by 
Το ομογενές ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι πάνω σε ακίνητο καροτσάκι.
Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι τόσο μεγάλος ώστε εξασφαλίζεται η μη ολίσθηση του παραλληλεπιπέδου.
Θέλουμε το καροτσάκι να διανύσει 20 μέτρα χωρίς να ανατραπεί το κιβώτιο.
Στο τέλος της διαδρομής το καροτσάκι πρέπει να είναι ακίνητο.
Ποιος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος χρόνος;
Ευχαριστώ Τάσο.
Καλημέρα Δημήτρη.
Όταν ένα στερεό έχει επιτάχυνση, για να μην αποκτά γωνιακή επιτάχυνση (για να μην αρχίσει να στρέφεται) θα πρέπει Στ=0 ως προς το κέντρο μάζας του. Το ότι ισχύει Στ=0 ως προς ένα άλλο σημείο, δεν μας εξασφαλίζει σε τίποτα,
Για παράδειγμα, ας δούμε την ομογενή ράβδο που αφήνεται να πέσει κατακόρυφα από την οριζόντια θέση, ενώ στο άκρο της Α ασκείται μια κατακόρυφη δύναμη ίση με το βάρος:
Αν κάποιος πάρει τη συνολική ροπή ως προς το μέσον Κ της ΑΟ θα βρει Στ=0 και μπορεί να θεωρήσει ότι η ράβδος δεν θα στραφεί. Αλλά όλοι καταλαβαίνουμε ότι η ράβδος θα περιστραφεί, αφού αν πάρουμε τη ροπή ως προς το κέντρο μάζας, αυτή δεν είναι μηδενική.
Συνεπώς μόνο η ροπή ως προς το κέντρο μάζας έχει να μας πει, το τι θα συμβεί και όχι ως προς ένα άλλο σημείο.
Όσον αφορά ως προς ποιο άξονα πρόκειται να περιστραφεί, αυτό είναι ένα ερώτημα "υποκειμενικό". Η περιστροφή είναι περιστροφή στο χώρο και, από τη στιγμή που δεν υπάρχει δεδομένος σταθερός ακλόνητος άξονας, ο καθένας μπορεί να φαντάζεται διαφορετικό άξονα. Ως προς όλους τους άξονες που μπορούμε να θεωρήσουμε την περιστροφή, ο άξονας που περνά από το κ.μ. έχει το πλεονέκτημα της εύκολης και κυρίως σίγουρης λύσης.
Τι θέλω να πω. Αν λόγω κάποιου εμποδίου, δεν επιτρεπόταν η μετακίνηση του ορθογωνίου και με την επίδραση κάποιας ασκούμενης δύναμης, πρόκειται να ανατραπεί ως προς την ακμή που εφάπτεται του εμποδίου, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι έχουμε έναν "σταθερό άξονα περιστροφής" και να πάρουμε το Στ=Ιαγων ως προς αυτόν τον άξονα.
Η κατάσταση διαφορετικά "θυμίζει τροχό":
Αν ο τροχός ολισθαίνει επιταχυνόμενος προς τα δεξιά θα εφαρμόζαμε το θεμελιώδη νόμο ως προς το Κ (όπου κάποιος θα μπορούσε να θεωρήσει ότι έχουμε περιστροφή); Όχι ότι δεν γίνεται. Γίνεται, όχι όμως για μαθητές. Ή θα εστιάζαμε στο κέντρο μάζας;
Στο δεξιό σχήμα είναι η αντίστοιχη κατάσταση με ένα ορθογώνιο που επιταχύνεται και που "ανατρέπεται". Θα δουλεύαμε ως προς άξονα στο Κ ή στο κέντρο μάζας Ο;
Δημήτρη τώρα είδα το σχόλιο.
Συμφωνώ απόλυτα με τον Διονύση.
Αν θέλεις να δουλεύεις επικαλούμενος ισορροπία ως προς οιοδήποτε σημείο, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσεις την δύναμη D' Alembert. Απέφυγα κάτι τέτοιο ώστε να διαβάζεται η ανάρτηση και από έναν μαθητή.
Γιαννη οντως ωραιο θεμα !
