by 
Στο άρθρο που ακολουθεί υπολογίζεται η χρονική εξάρτηση της δύναμης που ασκείται από τον ακλόνητο άξονα περιστροφής της, σε μία τροχαλία συνδεδεμένη με ένα σώμα, μέσω αβαρούς, μη εκτατού και μη ολισθαίνοντος νήματος. Στην συνέχεια υπολογίζεται η χρονική εξάρτηση του σημείου εφαρμογής της δύναμης που ασκεί το νήμα στην περιφέρεια της τροχαλίας, καθώς και η χρονική εξέλιξη του μέτρου της.
Δυναμική μελέτη τροχαλίας -μάζας
Καλησπέρα Στάθη.
Αν και σήμερα δεν λειτουργώ καλά (γύρισα από χημειοθεραπεία στο Πανεπιστημιακό Νοσοκομείο) σαν να μου φαίνεται ότι βλέπω κάτι λαθάκια στους υπολογισμούς σου. Σου είναι εύκολο να κάνεις μια επανεξέταση;
Καλημέρα Νίκο, εύχομαι όλα να πάνε καλά με την υγεία σου. Όσο για τα λάθη που βλέπεις, υπέδειξε τα μου να τα διορθώσω.
Καλημέρα Στάθη, καλημέρα Νίκο.
Νίκο ελπίζω όλα να πάνε καλά και γρήγορα να είσαι απόλυτα υγιής.
Στάθη, έχω την αίσθηση ότι η παραπάνω μελέτη σου, απαντά στα ερωτήματα που τέθηκαν πρόσφατα, κάτω από την ανάρτηση του Στέφανου Χατζηευσταθίου:
Η δύναμη από τον άξονα
και στην ουσία καταλήγεις σε αντίθετα συμπεράσματα από αυτά του Διονύση Μητρόπουλου στην ανάρτησή του:
Δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ τροχαλίας και νήματος ή ιμάντα που την περιβάλλει
Είναι έτσι;
Καλημέρα Διονύση. Έχεις δίκιο ότι το έναυσμα δόθηκε από την ανάρτηση του Στέφανου.
Ίσως μου διαφεύγει κάτι, αλλά σε ποιο σημείο καταλήγω σε αντίθετα συμπεράσματα από αυτά του Διονύση Μητρόπουλου;
Στάθη, ο Διονύσης καταλήγει στη σχέση 21:
η οποία λέει τι; Αν ασκήσουμε στα δυο άκρα του νήματος, δύο κατακόρυφες δυνάμεις F1 και F2, τότε η δύναμη Α την οποία το νήμα ασκεί στην τροχαλία, θα είναι επίσης κατακόρυφη.
Στην δική σου εκδοχή, όπου το νήμα ασκεί μία δύναμη στην τροχαλία, προκαλείται πλάγια δύναμη από τον άξονα για να εξουδετερωθεί η παραπάνω δύναμη, Άρα η δύναμη από το νήμα δεν είναι κατακόρυφη.
Διονύση στην μελέτη που κάνειο έτερος Διονύσης, αναφέρεται σε μία τροχαλία στην οποία ασκούνται δυνάμεις μέσω ενός νήματος. Τότε το κέντρο μάζας του στερεού παραμένει ακίνητο. Οι ισοδύναμη κατάσταση προκύπτει μέσω των σχέσεων (11α,β) αν θέσουμε Αcm,x=Acm,y=0, οπότε η δύναμη από τον άξονα προκύπτει κατακόρυφη.
Στο σύστημα που μελετώ, προκαλείται μία πλάγια δύναμη από τον άξονα, λόγω της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του, από την πτώση της μικρής μάζας. Η επιτάχυνση αυτή προκαλεί την εππλέον δύναμη.
Ένα ανάλογο φαινόμενο είνια το εξής: Αν τοποθετήσω μία κλεψύδρα πάνω σε μία ζυγαριά, η ένδειξη της τελευταίας θα είναι μεγαλύτερη όταν η άμμος πέφτει, από όταν όλο το σύστημα ηρεμεί.
Στάθη, προσπαθώ να καταλάβω το τι γίνεται.
Η συλλογιστική σου, μου φαίνεται να είναι σωστή, αλλά ένα πρόβλημα… παραμένει.
Αν αφήσουμε το κ.μ. και εστιάσουμε στην τροχαλία.
Για τα πρώτα 2s δέχεται την τάση του νήματος (ας πούμε Τ=5Ν), δύναμη κατακόρυφη από το νήμα και μια δύναμη από τον άξονα πλάγια.
Στη συνέχεια η τροχαλία, δέχεται την ίδια δύναμη από το νήμα (η τάση, ξανά 5Ν) και τη δύναμη από τον άξονα που είναι κατακόρυφη!
Τι άλλαξε για την τροχαλία; Δεν βλέπω καμιά λογική για διαφορετική συμπεριφορά, όταν εστιάζω στην τροχαλία μεταξύ των χρονικών στιγμών 1s και 4s.
Διονύση, στα πρώτα δύο sec η τροχαλία δέχεται από το νήμα μία δύναμη με δύο συνιστώσες, όπως στα διαγράμματα 7 και 8 του σχήματος 3. Η μία συνιστώσα είναι εφαπτόμενη στην περιφέρεια και ίση με 8Nt και η δεύτερη ακτινική η οποια κυμαίνεται από μηδέν έως περίπου 5Nt. Το δε σημείο εφαρμογής της δύναμης κυμαίνεται από περίπου 1.2rad έως π/2. Μετά τα 2sec η ακτινική συνιστώσα της δύναμης μηδενίζεται και η δύναμη από το νήμα γίνεται κατακόρυφη.
