1. Σε ένα κουτί βρίσκονται τρεις αντιστάτες σε κύκλωμα αστέρα, δηλαδή έχουν κοινό τον ένα ακροδέκτη ενώ ο άλλος βγαίνει έξω από το κουτί. Έστω 14 Ω η αντίσταση που μετράμε ανάμεσα από τους ακροδέκτες α και β, 18 Ω η αντίσταση που μετράμε ανάμεσα από τους ακροδέκτες β και γ και 15 Ω η αντίσταση που μετράμε ανάμεσα από τους ακροδέκτες γ και α. Ποιές είναι οι τιμές των αντιστάσεων;
2. Σε ένα κουτί βρίσκονται τρεις αντιστάτες σε κύκλωμα τριγώνου, δηλαδή βρίσκονται στις πλευρές ενός τριγώνου και τρεις ακροδέκτες α, β και γ συνδέονται στις κορυφές του τριγώνου και βγαίνουν έξω από το κουτί. Έστω 14 Ω η αντίσταση που μετράμε ανάμεσα από τους ακροδέκτες α και β, 18 Ω η αντίσταση που μετράμε ανάμεσα από τους ακροδέκτες β και γ και 15 Ω η αντίσταση που μετράμε ανάμεσα από τους ακροδέκτες γ και α. Ποιές είναι οι τιμές των αντιστάσεων;
Δίνω τα προβλήματα αυτά για να ασχοληθούν μαθητές και μη μαθητές στη διάρκεια του Σαββατοκύριακου. Αν δεν λυθούν μέσα στο Σαββατοκύριακο, θα δοθεί λύση τη Δευτέρα.
Μια λύση:
Γιάννη, είναι κι αυτό μια λύση στη λογική του 'για κάθε κύκλωμα τριγώνου υπάρχει το αντίστοιχο κύκλωμα αστέρα'.
Αυτό που παραδέχομαι σε σένα είναι ότι βρίσκεις πάντα τεχνάσματα από τα οποία προκύπτει η λύση με τα ελάχιστα μαθηματικά. Η άλλη κατηγορία ανθρώπων είναι αυτή που αναλαμβάνουν να λύσουν το μαθηματικό πρόβλημα που τους δίνεται αλλά βρίσκουν την κατάλληλη μαθηματική τεχνική με την οποία το πρόβλημα λύνεται με τον ελάχιστο κόπο. Υπάρχει και μια τρίτη κατηγορία: είναι αυτοί που κάθονται και κάνουν 40 σελίδες σκληρά μαθηματικά κι ας λύνεται το πρόβλημα σε δυο σελίδες.
Κάνοντας το σχήμα και γράφοντας τις εξισώσεις παίρνοντας δυο γραμμές για κάθε εξίσωση, όπως συνηθίζω, χρειάστηκα 3 σελίδες word. Μπορείς εσύ να λύσεις το μη γραμμικό σύστημα των τριών εξισώσεων ως προς x, y, z;
Γεια σου Νίκο.
Το έλυσα προς το παρόν (το μη γραμμικό σύστημα) με την δευτεροβάθμια ως προς λ. Έχει μόνο μία λύση.
Εννοείς μάλλον πως θα το μετατρέψουμε σε πρωτοβάθμιο σύστημα με κάποια αντιστοίχηση.
Ας πούμε του τύπου: Ζ=(1/x) + (1/y) ή του τύπου Ω= x.y/(x+y).
Δεν δοκίμασα κάτι τέτοιο.
Θα δεχθώ βέβαια ότι η τελευταία λύση μου προϋποθέτει την γνώση ότι τα δύο κυκλώματα είναι ισοδύναμα.
Γνώση που έχουν μόνο οι μαθητές που διδάχτηκαν Ηλεκτρολογία.
Περιμένω τη λύση σου. Ο έτερος Νίκος επίσης έχει μια λύση με (μάλλον) πολλές πράξεις.
Πρέπει, Γιάννη, να καταλήξεις σε τύπους για τις αντιστάσεις. Οι τύποι να είναι όσο πιο απλοί γίνεται και, το κυριότερο, να υπάρχει συμμετρία. Δηλαδή, δίνοντας τον τύπο για τη μια από τις τρεις αντιστάσεις, να καταλαβαίνει ο άλλος αμέσως ποιοι πρέπει να είναι οι τύποι για τις άλλες δυο. Με τον τρόπο που πήγες να λύσεις το πρόβλημα, χάλασες τη συμμετρία.