Μια αλλη προσεγγιση στο προβλημα ειναι η εξης : Εστω σημειο Σ στο οριζοντιο εδαφος . Τοτε ως προς το σημειο εχουμε στροφορμη
L = m u y ==> dL/dt = m a y ομως ο ρυθμος μεταβολης της στροφορμης ως προς το Σ ειναι ισος με την ροπη ζευγους του N-W δηλαδη
dL/dt = mg x , επομενως : a y = g x , xmax = y/2 ===> amax = g/2 .
Ευχαριστώ Κώστα.
Πολύ καλή ιδέα!
Έκανα λάθος ως προς το σημείο ανατροπής. Αυτό θα είναι η αριστερή ακμή της βάσης. Επομένως, οι ροπές ισορροπίας θα πρέπει να αναφέρονται σε αυτό τον άξονα και όχι στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας (περιστροφή γύρω του δεν μπορεί να γίνει λόγω της ύπαρξης του δαπέδου). Η δύναμη που θα προκαλέσει την ανατροπή είναι η αδράνεια του σώματος που είναι ίση και αντίθετη (τη στιγμή της ανατροπής) με την δύναμη Τ και εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας του ορθογωνίου. Οι ροπές των Τ & Ν, ως προς το σημείο ανατροπής, είναι μηδενικές. Μένουν οι ροπές του βάρους και της αδράνειας (με σημείο εφαρμογής το κέντρο βάρους) ως προς την αριστερή ακμή (άξονας περιστροφής-ανατροπής). Οπότε ισχύει m.g.y/2 = m.a.y => a=g/2 (όπως δηλ. υπολογίστηκε από τον Γιάννη) και από εδώ και πέρα συμφωνούν οι δύο απόψεις, άρα τ = 4sec
Πολύ σωστά Δημήτρη.
Αγαπώ αυτές τις λύσεις αλλά την απέφυγα ώστε να διαβαστεί και από έναν μαθητή που αγνοεί αδρανειακές δυνάμεις.
Η επιλογή του κέντρου μάζας είναι σωστή διότι το σώμα κινείται με επιτάχυνση α και γωνιακή επιτάχυνση μηδενική.
Οπότε ΣF=0 και Στ=0 ως προς το κέντρο μάζας.
Φαίνεται και στην παρούσα ότι χωρίς αδρανειακές δυνάμεις η ροπή ως προς το σημείο ανατροπής δεν είναι μηδέν. Είναι -w.y/2.
Με την εισαγωγή αδρανειακής δύναμης D' Alembert το πρόβλημα μετατρέπεται σε πρόβλημα Στατικής και έχουμε το δικαίωμα επιλογής οιουδήποτε σημείου για τις ροπές.
Η αναλύσεις του Διονύση ήταν διαφωτιστικές και πρέπει να προσεχθούν από μαθητές.
Έχουν γίνει πολλές συζητήσεις με προεξάρχοντα τον Διονύση.
Να υποθέσω Δημήτρη, ότι διαφωνείς και απορρίπτεις τα δύο προηγούμενα σχόλιά μου, στα οποία προσπάθησα να εξηγήσω το τι είναι συμβατό με τη θεωρία του στερεού…
Αν με αντέκρουες κιόλας, έτσι για να μην φαίνεται ότι με αγνοείς… βάζοντας στη συζήτηση κινούμενο παρατηρητή, αλλά χωρίς και να το αναφέρεις! Οπότε όλα ωραία και καλά!
Ακόμα και η πρόταση ότι "κάθε κίνηση στερεού αναλύεται σε μια μεταφορική κίνηση του κ.μ. και μια περιστροφή γύρω από άξονα που περνά από το κ.μ." είναι λανθασμένη, αφού "περιστροφή γύρω του δεν μπορεί να γίνει λόγω της ύπαρξης του δαπέδου"…
Φαντάζομαι την ίδια λύση θα πεις και στην τάξη…
Και μια ερώτηση "κρίσεως":
Γιατί η μελέτη με κινούμενο παρατηρητή, με περιστροφή όχι γύρω από το κέντρο μάζας, οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με τη μελέτη του Γιάννη, που χρησιμοποίησε το κ.μ.;
Λυπάμαι Διονύση αν εξέλαβες την απάντησή μου στον Γιάννη σαν αγνόηση προς εσένα. Δεν είχα καμιά τέτοια πρόθεση, απλά εστίασα στην αρχική λύση.
