by 
Σε λείο οριζόντιο δάπεδο βρίσκεται ομογενής ράβδος μάζας Μ, μήκους και ροπής αδράνειας την συνήθη.
Τα δύο πανομοιότυπα σημειακά μπαλάκια του σχήματος συγκρούονται με αυτήν.
Όπως φαίνεται από το σχήμα οι κρούσεις γίνονται την ίδια στιγμή. Διαρκούν ελάχιστα.
Μετά την κρούση η ράβδος:
Θα περιστρέφεται περί το κέντρο της;
Θα παραμείνει ακίνητη;
Θα περιστραφεί περί άλλο σημείο;
Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση;
Συμφωνώ πως το δεξί παραμορφώνεται περισσότερο.
Γιάννη μελετάμε την περίπτωση που δεν έχουμε απώλειες μηχ. ενέργειας.
Οι σχέσεις που βγάζω είναι τρεις και οι άγνωστοι 4. Το σύστημα είναι αόριστο. Πρέπει να δοθεί κι άλλο στοιχείο για τη λύση μέσω νόμων και εξισώσεων!
Οι σχέσεις είναι:
1) Α.Δ.Ο.
2) Α.Δ.Στρ.
3) Α.Δ.Κιν. ενέργειας.
Αν υποθέσουμε ότι οι σφαίρες μετά την κρούση έχουν ίσα μέτρα ταχυτήτων, βγαίνει άτοπο:
Δηλαδή, ότι η ράβδος ούτε στρέφεται ούτε μεταφέρεται, και οι σφαίρες μετά την κρούση έχουν ταχύτητες αντίθετες με πριν , ίσου μέτρου!! Σαν να χτύπησαν σε ακλόνητη ράβδο.
Σ' αυτό μοιάζει να έχεις δίκιο.
Βέβαια υπάρχει και διατήρηση στροφορμής ως προς άλλο σημείο. Είναι όμως ανεξάρτητη εξίσωση;
Δεν ξέρω αν είναι ανεξάρτητη, η διαίσθησή μου λέει ότι δεν είναι.
Το κέντρο μάζας του συστήματος πρέπει να είναι ακλόνητο σημείο.
Ίσως αυτό να είναι και το πρόσθετο στοιχείο που λείπει.
Παίρνοντας συγκεκριμένες τιμές:
Όμως είναι ελλιπέστατη λύση.
Γιάννη αυτό που έγραψες σημαίνει ότι οι σφαίρες μετά την κρούση έχουν διαφορετικές κατά μέτρο ταχύτητες!
Και για να εξηγηθεί αυτό, πρέπει να δέχθηκαν διαφορετικές ωθήσεις από τη ράβδο, πράγμα που σημαίνει ότι η μέση δύναμη που δέχτηκε και άσκησε στη ράβδο η πιο απομακρυσμένη, είναι μικρότερη.
Κι αυτό σημαίνει ότι η παραμόρφωση είναι διαφορετική, άρα και το χρονικό διάστημα αλληλεπίδρασης!
άρα, από τη Γεωμετρία, καταλαβαίνουμε ότι η πιο κοντινή στο μέσο σφαίρα, είχε μεγαλύτερη ελαστική παραμόρφωση. Κάτι που το επεσήμανα.
κι όλα αυτά, στον ιδανικό κόσμο των ιδανικών στερεών!!
Καλημέρα και καλό μήνα σε όλους.
Γιάννη και Πρόδρομε, βλέπω να συνεχίσατε τις απαντήσεις… οπότε ας προσθέσω κάτι στα παραπάνω.
Γιάννη το τελευταίο σχόλιο, ξεκινάς με την υπόθεση για δυο ίσου μέτρου ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση. Αυτό δεν είναι σωστή υπόθεση και αν την κάνεις, τότε έχεις βάλει δύο έστω (συν τη μηδενική τελική ταχύτητα του κ.μ.) οπότε το άτοπο δεν ξέρεις που να το αποδώσεις.
Θα συμφωνήσω στη λογική του αόριστου προβλήματος που βάζει ο Πρόδρομος. Ας το εξηγήσω:
Δεν έχουμε μια κρούση παιδιά, έχουμε δύο ταυτόχρονες. Ας πάμε στα υλικά σημεία και σε ταυτόχρονη ελαστική σύγκρουση τριών σφαιρών ίσης ακτίνας και διαφορετικών μαζών (το σχήμα σε κάτοψη):
Ποιες οι ταχύτητες των τριών σφαιρών μετά την κρούση; Δεν υπάρχει λύση. Έχουμε δύο εξισώσεις (ΔΚΕ, ΑΔΟ) και τρεις αγνώστους, τις τελικές ταχύτητες.
Πρόδρομε επίλυση με μελέτη του κέντρου μάζας, δεν βάζει νέα εξίσωση στην επίλυση. Οδηγεί στην ΑΔΟ, δεν είναι ανεξάρτητη εξίσωση.
