by 
Η ομογενής δοκός ΑΒ μάζας Μ, μπορεί να στρέφεται γύρω από άρθρωση στο άκρο της Α και ισορροπεί οριζόντια, όταν στο άκρο της Β κρέμεται μέσω ελατηρίου ένα σώμα Σ, μάζας m, ενώ συγκρατείται μέσω νήματος, το οποίο έχουμε δέσει στο σημείο Ρ, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή θέτουμε το Σ σε κατακόρυφη ταλάντωση με πλάτος Α=2mg/k.
i) Θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, η αλγεβρική τιμή της δύναμης του ελατηρίου η οποία ασκείται στο σώμα Σ, σε συνάρτηση της απομάκρυνσης y, δίνεται από την σχέση:
α) Fελ=-mg+ky, β) Fελ=mg-ky, γ) Fελ=-mg-ky
ii) Αν κατά την παραπάνω ταλάντωση οριακά εξασφαλίζεται η ισορροπία της ράβδου, χωρίς να λυγίζει το νήμα, τότε για τις μάζες Μ και m ισχύει:
α) Μ=m, β) Μ=2m, γ) Μ=3m, δ) Μ=4m.
ή
Η αλγεβρική τιμή και το μέτρο της δύναμης
Η αλγεβρική τιμή και το μέτρο της δύναμης
Αφιερωμένη στον Ξενοφώντα Στεργιάδη, αφού μια συζήτηση για πιθανά λάθη μαθητών, την προκάλεσαν…
Καλησπέρα Διονύση. Ίσως θα πρέπει να τονιστεί ότι g είναι το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας και όχι η αλγεβρική της τιμή. Προσωπικά θα προτιμούσα συνολική χρήση αλγεβρικών τιμών με την προϋπόθεση ότι το σχολικό βιβλίο θα την είχε υιοθετήσει (για παράδειγμα αφού επελέγη θετική η προς τα πάνω φορά θα είναι g<0). Εδώ κατάλαβα ότι g είναι το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας όταν πρόσεξα ότι δίνεται το πλάτος Α=2mg/k. Πριν από αυτό είχα σκεφτεί ότι σωστή απάντηση είναι η (γ). Λάθος μου φυσικά!
Καλησπέρα ,Διονύση ευχαριστώ για την αφιέρωση και τη διάθεση του χρόνου καθώς εγώ δεν τον έχω.Όντως με την ανάρτηση θέτεις ένα θέμα που αποτελεί ένα από τα συνηθέστερα θέματα συζήτησης με τους υποψηφίους που εννοείται ότι προετοιμάζονται σοβαρά για τις εξετάσεις.
Η αλλαγή της φοράς της δύναμης του ελατηρίου συντελείται όταν το ελατήριο περνάει από κατάσταση επιμήκυνσης σε κατάσταση συσπείρωσης και αντίστροφα.Η αλγεβρική έκφραση της Fελ "αναλαμβάνει" να το δείχνει αυτό με την αλλαγή του προσήμου της. Όμως αυτό που είναι απαραίτητο να συμβαίνει όταν εφαρμόζουμε τη συνθήκη Στ=0, είναι η εναρμόνιση της φυσικής πραγματικότητας ( η δύναμη του ελατηρίου στη δοκό είναι π.χ προς τα πάνω) με το πρόσημο που απαιτεί για τη ροπή της η αυθαίρετη θετική φορά που ορίζουμε για τον υπολογισμό των ροπών.Στο ερώτημα ii για παράδειγμα,η δύναμη F'ελ έχει κατεύθυνση προς τα πάνω τη χρονική στιγμή στην οποία αναφέρεσαι και σύμφωνα με τη θετική φορά που επέλεξες η ροπής θεωρήθηκε θετική.Αν είχε θεωρηθεί ως θετική φορά για τον υπολογισμό των ροπών η αντίθετη (ωρολογιακή) η ροπή της F'ελ θα "χρεωνόταν "ως αρνητική παρόλο που η δύναμη έχει κατά σύμβαση θετική αλγεβρική τιμή.