Δεν είμαι φυσικός (οπότε δεν κινδυνεύουν τα παιδιά σε καμία τάξη) αλλά ως τοπογράφος μηχανικός πολυτεχνείου γνωρίζω ότι κάθε στερεό έχει έξη βαθμούς ελευθερίας (τρεις μετατόπισης & τρεις στροφής). Πιστεύω δε ότι, ο απλός μαθητής που είναι και ο αποδέκτης της λύσης, θα κατανοήσει δυσκολότερα τον λόγο μετακίνησης του σημείου εφαρμογής της Ν (μεταβολή του x), από το διαισθητικά προφανές γι' αυτόν, φαινόμενο της ανατροπής γύρω από την πίσω ακμή. Ξέρει ήδη εμπειρικά το "κόλλημα" της πλάτης στο κάθισμα σε ένα επιταχυνόμενο αυτοκίνητο.
Υποστηρίζω μάλιστα ότι η (σωστή φυσικά) πρόταση ανάλυσης της (ελεύθερης) κίνησης στερεού σε μεταφορική και περιστροφική ως προς το ΚΒ, στην προκείμενη περίπτωση δεν έχει εφαρμογή επειδή η μετατόπιση κατά τον άξονα y είναι δεσμευμένη (5 βαθμοί ελευθερίας) και επιπλέον πρέπει να πάρουμε υπόψη ότι, η ανατροπή δεν γίνεται ακαριαία αλλά βαθμιαία (κάνει "σούζα" το ορθογώνιο μέχρι να αρχίσει η ανατροπή γύρω από την πίσω ακμή) με όλα τα συνεπακόλουθα (αλλαγή δυναμικής & κινητικής ενέργειας και άρα της a, αύξηση του τ κλπ) που επηρεάζουν το αποτέλεσμα. Εν τέλει, υποστηρίζω ότι, το πρόβλημα είναι πιο πολύπλοκο από ότι όλοι μας αρχικά θεωρήσαμε.
ΥΓ. Ένα ενδιαφέρον ερώτημα που προκύπτει είναι : ποια είναι η τροχιά του ΚΒ από την αρχή της κίνησης μέχρι την λήξη της ?
Καλησπέρα Δημήτρη.
Αγνοούσα ότι δεν είσαι “του επαγγέλματος” και γι΄αυτό το λόγο έγραψα τα δύο πρωινά σχόλια, για το πώς αντιμετωπίζεται ένα τέτοιο θέμα σε Λυκειακό επίπεδο. Περίμενα η όποια περαιτέρω συμμετοχή σου στη συζήτηση, να περιέχει κάποια απάντηση.
Τέλος πάντων…
Μάλλον εκλαμβάνεις τη θέση μου ότι “κάθε κίνηση στερεού … ως μεταφορά και περιστροφή” ως να πρόκειται για μια ευθύγραμμη κίνηση του κέντρου μάζας, οπότε γύρω από άξονα που διέρχεται από αυτό να γίνεται η περιστροφή. Γι΄αυτό αναφέρεις τους βαθμούς ελευθερίας.
Δεν μίλησα για ευθύγραμμη κίνηση του κ.μ. και μάλιστα σε ευθεία παράλληλη με το έδαφος, οπότε να συζητήσουμε αν μπορεί να υπάρξει αυτή η περιστροφή. Μίλησα για μεταφορική κίνηση και, αν υποθέσουμε ότι αρχίζει η ανατροπή, τότε το κέντρο μάζας θα κινηθεί σε καμπύλη τροχιά, φτάνοντας στην ανώτερη θέση να απέχει από το επίπεδο απόσταση ίση με το μισό της διαγωνίου…
"Περίμενα η όποια περαιτέρω συμμετοχή σου στη συζήτηση, να περιέχει κάποια απάντηση. "
???
"Μάλλον εκλαμβάνεις τη θέση μου…."
Όχι, το αντίθετο. Λέω ότι η θέση ισχύει αλλά μόνο όταν το ΚΒ έχει και τους έξη βαθμούς ελευθερίας που στην προκειμένη περίπτωση δεν ισχύει.
"…αν υποθέσουμε ότι αρχίζει η ανατροπή, τότε το κέντρο μάζας θα κινηθεί σε καμπύλη τροχιά, φτάνοντας στην ανώτερη θέση να απέχει από το επίπεδο απόσταση ίση με το μισό της διαγωνίου…".
