by 
Το ομογενές ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι πάνω σε ακίνητο καροτσάκι.
Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι τόσο μεγάλος ώστε εξασφαλίζεται η μη ολίσθηση του παραλληλεπιπέδου.
Θέλουμε το καροτσάκι να διανύσει 20 μέτρα χωρίς να ανατραπεί το κιβώτιο.
Στο τέλος της διαδρομής το καροτσάκι πρέπει να είναι ακίνητο.
Ποιος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος χρόνος;
Γιάννη,
"Όταν έχουμε ανατροπή στο μόριο, η Ν έχει φτάσει τέρμα αριστερά και δεν έχει ροπή. Ροπή έχει μόνο το βάρος:"
… που όμως θα εμπόδιζε την ανατροπή αφού ενεργεί δεξιόστροφα!
Το ερώτημά μου όμως αφορούσε όλη τη διαδικασία, από την έναρξη της κίνησης μέχρι την έναρξη της ανατροπής.
πχ. ποιο είναι το διάγραμμα μεταβολής της ροπής περί τον άξονα ανατροπής καθ' όλη τη διαδικασία ?
λάθος διατύπωση : "πχ. ποιο είναι το διάγραμμα της ροπής περί τον άξονα ανατροπής καθ' όλη τη διαδικασία ?"
Θέτεις άλλο πρόβλημα από αυτό που συζητάμε σε τόσα σχόλια.
Το παρόν πρόβλημα λέει:
Θέλουμε το καροτσάκι να διανύσει 20 μέτρα χωρίς να ανατραπεί το κιβώτιο.
Με δεδομένη την μη ανατροπή του κιβωτίου η επιτάχυνση α είναι μικρότερη της οριακής τιμής g/2.
Με σταθερή επιτάχυνση η σχέση:
m.g.y/2 – Ν.(y/2 – x)=m.α.y <=> m.g.y/2 – m.g.(y/2 – x)=m.α.y <=>m.g.x=m.α.y
δίνει το σημείο εφαρμογής της Ν.
Η ροπή της Ν ως προς το σημείο στήριξης είναι Ν.(y/2 – x)=m.g.(y/2 – x).
H N είναι σταθερή για σταθερή α <g/2 και το x σταθερό υπολογιζόμενο από την προηγούμενη σχέση.
Αν τώρα θέλουμε η επιτάχυνση να είναι μεγαλύτερη από g/2 και να γίνει ανατροπή ταυτόχρονα με την μεταφορική κίνηση, έχουμε ένα άλλο πρόβλημα. Αν έχεις το interactive physics να σου στείλω προσομοίωση μεγάλης ακρίβειας.
Αν θέλεις να το λύσεις πρέπει να ξεκινήσεις από τους δύο θεμελιώδεις νόμους:
ΣF=dP/dt και Στ=dL/dt.
Ο τελευταίος σε όποιο σημείο θέλεις, αρκεί να υπολογίσει σωστά την τροχιακή στροφορμή ως προς αυτό το σημείο. Η άλλη είναι πάντοτε Ιcm.αγ.
Να προτείνω Δημήτρη κάτι απλό:
Γράψε μία λύση συνοδευόμενη από κάποιο σχήμα και θα φανεί τι εννοείς.
Γιάννη,
δεν θέτω άλλο πρόβλημα. Πάνω στην απάντησή σου σχολιάζω/ρωτάω.
Και ξαναρωτάω : ποιο είναι το διάγραμμα ροπής ως προς τον άξονα ανατροπής, από την έναρξη της επιτάχυνσης μέχρι την έναρξη της ανατροπής ? και ποιες δυνάμεις την καθορίζουν ?
ΥΓ. όπως πρότεινα σε προηγούμενο σχόλιο, θα ήταν καλύτερα προσδιορισμένο το πρόβλημα αν δεν έλεγε "χωρίς να ανατραπεί το κιβώτιο" αλλά "μέχρι να αρχίσει η ανατροπή" μιας και η ανατροπή έχει διάρκεια.
Το πρόβλημα δεν είπε ποτέ "μέχρι να σταματήσει η ανατροπή".
Το πρόβλημα είπε εξ αρχής ότι το κουτί κινείται χωρίς να ανατρέπεται. Η ροπή της Ν δίνεται από την σχέση που έγραψα πριν.
Δεν υπάρχει στο πρόβλημα έναρξη ανατροπής.
Γράψε μια λύση συνοδευόμενη από το σχήμα που έχεις σκεφτεί ώστε να την συζητήσουμε.
Γιάννη δεν έχω να προτείνω κάποια λύση.
