by 
Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους 4m, πέφτει κατακόρυφα και σε μια στιγμή σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ (ημθ=0,6), ενώ το άκρο της Α έχει ταχύτητα όπως στο σχήμα, με κατεύθυνση προς το άκρο Β και μέτρου υΑ=3m/s.
- Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας Ο της ράβδου καθώς και η γωνιακή της ταχύτητα.
- Να υπολογιστεί η ταχύτητα του μέσου Μ της ΟΒ.
ή
Η ράβδος πέφτει κατακόρυφα
Η ράβδος πέφτει κατακόρυφα
Καλημέρα Θοδωρή, καλημέρα Νίκο και καλό ΣΚ.
Διαπιστώνω μια "άρνηση" της αποδεικτικής πορείας που έκανα παραπάνω, πέρα από την "μη αποδοχή" τουλάχιστον, της μελέτης κάθε στερεού που δεν είναι "στρογγυλό"… Τέτοιο στερεό σύμφωνα με την κοινή αντίληψη διδασκόντων και διδασκομένων δεν υπάρχει.
Ας έρθουμε λοιπόν συγκεκριμένα στη ράβδο. Πήρα μήνυμα του Νίκου ο οποίος μου επεσήμανε τη δυσκολία του ερωτήματος και την διορθωτική πορεία απάντησης, με τη χρήση συνιστωσών, στη γραμμή του Θοδωρή.
Γράφει ο Θοδωρής ότι θα είναι καλύτερη απόδειξη αν γραφτεί:
Μετά το μήνυμα του Νίκου ξαναείδα το αρχείο, έκανα μικρολεκτικές αλλαγές, αλλά χωρίς να αλλάζω την "αποδεικτική γραμμή", αφού αυτό που έγραψα:
Νομίζω ότι είναι σαφές και αποσκοπεί στο να γίνει ικανός ο μαθητής, να επιλέξει την γραμμική ταχύτητα, μόνο και μόνο σχεδιάζοντας ένα πρόχειρο παραλληλόγραμμο και όχι κάνοντας πράξεις.
Οι πράξεις πολλές φορές, είναι ο δρόμος που ακολουθούν μηχανικά, χωρίς να καταλαβαίνουν πού οδηγεί και τι κρύβεται πίσω τους…
Θοδωρή και Νίκο, μπορεί να θεωρείτε δύσκολη για τα παιδιά την αποδεικτική αυτή πορεία, αλλά δεν θα ήθελα να την αλλάξω. Πέρα από την ευκολία ή δυσκολία μιας αποδεικτικής πορείας, υπάρχει και ο στόχος επιλογής της…
Καλημέρα Νίκο, καλημέρα Διονύση
Νομίζω πως ο Διονύσης θέλει να μας βάλει στα "βαθιά" γρήγορα…
γι αυτό μας έδωσε πρώτη άσκηση σύνθετης κίνησης που είναι επαλληλία
ομαλά επιταχυνόμενης μεταφορικής και ομαλής περιστροφικής…
Νίκο, βλέπω εκεί στην Κρήτη, έχετε χιούμορ μεγάλο…
Νομίζω πως αστειεύεσαι αν νομίζεις πως μαθητής θα καταλάβει το:
"Το ux = uA, μπορούμε να το αποδείξουμε λέγοντας ότι επειδή
έχουμε άκαμπτο στερεό, οι συνιστώσες των ταχυτήτων των σημείων Α και Ο
στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Ο είναι ίσες."
Δεν σου κρύβω, πως όταν αυτά πριν χρόνια, τα έγραφε ο Γιάννης σε κάτι εκφωνήσεις-λύσεις
σε παρουσίαση "κόμικ", σκάλωνα κανένα δεκάλεπτο να καταλάβω τι εννοεί ο "ποιητής"…..
Διονύση γράφαμε μαζί…
Θα διαβάσω το σχόλιο αργότερα….δεν προλαβαίνω τώρα
Καμία άρνηση….μου αρέσουν οι ράβδοι περισσότερο από τους "κύκλους"….
Αν τη δώσω αυτή στους μαθητές μου, θα χάσω και τους λίγους που έχω…
και όχι τίποτα άλλο, τα οικονομικά δεν χωράνε άλλους….
Καλημέρα παιδιά.
Είδα προσεκτικότερα και την άσκηση και τα σχόλια.