Η συνήθης απορία είναι "τι πρόσημο να θέσω στην F'ελ , αφού αυτή αλλάζει διαρκώς κατεύθυνση".Εδώ η απάντηση μπορεί να είναι :
ή σέβομαι τη φυσική πραγματικότητα ( η δύναμη προς τα πάνω) και υπολογίζω τη ροπή της με βάση τη θετική φορά που έχω ορίσει χρησιμοποιώντας το μέτρο της δύναμης, κάτι που συμφέρει , όταν εφαρμόζω τη συνθήκη Στ=0 για συγκεκριμένη θέση του σώματος που ταλαντώνεται ή συγκεκριμένη χρονική στιγμή,
ή αν θέλω να υπολογίσω την έκφραση μιας άλλης δύναμης ή γενικά μιας άλλης παραμέτρου σε συνάρτηση με το χρόνο , σέβομαι πάλι τη φυσική πραγματικότητα της στιγμής t=0 όσον αφορά το πρόσημο της ροπής της F'ελ και "εμπιστεύομαι" την αλγεβρική έκφραση της F'ελ αφού στις "μελλοντικές" χρονικές στιγμές αυτή "ξέρει να κάνει τη δουλειά της" ,δηλαδή με την αλλαγή της αλγεβρικής τιμής να αλλάζει και το πρόσημο της ροπής της .
και πάλι ευχαριστώ για την ανταπόκριση, ελπίζω να βοηθήσαμε.
Καλησπέρα Σταύρο.
Χαίρομαι που βλέπω παρέμβασή σου, μετά από καιρό και σε ευχαριστώ γ΄αυτήν.
Η αλήθεια είναι ότι η συγκεκριμένη ανάρτηση είναι "ειδικού σκοπού" θέλοντας να επισημάνει κάποιο σημείο στους υποψηφίους. Άρα είναι κοντά στην λογική που έχουν μάθει να δουλεύουν…
Έτσι μπορεί κάποιος να διατυπώσει αντιρρήσεις για τον τρόπο χρήσης των αλγεβρικών τιμών, αλλά ο στόχος ήταν το ξεκαθάρισμα και όχι το επιπλέον μπλέξιμο.
Όσον αφορά την επιτάχυνση της βαρύτητας, νομίζω ότι πάντα δίνεται ως g ή σαν g=10m/s^2. Οι προσανατολισμοί και οι θετικές ή αρνητικές τιμές, έρχονται μετά και κυρίως ορίζονται αυθαίρετα από αυτό που επεξεργάζεται το πρόβλημα.
Για παράδειγμα, ας δούμε μια παλιότερη ανάρτηση του 2008!
Κατακόρυφη βολή προς τα πάνω.
Παίρνουμε την επιτάχυνση α=-g όπου ουσιαστικά το σύμβολο g δίνει απλά το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας.
Και μια νεώτερη:
Θετικά και αρνητικά στην κατακόρυφη βολή.
Μπορεί να μην παρεμβαίνω αλλά παρακολουθώ καθημερινά και σας χαίρομαι όλους τους τακτικούς πάρα πολύ! Καμιά φορά σκέφτομαι πως εσύ και ο Γιάννης (Κυριακόπουλος) είστε κάποιο είδος προχωρημένης τεχνητής νοημοσύνης με τις τόσο άμεσες και συνεχείς παρεμβάσεις σας! Πέρα από το χιούμορ πραγματικά σας θαυμάζω και όσον αφορά τη δική σου τροφοδότηση πραγματικά σκέφτομαι ότι είσαι ο τρίτος μεγάλος δάσκαλος που είχα τη χαρά να γνωρίσω στη ζωή μου μετά τον Στέφανο Τραχανά και τον Πλάτωνα Ριβέλη.