Απλά ζητάω απάντηση σε ένα πολύ συγκεκριμένο ερώτημα που προκύπτει από την δική σου λύση και η οποία μου αφήνει κενά στην κατανόησή της.
Πώς (και αν) μεταβάλλεται η ροπή στο συγκεκριμένο σημείο καθ' όλη τη διάρκεια της επιτάχυνσης.
Την ίδια απορία θα μπορούσε να εκφράσει και οποιοσδήποτε άλλος. Αν ήταν μαθητής σου, τί θα του απαντούσες ?
Αν μπορείς και θέλεις, τη δίνεις. Αν όχι, έχει καλώς και χάρηκα που ανταλλάξαμε απόψεις.
ΥΓ. Ναι, το πρόβλημα δεν είπε ποτέ "μέχρι να σταματήσει η ανατροπή", αλλά είπε "χωρίς να ανατραπεί". Η ανατροπή δεν είναι στιγμιαίο γεγονός αλλά διαδικασία που διαρκεί κάποιο χρόνο και λέμε ότι, ανατρέπεται κάτι όχι όταν αρχίζει αλλά όταν τελειώνει η διαδικασία δηλ. όταν αυτό το κάτι έχει πάρει την νέα θέση ευσταθούς ισορροπίας. Μάλιστα μπορεί και να μην υπάρξει τελικά καν ανατροπή μετά την έναρξή της! Σκέψου τις "σούζες" που κάνουν τα δίκυκλα!
Εν πάσει περιπτώσει όμως, εσύ έθεσες το πρόβλημα, εσύ έχεις και τον τελικό λόγο.
Καλημέρα Δημήτρη.
Για δεδομένη επιτάχυνση, μικρότερη της g/2, η ροπή δεν μεταβάλλεται. Ουδεμία ροπή ως προς οιοδήποτε σημείο.
Ως προς το σημείο ανατροπής η ροπή του βάρους είναι συνεχώς ίση με m.g.y/2. Η ροπή της Ν είναι συνεχώς ίση με:
Ν.(y/2 – x)=m.g.(y/2 – x)
Οι δύο ροπές διαφέρουν συνεχώς κατά σταθερή ποσότητα ίση με m.α.y.
Το όποιο διάγραμμα ροπής-χρόνου ή ροπής-θέσης είναι μια οριζόντια ευθεία. Διάγραμμα που δείχνει σταθερότητα.
Οι ανατροπές συμβαίνουν φυσικά. Στην περίπτωσή μας θα έχουμε ανατροπή αν α>g/2.
Το πρόβλημα αυτό λύνεται. Οι εξισώσεις που προκύπτουν δεν είναι γραμμικές. Υπολογισμός χρόνου γίνεται μάλλον με αριθμητικές μεθόδους. Έχει ιδιαίτερη φασαρία και δεν σχετίζεται με το παρόν πρόβλημα. Είναι επέκταση του παρόντος προβλήματος.
Είναι δυσκολότερο από αυτό της αρθρωμένης ράβδου που φτάνει από τις 90 μοίρες στις 0 μοίρες και απαιτεί ελλειπτικό ολοκλήρωμα.
Δεν είναι άλυτο. Λύνεται με συστηματικό τρόπο, όμως έχει δουλειά πολλή.
Στην ιδιαίτερα ακριβή προσομοίωση φαίνονται και η γραφική παράσταση της γωνίας και στιγμιότυπα:
Δύο επόμενα:
Άλλο ένα:
Από τη μεταβολή και της Ν και της Τ καταλαβαίνουμε ότι εισέρχεται και η κεντρομόλος και η επιτρόχιος.
Το πρόβλημα είναι προτιμότερο να λυθεί με την συνδρομή μη αδρανειακού παρατηρητή.
Ξέχασα να αναφέρω ότι η επιτάχυνση είναι 6 m/s^2 και ότι παρέλειψα να γράψω μοίρες αντί rad.
Είναι όμως φανερό. Η ακρίβεια είναι 200 /sec.
Με επιτάχυνση 4m/s^2.
Σταθερή κατάσταση. Όχι ανατροπή. Σταθερές δυνάμεις και ροπές.
Γιάννη, προφανώς αφού δεν υπάρχει στροφή του κιβωτίου μέχρι την έναρξη της ανατροπής, η συνολική ροπή ως προς το Α είναι μηδέν και αφού δεν υπάρχει μετακίνηση στον άξονα y => N +W = 0, η δε T = (W/g).a
Μπορείς όμως να μου πεις, για τον ακίνητο παρατηρητή, τι λείπει από τα παραπάνω σχήματα όπου, προφανώς, η ροπή ως προς το Α δεν μηδενίζεται ενώ ως προς το Κ μηδενίζεται ?