Η άσκηση είναι πολύ καλή μια και παρουσιάζει την ανάλυση κίνησης σε δύο άλλες, μεταφορική και στροφική.
Πριν πω οτιδήποτε, ας επισημάνω πως δεν προσέχθηκε το σχόλιο του Αποστόλη.
Μια φορά αν πέσει τέτοια θα πελαγώσουν οι μαθητές που δεν έχουν δει παρόμοιες ασκήσεις.
Την άλλη χρονιά αρχίζει η συστηματική διδασκαλία-ραβδολογία και οι ασκήσεις του τύπου θα γίνουν κτήμα όλων των μαθητών.
Ασκήσεις τέτοιες πρέπει να γίνονται και ας τρομάξουν τους μαθητές. Τα σημαντικότερα που έμαθα πιτσιρικάς ήταν όσα δεν έλυσα και με τρόμαξαν.
Καλημέρα στη νησίδα.
Προχθές σε σχόλιό μου προς Διονύση έγραψα:
‘’ "πρέπει η συνιστώσα της υΜ στη ράβδο να ισούται με την υΑ ;" Όμως δεν επαληθεύεται η σκέψη μου.’’
Ο Διονύσης μου απάντησε :
‘’Παντελή, ισχύει αυτό που λες. Αν βάλεις μια συνιστώσα ταχύτητας του Μ πάνω στη ράβδο ίση με 3m/s και μια κάθετη με μέτρο ωR=6m/s θα βρεις την ταχύτητά του, όση την έχω υπολογίσει με την … κλασσική μέθοδο.’’
Σκεφτόμουνα (διακεκομμένα λόγω συνύπαρξης με το μικρό ανθρωπάκι) το αν άμεσα μπορεί να αξιοποιηθεί το Διονύσιο λεχθέν και μια και μου δίνει άδεια ο μικρός έκανα τα παρακάτω (όχι σαν πρόταση καλλίτερη των του Διονύση αλλά για προβληματισμό):
Καλησπέρα Παντελή.
Το συμπέρασμα που καταλήγεις είναι σωστό.
Πάνω σε αυτό το συμπέρασμα, "πάταγε" και η προηγούμενη απάντησή μου στο ερώτημά σου.
Διονύση δεν διαφωνώ με τον τρόπο σου.
Αυτό που θέλω να τονίσω είναι ότι στη λύση πρέπει να
υπάρχει μια αιτιολογία για τις ισότητες των ταχυτήτων.
Εγώ με βάση το σχήμα που ανεβάζω θα έγραφα στη λύση:
Η ταχύτητα του Α προκύπτει από τη σύνθεση των ταχυτήτων ux, uy, και uγρ.
Από το σχήμα βλέπουμε ότι αυτό μπορεί να συμβαίνει μόνο αν
uy=uγρ και uA=ux.
ΥΓ1.
Με μερικά κλικ έκανα την εικόνα Visio "αγνώριστη" και με πιο όμορφο φόντο
Τα σύμβολα είναι του mathtype.
ΥΓ2.
Πως γράφω δείκτες και εκθέτες στα σχόλια;
Δοκίμασα με την προσθήκη άρθρου, αλλά δεν έπιασε…
Καλησπέρα, να βάλουμε τα πράγματα σε μία σειρά…
-Η σύνθετη κίνηση είναι έτσι και αλλιώς δύσκολη γιατί είναι αρκετά «αφηρημένη»…..το συνειδητοποιώ κάθε χρονιά που τη διδάσκω….
-Όσο πιο «αφηρημένη» είναι η έννοια που διδάσκουμε, τόσο πιο ακριβή πρέπει να είναι τα μαθηματικά που χρησιμοποιούμε, ώστε να δημιουργούν κλίμα ασφάλειας που περιορίζει
το χαοτικό της σκέψης….