Νομίζω ότι και στην περίπτωση της κρούσης της ράβδου Γιάννη, είναι ακριβώς το ίδιο πρόβλημα. Έχουμε δύο κρούσεις και 4! αγνώστους. Τις τελικές ταχύτητες και την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Εργαλεία τα δύο παραπάνω ΔΚΕ,ΑΔΟ συν ΑΔΣ. Μας λείπει μία εξίσωση, δεν μπορεί να επιλυθεί…
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση δεν ξέρω ακόμα αν είναι αόριστο το πρόβλημα.
Η υπόθεση ότι μετά την κρούση είναι ίδιες οι ταχύτητες δεν είναι υπόθεση αλλά συνέπεια.
Δηλαδή υποθέτουμε ότι η ράβδος έχει μηδενική ταχύτητα μετά την κρούση και σαν συνέπεια έρχεται το ότι οι ταχύτητες είναι ίδιου μέτρου.
Έπειτα καταλήγουμε σε άτοπο.
Καλημέρα Γιάννη.
Σύμφωνοι για την διατύπωση, της υπόθεσης για ακίνητη ράβδο (δεν μου ήταν σαφές τι εννοούσες).
Οπότε ας δούμε μια περίπτωση που δεν οδηγεί σε άτοπο.
Αν οι δύο σφαίρες κτυπήσουν σε σημεία συμμετρικά ως προς το κέντρο μάζας… Τότε οι σφαίρες θα φύγουν με αντίθετες ταχύτητες ενώ η ράβδος θα περιστραφεί με ακίνητο το κέντρο μάζας της…
Μια απόδειξη ολίγον προβληματική.
Ώθηση σε ράβδο.
Γενικεύεται και για την περίπτωση της ανελαστικής κρούσης αν τα ποσοστά απωλειών ενέργειας είναι ίδια και για τα δύο μπαλάκια.
Διονύση συμφωνώ.
Αν δεις την πρόσφατη απόδειξη που έστειλα πριν λίγο θα δεις ότι οι δυνάμεις στο σχήμα σου ισαπέχουν και είναι ίσες, δηλαδή ζεύγος.
Η απόδειξη εκμεταλλεύεται την ιδέα που έριξες χθες.
Σε κάθε άλλη περίπτωση θα κινηθεί με την φορά της ταχύτητας του πιο κοντινού στο Κ, διότι αυτό θα ασκεί μεγαλύτερη δύναμη.
Δες την (κάπως αυθαίρετη) απόδειξη.
Γιάννη, μου φαίνεται καλή η απόδειξή σου. Καταλήγει σε κάτι, που νομίζω ποιοτικά εύκολα προσεγγίζεται.
Όταν παραπάνω έγραφα ότι "Μας λείπει μία εξίσωση, δεν μπορεί να επιλυθεί" εννοούσα επίλυση που να προσδιορίζονται οι τιμές των αγνώστων, στην περίπτωση των δύο ταυτόχρονων κρούσεων.
Αρχίζω να πιστεύω πως υπάρχει απροσδιοριστία, όμως δεν είμαι σίγουρος ακόμα.
Η αυθαιρεσία της απόδειξης βρίσκεται στο ότι επικαλείται πως ότι συμβαίνει όταν πέφτουν ξεχωριστά (μεγάλη δύναμη στο κοντινό) συμβαίνει και όταν πέφτουν μαζί. Δηλαδή δεν είναι αυστηρή απόδειξη.
Γιάννη και Διονύση καλημέρα.
Γιάννη με την ωραία λύση που έκανες στην περίπτωση που έχεις τη ράβδο και ένα σώμα, και ελαστική κρούση, βγαίνει το συμπέρασμα ότι, όσο πιο μακριά από το μέσο της ράβδου, τόσο μικρότερη δύναμη αλληλεπίδραση ς.
Όμως στην περίπτωση που έχεις τη ράβδο και δύο σφαίρες να τη χτυπούν ταυτόχρονα, το πρόβλημα γίνεται αόριστο, αν κάνεις χρήση των βασικών αρχών: Α.Δ.Ο., α.δ.κιν.ενέργ., Α.Δ.Στροφ.
Νομίζω ότι το πρόβλημα που έθεσες αρχικά, λύνεται αν βάλουμε και Γεωμετρία μέσω των ελαστικών παραμορφώσεων και των χρόνων επαφής της κάθε σφαίρας με τη ράβδο.
Υπάρχει ένα κοινό χρονικό διάστημα που επιδρούν ταυτόχρονα, αλλά η μιά παραμένει σε επαφή λίγο παραπάνω, άρα ασκεί και περισσότερη ώθηση.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Μοιάζει να έχεις δίκιο. Εκτός αν οι ωθήσεις μπορεί να ασκηθούν ταυτόχρονα ή και διαδοχικά.