Κατά τα άλλα είναι μία από τις μεγάλες απορίες που έχω όσον αφορά τα δεδομένα στις ασκήσεις (προβλήματα) των εξετάσεων: Γιατί δεν αναφέρεται ότι το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι 10m/s2 ; Είναι "παρακατιανό" διάνυσμα;
Χαιρετω !
Διονυση ειναι ενα θεμα το οποιο πολλες φορες συναντάμε σε ασκησεις αυτης της μορφης .
Σιγουρα υπαρχει "ενα μπερδεμα" οταν το ελατηριο κατα την διαρκεια της ΑΑΤ βρεθει σε κατασταση συμπιεσης .
Το παρακατω ειναι απο μια αναλυση μου πανω στο θεμα οπου στην περιπτωση (i) το ελατηριο ειναι σε επιμήκυνση και στην περιπτωση (ii) ειναι σε συμπίεση . Η γωνια φ = 30 μοιρες . Σκοπος στην ασκηση αυτη ηταν να εκφραστει η ταση του νηματος Τ συναρτήσει της απομακρυνσης y . Στο τελος ειχα κανει και μια αποδειξη με τον ρυθμο μεταβολης της Στροφορμης του Συστηματος ως προς το σημειο εξαρτησης (Α) της ραβδου , βλεπεις τοτε ειχαμε παει στην Στροφορμη ….
Εκτιμω οτι ειναι καλο να διαχωρισει καποιος αυτες τις δυο καταστασεις για να γινει πιο κατανοητο το ολο θεμα .
Διονύση μπράβο σου, ωραία ανάρτηση, επίκαιρη και επικίνδυνη!
Είχω κάνει κι εγώ παλιότερα ανάλογη άσκηση, όπου η δύναμη του ελατηρίου ωθεί τη δοκό αριστερόστροφα για κάποιο χρονικό διάστημα που το ελατήριο είναι συσπειρωμένο. Είχα βάλει την αλγεβρική της τιμή, αλλά με θετική φορά προς τα αριστερά.
Νομίζω ότι η αλγεβρική τιμή της δύναμης του ελατηρίου ''συμφέρει'' και στην περίπτωση που το νήμα ξετεντώνει σε κάποια φάση της ταλάντωσης, και ζητάμε τη χρονική στιγμή.
Αν ζητάμε το μέγιστο πλάτος ώστε να μη ξετεντώνει, μπορούμε να πάρουμε το μέτρο της, αφού ξέρουμε τη φορά της, και να βρούμε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος για μη ανατροπή.
Οπωσδήποτε θέλει προσοχή ο χειρισμός ενός τέτοιου θέματος, και μπράβο σου που το ανέδειξες!
Καλησπέρα Διονύση
Πολύ καλό και πολύ επίκαιρο.
Γεια σου Διονύση, βλέπω μελετάς και εσύ ξανά το μοντέλο που διεκδικεί τον τίτλο του δημοφιλέστερου θέματος προς εξέταση στα επαναληπτικά διαγωνίσματα,
μαζί με διάφορες παραλλαγές του Θέματος Δ των επαναληπτικών του 2011…
Ελατήριο στο άκρο ράβδου…σε διάφορες θέσεις αυτής …..π.χ: πλάγιας να ακουμπά σε κόχη τοίχου και σε λείο δάπεδο
…….βλέπεις το επτάωρο που αυτή την περίοδο γίνεται…. δεκάωρο και η καθημερινή επαφή με τους μαθητές έδωσε τη δυνατότητα ανάπτυξης δικτύου…… «αντικατασκοπείας»…
Να δηλώσω απόλυτα σύμφωνος με το πνεύμα του σχολίου, να στείλω χαιρετίσματα στο Σταύρο στη Ρόδο….και να ευχηθώ η έναρξη της τουριστικής σεζόν να μην κρύβει δυσάρεστες εκπλήξεις…ειδικά εκεί…
Διονύση καλησπέρα.