-Σύνθετη κίνηση δεν είναι μόνο η κύλιση
-Σύνθετη κίνηση διδάσκεις πολύ πιο όμορφα με ράβδους
-Ανεξάρτητα αν το «μετά» της στιγμής που εξετάζεις δεν ενδιαφέρει, η κίνηση θα πρέπει να γίνεται αντιληπτή από το μαθητή ώστε να μην αισθάνεται αμφιβολία για την επόμενη στιγμή (γι αυτό έγραψα για δυσκολία όταν είναι ομαλά επιταχυνόμενη μεταφορική και ομαλή περιστροφική, συνδυασμός δύσκολος για αρχή)
Πώς θα ξεκινούσα τη σύνθετη;
Σε λείο οριζόντιο δάπεδο κίνηση ράβδου ομαλή. Με πληροφορίες τη στιγμή t1 ζητάω μια επόμενη στιγμή t2 ταχύτητα και επιτάχυνση του άκρου. Η επιλογή είναι τέτοια (στροφή π/2) ώστε οι ταχύτητες να είναι αρχικά συγγραμμικές και μετά κάθετες και η επιτάχυνση μία αφού η κίνηση είναι ομαλή. Ζητάω να σχεδιάσουν και τη θέση της ράβδου ώστε σε «γνώριμο» περιβάλλον να υπάρξει εικόνα-αντίληψη και της κίνησης
Στη συνέχεια έρχεται η κύλιση….αρχικά με μηδενική ταχύτητα στο σημείο επαφής και μετά με μη μηδενική ταχύτητα
Θεωρώ πως αυτή η σειρά δημιουργεί «ασφάλεια» στην επαφή με το νέο και δίνει «αυτοπεποίθηση» για τα επόμενα που είναι πιο «σκληρά»….επιταχυνόμενες κινήσεις
Προφανώς οι αναρτήσεις στο υλικονετ δεν καθορίζουν τη σειρά διδασκαλίας στην τάξη και ο καθένας είναι ελεύθερος να δημοσιεύει αυτό που θεωρεί ότι έχει ενδιαφέρον….
Προσωπικά, αυτή την περίοδο δεν θα διάβαζα ανάρτηση που ζητάει στροφορμή ως προς τυχαίο σημείο σε σύνθετη κίνηση….διότι απλά θα με αποπροσανατόλιζε εντελώς…..Κάθε πράγμα στον καιρό του….
Η λύση του Διονύση για το σημείο Α, είναι σίγουρα πλήρης, δεν είμαι όμως σίγουρος αν είναι κατανοητή από τους τελειόφοιτους του 2020…..Αυτό που έγραψε ο Νίκος στο τελευταίο σχόλιο, είναι αυτό που έγραψα, μάλλον εννοούσα και εγώ χτες, με την εξίσωση που ανέβασα…αλλά νύσταζα για να γράψω περισσότερα….
Για τον τρόπο υπολογισμού της ταχύτητας του Μ, έχω ενστάσεις….
Δεν κατανοώ γιατί πρέπει να αλλάξει ο συλλογισμός από αυτόν που χρησιμοποιήθηκε στο σημείο Α…Η επιλογή αξόνων που έγινε εκεί, χ στη ράβδο y κάθετος στη ράβδο, νομίζω πρέπει να παραμείνει και εδώ….εκτός και αν σκοπός είναι να φανεί πως η επιλογή των αξόνων δεν έχει σημασία….
Νόμος ημιτόνων ;;;; Άγνωστος στη συντριπτική πλειοψηφία….
Και πάλι λέω, δεν είναι ανάγκη να ταυτίζονται οι απόψεις μας….
Ο πλουραλισμός ιδεών και η εξωστρέφεια είναι και επιθυμητά και δημιουργικά….
Καλησπέρα , Διονύση ωραίο θέμα , όπως και οι τρόποι λύσης που δίνεις.Το κοινό στο οποίο θα απευθυνόταν συρρικνώνεται εντυπωσιακά.
Σε σχέση με άλλους τρόπους επίλυσης ,καταθέτω την άποψή μου στην τελευταία ανάρτηση του Γιάννη.
Καλημέρα στους φίλους του δικτύου.
Θοδωρή και Ξενοφών, συμφωνώ με τις απόψεις σας για τη δυσκολία της ανάρτησης.
Ευχαριστώ τον Διονύση που με αφορμή αυτή την ανάρτηση μας έδωσε έδαφος
για να προβληματιστούμε και να προτείνουμε τρόπους επίλυσης.
Θοδωρή ξεχωρίζω ένα απόσπασμα από αυτά που έγραψες:
"η κίνηση θα πρέπει να γίνεται αντιληπτή από το μαθητή ώστε να μην αισθάνεται αμφιβολία για την επόμενη στιγμή"
Αν δεν φροντίσουμε γι΄αυτό στην εισαγωγή του στερεού, "χάσαμε" τον μαθητή.
