφανώς από τα παραπάνω θεωρήματα έπεται ότι:
"Σε κάθε στερεό ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ισούται με την συνισταμένη των δυνάμεων και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ως προς οιοδήποτε σημείο ισούται με την ολική ροπή των δυνάμεων ως προς αυτό το σημείο" .
Εξακολουθώ να έχω την απορία :
"Δηλαδή η ροπή της F είναι μεγαλύτερη της ροπής της Ν και Στ>0 (θετική η ωρολογιακή φορά). Ανατρέπεται.
Όλες οι ροπές που έγραψα πριν αναφέρονται στο κέντρο μάζας."
Μα αφού και η F και η N διέρχονται από το ΚΒ πώς δημιουργούν ροπή ως προς αυτό ?
Έχεις δίκιο, δικό μου λάθος.
Γράφω το σωστό:
"Δηλαδή η ροπή της Τ είναι μεγαλύτερη της ροπής της Ν και Στ>0 (θετική η ωρολογιακή φορά). Ανατρέπεται.
Όλες οι ροπές που έγραψα πριν αναφέρονται στο κέντρο μάζας."
Με δεδομένη την μη ολίσθηση Τ = F. Έτσι η ροπή τηςΤ είναι F.y>m.g.y/2.
Είχα στο μυαλό μου την ισότητα, έβαλα F κάτω, στη θέση της τριβής, και εκφράστηκα λανθασμένα.
Καλώς το εντόπισες ώστε κάποιος να διαβάσει το σωστό κείμενο.
Επίσης η Ν δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας.
Βλέπεις μια εικόνα από ένα εξαιρετικά ακριβές πρόγραμμα προσομοίωσης:
Η Ν είναι συνισταμένη των δυνάμεων που βλέπεις. Ως άνισες δεν δίνουν συνισταμένη διερχόμενη από το μέσον της βάσης.
Όσο πλησιάζουμε την κατάσταση ανατροπής τόσο μικραίνει η δεξιά και μεγαλώνει η αριστερή. Το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης τους (της Ν) μετατοπίζεται προς τα αριστερά. Όταν φτάσει στο αριστερό άκρο είμαστε στο όριο της ανατροπής.
Γιάννη,
ανακεφαλαιώνοντας :
Για ακίνητο παρατηρητή, και μέχρι να αρχίσει η ανατροπή λόγω αυξανόμενης δύναμης έλξης Τ, η αντίσταση του δαπέδου (N=-W/2 ) πρέπει να μετατοπίζεται προς την πίσω ακμή (άξονας ανατροπής) ώστε να εξισορροπεί την ροπή της Τ (=m.a.y) ως προς το ΚΒ.
Συμφωνώ, με την παρατήρηση ότι δεν θεωρώ σωστή (φυσική) την παράσταση της αντίστασης του δαπέδου με δύο δυνάμεις (αριστερά & δεξιά) αν και μαθηματικά είναι σωστή. Σωστότερο θα ήταν η χρήση διαγράμματος τάσεων (σταθερού εμβαδού W, που από ορθογωνικής διατομής με βάση y και ύψος W/y στην αρχή, θα μεταβαλλόταν σε τραπεζοειδή και μετά τριγωνική μέχρι μηδενισμού της βάσης του την στιγμή έναρξης της ανατροπής).
Επίσης αντιλαμβάνομαι τώρα ότι, αυτό που εγώ αποκαλώ αδυναμία στροφής λόγω δέσμευσης (σταθερό δάπεδο) εσύ το εκφράζεις ως μηδενισμό ροπών ως προς το ΚΒ.
ερώτηση : μπορούμε να πάρουμε ροπές ως προς άλλο σημείο ? πχ τον άξονα ανατροπής (όπου η ροπή της Τ είναι μηδέν) ? και τι θα βρούμε ?
Καλημέρα Δημήτρη.
Μπορούμε φυσικά. Θα πούμε όμως ότι ως προς το σημείο ανατροπής Στ=dL/dt.
Όταν έχουμε ανατροπή στο μόριο, η Ν έχει φτάσει τέρμα αριστερά και δεν έχει ροπή. Ροπή έχει μόνο το βάρος:
m.g.y/2=d(m.υ.y)/dt=>g/2=dυ/dt=>α=g/2.
Αν δεν είμαστε στο όριο:
m.g.y/2 – Ν.(y/2 – x)=d(m.υ.y)/dt=>m.g.y/2 – Ν.(y/2 – x)=m.α.y
Βλέπεις ότι βγαίνει όποιο σημείο και να πάρουμε.