Τι εξηγεί αυτήν την συμπεριφορά; Το ότι η επιτάχυνση του cm μετά τα 2sec, στον άξονα x έχει πρακτικά μηδενιστεί, οπόλτε το cm επιταχύνεται σε πολύ καλή προσέγγιση κατακόρυφα (έχει ξετυλιχθει αρκετό νήμα, ώστε το κεντρο της τροχαλίας να "βλέπει" υπό μικρή στερά γωνία την κίνηση της μιοκρής μάζας).
Δεν μπορώ να το εξηγήσω διαφορετικά. Είτε θα θεωρήσουμε τα δύο σώματα ως ένα σύστημα οπότε πρέπει να λάβουμε την κίνηση του cm υπ' όψιν, είτε θα θεωρήσουμε ότι απλά η μικρή μαζα ασκεί μία δύναμη στην τροχαλία οπότε οι δυνάμεις είναι συνεχώς κατακόρυφες. Τι από τα δύο γίνεται στην πράξη; Εικάζω ότι αν η μικρή μαζα είναι πολύ μικρότερη της τροχαλίας, το δέυτερο, Αν οι μάζες είναι ίδιας τάξης μεγέθους μάλλον το πρώτο (η διαφορά θα προκύπτει για ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα στην αρχή, περίσσότερο θα μοιάζει με "κλώτσημα" στην αρχή της κίνησης).
Καλημέρα και πάλι Στάθη
"περισσότερο θα μοιάζει με "κλώτσημα" στην αρχή της κίνησης)"
Αυτό "μου κάνει", αλλά μάλλον θα παραμείνω στην αρχική μου αντίληψη, αφήνοντας το "κλώτσημα" σαν μια λεπτομέρεια…
Για να δώσω μια αναλογία, σαν τα "μεταβατικά φαινόμενα" στην εξαναγκασμένη ταλάντωση.
Καλημέρα Στάθη.
Ας τα πάρουμε ένα-ένα. Στην Εξ. (4) για το rcm εχεις συντελεστή m/m+M. Νομίζω ο συντελεστής είναι μονάδα.
Διονύση είμαι σε μετεγχειρητικό στάδιο. Που σημαίνει εξετάσεις και χημειοθεραπείες.
Νίκο καλημέρα και καλή ανάρρωση.
Η αρχή του συστήματος συντεταγμένων βρίσκεται στο κέντρο της τροχαλίας Κ. Το κέντρο μάζας ορίζεται ως
γιατί το διάνυσμα θέσης
του κέντρου Κ της τροχαλίας (και αρχής των αξόνων) ισούται με το μηδέν.
Δεν νομίζω ότι εκεί υπάρχει πρόβλημα.
Σιδερένιος Νίκο.
Νίκο αν εννοείς τις σχέσεις (6β), (6γ) και (7α), έχει γίνει λάθος στην μεταφορά των παραγώγων στο word.
Οι υπολογισμοί όμως δεν επηρεάζονται γιατί έγιναν με τις σωστές λύσεις και τα γραφήματα στο mathematica. Διόρθωσα ήδη στο κείμενο.
Γεια σας παιδιά.
Στάθη δεν μπορώ να καταλάβω τι εννοείς λέγοντας "Το κέντρο μάζας αρχικά επιταχύνεται και κατόπιν επιβραδύνεται".
Βλέπω το κέντρο μάζας διαρκώς επιταχυνόμενο.
Αν π.χ. Μ=2kg και m=1kg, το σώμα κατεβαίνει με επιτάχυνση α= 5 m/s^2, διαγράφοντας κατακόρυφη ευθεία.
Τότε το κέντρο μάζας κινείται με επιτάχυνση ίση με m.α/(Μ+m)=5/3 m/s^2.
Αυτό φαίνεται και από την Γεωμετρία:
Δηλαδή πάλι βγάζουμε 5/3 m/s^2.
Αν το κέντρο μάζας αρχικά επιταχύνεται και εν συνεχεία επιβραδύνεται τότε το ίδιο θα κάνει και το σώμα Σ.
Δηλαδή το σώμα Σ θα έχει κάποια στιγμή μέγιστη ταχύτητα.
Δηλαδή θα έχει κάποια στιγμή μέγιστη κινητική ενέργεια.
Επειδή υ=ω.R θα έχει και η τροχαλία μέγιστη κινητική ενέργεια.
Επειδή η ενέργεια διατηρείται θα παρουσιάζει το σύστημα (την στιγμή εκείνη) ελάχιστη δυναμική ενέργεια.
Δηλαδή το σώμα θα είναι στην κατώτερη θέση του και μετά θα αρχίσει η άνοδός του.
Δεν μπορώ να το καταλάβω.
Γιάννη είμαι στη δουλειά, θα το κοιτάξω το βράδυ μόλις επιστρέψω. Ελπιζω να μην την πάτησα μεγαλοπρεπώς.. Για την ώρα να αναφέρω ότι η γωνιακή ταχύτητα που μεγιστοποιείται είναι αυτήν της γωνίας που διαγράφει η ΟΣ με την ακτίνα της τροχαλίας. Σκεφτηκα λοιπον να εξετάσω την κίνηση του κμ ως προς το Κ, ως μια ακτινική και μια γωνιακή.