Αργότερα μπορούμε να αναφέρουμε κάτι παραπάνω, ανάλογα με το ακροατήριο που έχουμε.
Καλημέρα Ξενοφώντα, σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ευχαριστώ και το Θοδωρή και το Νίκο για τις τοποθετήσεις τους.
Σεβαστές απολύτως, αν και κρίνω ότι μάλλον δεν έγινε σαφής ο σκοπός της συγκεκριμένης ανάρτησης και η επιλογή της συγκεκριμένης αποδεικτικής πορείας.
Έτσι επανέρχομαι με μια νέα προσπάθεια:
Ξεκινώντας από τις ταχύτητες δύο σημείων
Διονύση, καλησπέρα. Πάντα αργοπορημένος. Πολύ καλή, ίσως όχι για αρχή. Δείχνει τον τρόπο (μέθοδο) σε τέτοιου είδους ασκήσεις.
Έχω τη γνώμη ότι πολλά πράγματα (στις περιπτώσεις αυτές) θα ήσαν ευκρινέστερα αν στη διδασκαλία, με την ευκαιρία της σύνθετης κίνησης, μιλούσαμε για σχετικές κινήσεις (το κάνω) με στερεό σώμα τυχαίου σχήματος, οπότε η σύνθετη μπορεί να περιγραφεί ως μεταφορά ενός τυχαίου σημείου (και όλων των υλικών του σημείων) του σώματος συν μια περιστροφή γύρω από αυτό. Η επιλογή του σημείου για τη μεταφορά αποφεύγω προς το παρόν (δεν είναι αναγκαίο) να το ταυτίζω με το κέντρο μάζας του σώματος. Όποιο να είναι. Έτσι προκύπτουν αβίαστα οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις. Για παράδειγμα στην άσκησή σου θα έλεγα ότι όλα τα σημεία της ράβδου έχουν συνιστώσες κατά μήκος της που πρέπει να είναι ίσες, αφού πρόκειται για στερεό σώμα και οι αποστάσεις των σωματιδίων του πρέπει να είναι αμετάβλητες. Και τα πράγματα παίρνουν το δρόμο τους.
Στον τροχό ανεξάρτητα πως κινείται (κυλιόμενος ή και ολισθαίνοντας) η πορεία που ακολουθώ είναι με σημείο αναφοράς για τη μεταφορά πέρα από το κέντρο του, μετά το κέντρο του και στη συνέχεια χωρίς ολίσθηση (και για λίγο εστίαση στο σημείο επαφής για μέτρηση των απόλυτων ταχυτήτων).
Και μια απορία. Γιατί τη μια ταχύτητα (εκ περιστροφής) τη λέμε γραμμική, ενώ την άλλη π.χ του κέντρου μάζας σκέτα ταχύτητα, αφού και αυτή γραμμική είναι..
Να είσαι καλά. Σε έχουμε ανάγκη.
Καλησπέρα Ντίνο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Μόλις τώρα είδα το σχόλιο…
Συμφωνώ ότι θα ήταν καλό να γνώριζαν οι μαθητές σχετικές κινήσεις, αλλά δυστυχώς δεν συμβαίνει…
Για την δυνατότητα διδασκαλίας της σύνθετης κίνησης, για σημείο πέρα του κέντρου μάζας, έχω πάρει θέση, διατηρώντας τις επιφυλάξεις μας, αφού πολύ εύκολα ο μαθητής θα χρησιμοποιήσει τον ίδιο τρόπο και όταν διδαχτεί δυναμική. Αυτό ενισχύεται και με βάση τη λογική του βιβλίου, όπου δεν το αντιμετωπίζει …
Όσον αφορά τη "γραμμική" ταχύτητα, προσωπικά νομίζω ότι η ταχύτητα είναι …ταχύτητα και δεν χρειάζεται κανένας επιθετικός προσδιορισμός. Θα μπορούσε να λείπει κατά τη διδασκαλία της κυκλικής κίνησης, οπότε θα έπαυε να χρησιμοποιείται αυτομάτως και στο στερεό. Έχω την εντύπωση ότι ονομάστηκε "γραμμική" για να ξεχωρίζει από την "γωνιακή", αλλά μάλλον κακό κάνει η συσχέτιση…