Μόνο για τον κινούμενο παρατηρητή, οπότε η καμπύλη θα είναι τόξο κύκλου. Για τον ακίνητο είναι σύνθετη (αρχικά ευθύγραμμη, παραβολική* κατά τη διάρκεια της ανατροπής και τέλος ευθύγραμμη)
Για το σχολικό επίπεδο, νομίζω ότι, το πρόβλημα θα ήταν πιο απλό αν η εκφώνηση ήταν "…μέχρι να αρχίσει η ανατροπή" και όχι "…χωρίς να ανατραπεί το κιβώτιο" επειδή το κιβώτιο θα διανύσει κάποια απόσταση χωρίς να έχει ανατραπεί μεν αλλά να έχει αρχίσει η ανατροπή του.
* ή πιο σύνθετη λόγω μεταβολών δυναμικής/κινητικής ενέργειας. Θα άξιζε να υπάρξει κάποια μελέτη σ' αυτό.
ΥΓ. η πρόθεσή μου δεν ήταν να προκαλέσω κάποιον. Απλά είδα μια ανάρτηση στο physicsgg.gr που μου φάνηκε κάπως και είπα τη γνώμη μου. Όμως φαίνεται ότι η "καθηγητική αυθεντία" δεν το σηκώνει αυτό.
Καλημέρα Δημήτρη.
Δεν μπορούν να συμβαίνουν δύο αντίθετα πράγματα ταυτόχρονα. Γράφεις:
"Όμως φαίνεται ότι η "καθηγητική αυθεντία" δεν το σηκώνει αυτό."
Αν ισχύει αυτό, θα έγραφα την αρχική μου τοποθέτηση, χωρίς να περιμένω απάντηση και χωρίς να δέχομαι αντίρρηση και δεν θα εξέφραζα δυσφορία που δεν αντέκρουσες τις θέσεις μου.
Η αυθεντία δεν μπαίνει σε διάλογο…
Το πλήθος των βαθμών ελευθερίας παίζει φυσικά ρόλο στην εξέλιξη του φαινομένου αλλά όχι στο ως προς ποιο σημείο ισχύει η σχέση Στ=0.
Ένα σώμα καρφωμένο στο έδαφος δε έχει κάποιον βαθμό ελευθερίας. Όμως ΣF=0 και ως προς οιοδήποτε σημείο του Στ=0.
Ένα σώμα μπορεί μόνο να περιστρέφεται ως προς άξονα. Έχει μόνο ένα βαθμό ελευθερίας. Αν ισορροπεί (δεν στρέφεται δηλαδή) η σχέση Στ=0 ισχύει για οιοδήποτε σημείο του, άσχετα με το προς τα που θα μπορούσε να στραφεί.
Το κιβώτιο της παρούσης ανάρτησης έχει δύο βαθμούς ελευθερίας. Θέση x και γωνιακή θέση. Η επαφή του με το καροτσάκι του στερεί τον τρίτο βαθμό ελευθερίας, διότι η y θέση καθορίζεται από την x θέση και την γωνιακή θέση.
Το ότι δεν ολισθαίνει ούτε ανατρέπεται σημαίνει ότι κινείται με την επιτάχυνση του καροτσιού. Δηλαδή ότι Τ=m.α.
Το ότι δεν στρέφεται σημαίνει ότι η γωνιακή του επιτάχυνση είναι μηδενική.
Όμως Στ=Ιcm.αγ. Η σχέση αυτή αναφέρεται σε ροπές ως προς το κέντρο μάζας. Έτσι Στ =0 ως προς το κέντρο μάζας.
Αν θέλαμε να δουλέψουμε ως προς το σημείο ανατροπής έχουμε δύο δυνατότητες:
1. Να δουλέψουμε με παρατηρητή πάνω στο καροτσάκι και δύναμη D'Alembert. Τότε έχουμε πλήρη ελευθερία επιλογής σημείου. Ας επιλέξουμε το σημείο πιθανής ανατροπής. Τότε m.α.y = m.g.y/2.
