Δυο ερωτήσεις σχετικότητας

Στα λάθη του σχολικού βιβλίου είχα επισημάνει ότι δεν υπάρχει αντίστοιχο της αδρανειακής μάζας ούτε καν της αδράνειας ως αποκλειστικής ιδιότητας του σώματος με την έννοια της μηχανικής στη σχετικότητα αλλά και λανθασμένη χρήση της Ε = mc2 σε πολλά βιβλία όπως π.χ. η κόμη της βερενικής του Γι'΄ργου Γραμματικάκη βλ 

Για τα παρακάτω, θα θεωρήσω τη συντόμευση γ = (1-υ2/c2)-1/2. Το βιβλίο της Γ λυκείου στη σελίδα 201 γράφει: p = γmυ και εξηγεί ότι: [ το μέγεθος m ταυτίζεται με αυτό που λέμε μάζα στη νευτώνια μηχανική και εκφράζει και εδώ την αδράνεια του σώματος. Στη σχετικότητα το ονομάζουμε μάζα ηρεμίας του σώματος … Είναι φανερό ότι, όσο αυξάνεται η ταχύτητα ενός σώματος, η επιτάχυνση που οφείλεται σε μια δεδομένη δύναμη, μειώνεται. Όταν η ταχύτητα του σώματος τείνει στο c, η επιτάχυνση του τείνει στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του φωτός είναι η ανώτερη δυνατή ταχύτητα στη φύση ]

Αντίθετα ελληνικό πανεπιστημιακό βιβλίο (Οικονόμου Ε., 1990) γράφει περίπου τα εξής : [ Έστω Α = γm0 (4) και Ε = c2A = γm0c2 (5) Ποιο είναι το φυσικό νόημα της ποσότητας Α; Θα μπορούσε κανείς να πει ότι το Α, όντας το πηλίκο της ορμής δια της ταχύτητας, είναι η πραγματική μάζα του σώματος. Και ότι η Νευτώνεια μάζα m0 δεν έχει αυτοτελές νόημα παρά μόνο ως το όριο της πραγματικής μάζας Α, όταν η ταχύτητα πηγαίνει στο μηδέν. Το ότι η Νευτώνεια μάζα m0 έχει χάσει μέρος του κύρους της, φαίνεται από το γεγονός ότι, σε αντίθεση με το Α, δε διατηρείται. Αν είναι το Α ή το m0 που δικαιούται να χρησιμοποιεί το όνομα μάζα, θα πρέπει να αποφασιστεί από το βασικό νόμο της κίνησης και από το νόμο της βαρύτητας ….. Για να αποφύγουμε κάθε δυνατότητα σύγχυσης, θα ονομάζουμε το m A-μάζα… Όταν δε η ταχύτητα υ πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός, η Α-μάζα πλησιάζει το άπειρο, πράγμα που σημαίνει ότι είναι σχεδόν αδύνατο να επιταχυνθεί. Άρα η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι το άνω όριο ταχύτητας που μπορεί να αποκτήσει ένα υλικό σώμα. H βασική σχέση (4) μπορεί να ξαναγραφεί ως m = γm0 και η σχέση (5) ως εξής: Ε = mc2 ].