Επί πλέον, απέρριψες τη μια λύση της εξίσωσης με το επιχείρημα ότι είναι αρνητική. Χρησιμοποίησες δηλαδή την πληροφορία ότι η αντίσταση είναι θετική ποσότητα. Εν τούτοις το σύστημα των τριών εξισώσεων μπορεί να λυθεί χωρίς τη χρήση αυτής της πληροφορίας. Τι θα έκανες αν είχες το ίδιο σύστημα εξισώσεων για κάποιες άλλες ποσότητες που θα μπορούσαν να είναι και αρνητικές;
Δεν απαιτείται τίποτα άλλο από έξυπνη χρήση απλών μαθηματικών.
Ενημέρωση προς τους αναγνώστες της 'στήλης':
Το δεύτερο πρόβλημα καταλήγει σε σύστημα τριών μη γραμμικών εξισώσεων. Τα μαθηματικά του είναι απλά και, κατά τη γνώμη μου τουλάχιστον, πολύ ενδιαφέροντα. Υπάρχει μια τέλεια συμμετρία στη λύση.
Θα δώσω λοιπόν λίγο χρόνο σε όσους αναζητούν τη λύση και δε θα δημοσιεύσω τις δύο λύσεις που έχουν ήδη προκύψει πριν τις 18:00, 25/5. Ναι, βρήκα και δεύτερη λύση, απλούστερη της πρώτης.
Για την ώρα οι Γιάννης Κυριακόπουλος και Νίκος Κεχαγιάς έχουν δημοσιεύσει λύσεις. Από το Νίκο περιμένω την πλήρη ανάλυση της λύσης του. Από τον Γιάννη να μου δώσει τελικές εξισώσεις.
Καλησπέρα
Η λύση μου
Ωραία λύση Νίκο.
Νίκο δεν έχω εξισώσεις. Λύση αριθμητική έχω που ταυτίζεται με τις λύσεις που δίνει ο μετασχηματισμός αστέρα – τριγώνου.
Ευχαριστώ Νίκο. Θα τη μελετήσω και θα διατυπώσω τις παρατηρήσεις μου.
Δεκτή κι αυτή Γιάννη. Τουλάχιστον αναδεικνύεται η αξία του μετασχηματισμού αστέρα-τριγώνου. Τα μαθηματικά που χρειάζονται για τη λύση του προβλήματος που έδωσα είναι παρόμοια με αυτά που χρειάζονται για το μετασχηματισμό αστέρα-τριγώνου.
Καλημέρα Νίκο.
Συμφωνώ με τη διαπραγματευσή σου σε όλα μέχρι την (6), εκτός από την αντικατάσταση αριθμητικών τιμών. Μετά την (6) δεν συμφωνώ με την πορεία που ακολουθείς. Προσπαθείς να παρακάμψεις τον υπολογισμό του Ζ.
Στη δική μου διαπραγματεύση, συγκεκριμένα στη δεύτερη μέθοδο επίλυσης, φτάνω και γω στην ποσότητα Ζ (την ονομάζω λ) αλλά την υπολογίζω.
Καλησπέρα.
Γιάννη, ευχαριστώ για το σχόλιο.
Νίκο, για την αντικατάσταση των τιμών εσυ φταις . Ας μην έδινες τιμές… Γενικά είμαι της λογικής ότι ο συντομότερος δρόμος είναι και ο καλύτερος. Ο Μάργαρης φταίει… για να παω Ομόνοια – Σύνταγμα δεν θα παρω αεροπλάνο..
Εντάξει Νίκο, εγώ φταίω! Έδωσα κάποιες συγκεκριμένες τιμές, τις χρησιμοποίησες, και έβγαλες ένα συγκεκριμένο τύπο. Και υποθέτω ότι ισχυρίζεσαι ότι, αν έδινα άλλες τιμές, πάλι στον ίδιο τύπο θα κατέληγες. Αλλά τότε θα κατέληγες στον ίδιο τύπο ακόμα κι αν, αντί για συγκεκριμένες τιμές, έβαζες γενικές τιμές, πχ α, β, γ.
Παρόλα αυτά σου πιστώνω ότι βρήκες τους σωστούς τύπους. Αντίθετα ο Γιάννης, έκανε μεν κάποια ανάλυση, αλλά δεν κατέληξε σε τύπους.
Δεν μπορώ να κρύψω την απογοήτευσή μου από το γεγονός ότι, μέχρι τώρα, η σελίδα είχε 1089 επισκέψεις, αλλά μόνο δυο ασχολήθηκαν με το πρόβλημα.
Αν κάποιος ασχολείται με το πρόβλημα τώρα και είναι κοντά στη λύση, θα τον περιμένω. Αλλιώς θα ανεβάσω τη λύση στις 18:45.
Αναλαμβάνω την ευθύνη Νίκο (Κεχ)!!!
Αναγνώστες της 'στήλης',
Οι λύσεις των προβλημάτων εδώ.
Έξυπνος μετασχηματισμός!