Ας επιλέξουμε το κέντρο μάζας. Τότε βάρος και D' Alembert δεν έχουν ροπή. Έτσι Ν.y/2 = T.y =>m.g.y/2 = m.α.y. Πάλι το ίδιο.
Όποιο σημείο και αν επιλέξουμε θα καταλήξουμε στην m.g.y/2 = m.α.y.
2. Να πούμε ότι ως προς το σημείο ανατροπής dL/dt = Στ. Τότε όμως Στ είναι μόνο η ροπή του βάρους. Όμως dL/dt δεν έχει μηδενική τιμή. Η στροφορμή του είναι η τροχιακή L=m,υ.y. Ο ρυθμός dL/dt είναι ίσος με m.α.y. Έτσι θα βγάζαμε πάλι ότι m.g.y/2 = m.α.y.
Αν επιλέξουμε κάποιο άλλο σημείο του σώματος αλλά και του χώρου ακόμα (παρά το ότι δεν περιστρέφεται το κιβώτιο περί αυτό) τότε θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση dL/dt = Στ. Τότε όμως Στ είναι οι ροπές ως προς το σημείο αυτό. Εδώ θέλει προσοχή. L είναι η τροχιακή στροφορμή ως προς αυτό και dL/dt ο ρυθμός μεταβολής της. Η επιλογή του σημείου επηρεάζει και το πρόσημο και το μέτρο της τροχιακής στροφορμής αλλά και της ολικής ροπής. Ότι και να κάνουμε θα καταλήξουμε στην m.g.y/2 = m.α.y.
Τελικά η επιλογή του σημείου δεν είναι μονοσήμαντη. Γίνεται με βάση την ευκολία μας και την επιθυμία μας.
Προσοχή όμως:
Δεν μπορούμε να πούμε ότι "δεν περιστρέφεται περί το Σ σημαίνει ότι οι ροπές ως προς το Σ είναι μηδέν".
Αντιπαράδειγμα:
Για παράδειγμα, ας δούμε την ομογενή ράβδο που αφήνεται να πέσει κατακόρυφα από την οριζόντια θέση, ενώ στο άκρο της Α ασκείται μια κατακόρυφη δύναμη ίση με το βάρος.
Αν κάποιος πάρει τη συνολική ροπή ως προς το μέσον Κ της ΑΟ θα βρει Στ=0 και μπορεί να θεωρήσει ότι η ράβδος δεν θα στραφεί. Αλλά όλοι καταλαβαίνουμε ότι η ράβδος θα περιστραφεί, αφού αν πάρουμε τη ροπή ως προς το κέντρο μάζας, αυτή δεν είναι μηδενική.
Άλλο:
Το καροτσάκι κινείται με σταθερή προς τα δεξιά επιτάχυνση. Δεν στρέφεται ως προς την άρθρωση. Όμως οι ροπές ως προς την άρθρωση δεν είναι μηδενικές όσον αφορά τη σκοπιά ενός αδρανειακού παρατηρητή.
Αν εμπλέξουμε αδρανειακή δύναμη ασκούμενη στο μέσον της ράβδου (δύναμη D' Alembert) έχουμε περάσει στη σκοπιά επιταχυνόμενου παρατηρητή, ο οποίος βλέπει ακίνητη τη ράβδο. Αυτός όμως έχει το δικαίωμα να πει ότι Στ=0 ως προς οιοδήποτε σημείο, ακόμα και ένα σημείο της καρότσας ή το κέντρο κάποιου τροχού ή το κέντρο μάζας της ράβδου ή……
Με πιο απλά λόγια το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις.
Θα μπορούσε να μου προταθεί οποιοδήποτε σημείο ως σημείο αναφοράς των ροπών. Όχι μόνο το σημείο πιθανής ανατροπής.
Θα έδινα τότε δύο λύσεις. Μία με αδρανειακό παρατηρητή και μία με μη αδρανειακό.
Οι λύσεις θα ήταν σωστές ως βασιζόμενες στον θεμελιώδη νόμο που θα είχε τις εκφράσεις ΣF=m.α και Στ=dL/dt.
Σε κάθε πρόβλημα υπάρχει ελευθερία επιλογής, με το ανάλογο κόστος σε δουλειά.
Αν όμως θέλουμε και αδρανειακό παρατηρητή και Στ=0, τότε μόνο το κέντρο μάζας είναι η επιλογή μας.