Στα παρακάτω θα ακολουθήσω το σύγχρονο συμβολισμό που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο που είναι παιδαγωγικά προτιμότερος. Μάλιστα, πολλά βιβλία που ακολουθούσαν τον παλιό συμβολισμό, όπως π.χ. του Young (Young Η., 1962), σε νεότερες εκδόσεις τους άλλαξαν συμβολισμό. Έτσι, αυτό που κάποιοι ονόμαζαν παλαιότερα αδρανειακή μάζα m0, ονομάζεται απλώς μάζα και συμβολίζεται με m και η παλιά σχετικιστική μάζα m = γm0 και συμβολίζεται mrel. Με αυτόν τον τρόπο, καταργούνται και οι λέξεις σχετικιστική και αδρανειακή. Είναι φανερό ότι α) το πρώτο  από τα παραπάνω βιβλία ταυτίζει την αδράνεια με τη m, αντίθετα το δεύτερο ταυτίζει την αδράνεια με τη μάζα mrel και β) Και τα δύο λένε ότι η μάζα mrel αποτελεί μια αντίσταση στην επιτάχυνση και δικαιολογούν το ανέφικτο της ταχύτητας του φωτός, για τα σωματίδια, με το γεγονός ότι όταν ένα αντικείμενο επιταχύνεται, καθώς αποκτά όλο και μεγαλύτερες ταχύτητες, η μάζα mrel μεγαλώνει τείνοντας στο άπειρο. Η άποψη του σχολικού είναι ολότελα λανθασμένη, ενώ και το πανεπιστημιακό μπορεί, κατά τη γνώμη μου, να οδηγήσει τον αναγνώστη σε λάθος συμπεράσματα. Ας δούμε γιατί.

Στην περίπτωση που μια δύναμη ασκείται κάθετα στην ταχύτητα του σωματιδίου, ισχύει Ft = mtα, όπου mt η λεγόμενη εγκάρσια (transverce) μάζα, που δίνεται από τη σχέση mt = γm. Βλέπουμε ότι αυτή η μάζα είναι ίση με τη mrel. Αν όμως μια δύναμη ασκείται παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης του σωματιδίου, τότε ισχύει Fl = mγ3α (1) ή Fl = mlα, όπου ml = mγ3 η λεγόμενη διαμήκης (longitudinal) μάζα. (Για την ιστορία αναφέρω ότι αυτές τις μάζες χρησιμοποίησε στις δημοσιεύσεις του o Einstein, γράφοντας μάλιστα στις αρχικές λάθος τύπο για τη mt τον οποίο διόρθωσε ο Planck το 1906). Είναι φανερό ότι σε μία επιταχυνόμενη κίνηση, αφού το μέτρο της ταχύτητας πρέπει να αυξάνεται, η δύναμη πρέπει να έχει και μια παράλληλη συνιστώσα στην ταχύτητα. Άρα η mrel είναι λάθος να χρησιμοποιείται για να δικαιολογήσει το, σωστό κατά τα άλλα, αποτέλεσμα του ανέφικτου της ταχύτητας του φωτός για υλικό σημείο. Για να δικαιολογηθεί το ανέφικτο της ταχύτητας του φωτός, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η επιτάχυνση, όταν η δύναμη είναι παράλληλη στην ταχύτητα, με βάση τη σχέση (1), πρέπει να τείνει στο μηδέν, όταν η ταχύτητα τείνει να πάρει την τιμή της ταχύτητας του φωτός ανεξάρτητα από τη τιμή της δύναμης. Ή να γραφεί ότι, αφού για την ενέργεια Ε ισχύει Ε = γmc2, όλο και μεγαλύτερα ποσά ενέργειας απαιτούνται, για να επιταχύνουμε ένα σωματίδιο, καθώς η ταχύτητα του πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός.

Αν κάποιος επιμένει να φτιάξει μια μάζα αδράνειας mαδρ για ένα κινούμενο σωματίδιο αυτή πρέπει να δίνεται από το πηλίκο των μέτρων δύναμης και επιτάχυνσης και να ισούται με mαδρ = mt / (1 – υ2συν2θ/c2), όπου θ η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα της ταχύτητας και της δύναμης. Άρα, αν και η μάζα αυτή ισοδυναμεί με κάποια αδράνεια, η αδράνεια αυτή δεν αποτελεί αποκλειστικά ιδιότητα του αντικειμένου, όπως στη νευτώνεια μηχανική, αλλά εξαρτάται επιπλέον από τον παρατηρητή (μέσω της υ) και αυτόν που ασκεί την δύναμη (μέσω της θ). Επίσης, όσοι πιστεύουν ότι η βαρυτική μάζα είναι mrel = Ε/c2, κάνουν λάθος, καθώς η βαρυτική έλξη ανάμεσα σε δύο αντικείμενα, στη σχετικότητα, περιγράφεται με τανυστές ενέργειας – ορμής και όχι μόνο από τις ενέργειες των αντικειμένων. Είναι, ακόμα, πειραματικά μετρήσιμο ότι π.χ. η έλξη ενός φωτονίου που κινείται ακτινικά προς το κέντρο της Γης είναι η μισή από αυτήν ενός φωτονίου που κινείται κάθετα σε αυτήν την κατεύθυνση.

Στην πραγματικότητα, η μόνη έκφραση που έγραψε ο Einstein σαν πρόβλεψη και συνέπεια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, μπορεί να γραφεί σαν Ε0 = mc2, όπου Ε0 αυτό που αποκαλείται σήμερα ενέργεια ηρεμίας και m η μάζα του σώματος και όχι η Ε = mrelc2. Καλό είναι, επίσης, να εξαφανίσουμε τις εκφράσεις «σχετικιστική μάζα» και «μάζα ηρεμίας» και να χρησιμοποιούμε τον όρο μάζα με σύμβολο m, μόνο για την ποσότητα που είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας. Επίσης, ο Einstein σε ένα γράμμα του στον Barnet το 1948 γράφει ότι “ δεν είναι καλό να εισαγάγουμε την έννοια της σχετικιστικής μάζας Μ = γm0, για την οποία δεν μπορεί να δοθεί σαφής ορισμός”. Αντίθετα, προτείνει, αντί αυτής, να αναφέρουμε την έκφραση για την ενέργεια και την ορμή ενός κινούμενου αντικειμένου.

Ακόμα και νομπελίστες όπως οι Landau και Feynmann, ενώ στις δημοσιεύσεις τους και στα προχωρημένα βιβλία χρησιμοποιούν τον παραπάνω συμβολισμό, τα βιβλία που χρησιμοποίησαν για να επικοινωνήσουν με μαθητές ή πρωτοετείς φοιτητές, όπως π.χ, το περίφημο «The Feynmann lectures of physics» (Feynmann R. 1963), μπορεί να μπερδέψουν τους αναγνώστες τους. Όσον αφορά το βιβλίο του Hawking, (Hawking S. 1990) A Brief History of time, που έχει μόνο μια εξίσωση, που λέει ότι είναι « η περίφημη εξίσωση του Einstein E = mc2 » οδηγεί, συνήθως, τον αναγνώστη σε λανθασμένα συμπεράσματα. Πιστεύω ότι οι περισσότεροι αναγνώστες θα ξαφνιάζονταν αν μάθαιναν ότι η εξίσωση E = mc2 δημοσιεύθηκε από τον Poincaré, πέντε χρόνια πριν τον Einstein σε μια εργασία του για φωτόνια.

Η μόνη παρόμοια αλλά με διαφορετικό νόημα εξίσωση που έγραψε ο Einstein στη δεύτερη εργασία του το 1905 για τη σχετικότητα είναι η ΔΕ0 = Δm·c2. Αναφερόταν σε δύο φωτεινά κύματα (παλμούς) που εκπέμπει ένα απομονωμένο αντικείμενο, με ενέργεια ηρεμίας Ε0 το οποίο βρίσκεται σε ηρεμία, γράφοντας « η μάζα ενός σώματος είναι ένα μέτρο του ενεργειακού του περιεχόμενου », εννοώντας Ε0 = mc2 .   

Τέλος, όσοι πιστεύουν ότι η εξίσωση Ε = mrelc2 αποτελεί άμεση απόρροια της ειδικής σχετικότητας, καταστρέφουν όλο το όμορφο οικοδόμημα αυτής της θεωρίας παρουσιάζοντας το τελικό αποτέλεσμα αυτό σαν συνέπεια μιας αφύσικης, για τα δεδομένα της σχετικότητας, υπόθεσης ότι πρέπει a priori και υποχρεωτικά να ισχύει p = mrelυ (ενώ π.χ. δεν ισχύει Κ = ½ mrelυ2 ή F = mrelα).