Καλά κάνεις και το αναδεικνύεις. Είναι λεπτού χειρισμού θέμα όσον αφορά όταν πρέπει να πάμε στη δοκό και θέλουμε να βρούμε αλγεβρική έκφραση. Και ενώ είναι φορμαλιστικό όταν το σώμα κάνει ταλάντωση στις ροπές έχουμε θέμα. Είχα εκφρασει τους φόβους μου και στο σχόλιο Εδώ στο διαγώνισμα του Προδρόμου.
Σε ενδεχόμενο ερώτημα θα προτιμούσα την αντιμετώπιση που δίνει ο Διονύσης διερευνώντας την οριακή περίπτωση πρώτα και κατόπιν την ισορροπία της ράβδου.
Καλησπέρα. Αλγεβρική τιμή -μέτρο. Ένα θέμα που ταλαιπωρεί τους μαθητές.
Από την όποια εμπειρία έχω αποκτήσει για το πως περνάνε τέτοια θέματα στους μαθητές έχω καταλήξει στα παρακάτω.
Η επιμήκυνση ή η συσπείρωση του ελατηρίου ψ είναι ένα διάνυσμα με αρχή το φμ και τέλος το σώμα.
Η απομάκρυνση χ είναι διάνυσμα με φορά από τη θέση ισορροπίας προς το σώμα το οποίο το βλέπω σε μια τυχαία θετική θέση διαφορετικά θα έχω μπλεξίματα με το χ
Σημειώνω τις δυνάμεις στο σώμα σε αυτή τη θέση και γράφω τον 2νόμο για m
Fελ + mg = -mωωχ διανυσματικά. Βγάζω τα διανύσματα βάζοντας + ή – ανάλογα με τη φορά τους.
Αυτό που βρίσκω για Fελ το ονομάζω μέτρο. Τώρα αν η Fel όπως την έχω σημειώσει έχει την την θετική φορά τότε ταυτίζεται με αυτό που λέμε αλγεβρική τιμή. Αν η Fελ έχει αντίθετη φορά τότε αλλάζουμε τα πρόσημα και βρίσκουμε αλγεβρική τιμή.
Στη δοκό τώρα. Έχω σημειώσει την Fel προς τα κάτω αφού στο σώμα την σημείωσα προς τα πάνω. Παίρνω ροπές ως προς άρθρωση βλέποντας και τη ροπή του βάρους και την ροπή της Fελ θετικές. Όπου Fελ βάζω το μέτρο της.
Καλησπέρα Διονύση…
Μετά από πάρα πολύ καιρό και μια παρέμβαση από την πλευρά μου… Ο χρόνος ελάχιστος αυτή την περίοδο…
Συμφωνώ απόλυτα με το Θοδωρή… Με διαφορά το δημοφιλέστερο ερώτημα των διαγωνισμάτων που κυκλοφορούν…
Καλά κάνεις και το αναδεικνύεις… Αλήθεια μια ερώτηση… Πώς θα έφτιαχνες αλγεβρική σχέση για την τάση του νήματος που ασκείται στη δοκό;
Έριξα άπειρες μάχες φέτος για το ερώτημα αυτό… θα χαρώ να ακούσω και τη δικιά σου άποψη.
Καλημέρα και καλή Κυριακή σε όλους.
Κώστα, Πρόδρομε, Μανώλη, Θοδωρή, Χρήστο, Γιώργο, Νεκτάριε σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Θοδωρή το θέμα δεν το έβαλα επειδή έχει σουξέ φέτος!!! Ξέρεις ότι "δεν παίζω" ποτέ στη λογική του sos!!!
Το έβαλα μετά από μια συζήτηση με τον Ξενοφώντα, χωρίς να νομίζω ότι θα είχε τόση ανταπόκριση…
Μάλλον θα πρέπει να παρακολουθώ περισσότερο την …επικαιρότητα για να είμαι επίκαιρος!!!
Ας ξεκαθαρίσω τώρα κάτι επί της ουσίας.
Έδωσα παραπάνω μια αποδεικτική πορεία. που θεωρώ ότι περνάει στους μαθητές, ξεμπλοκάροντας κάποιους και χωρίς να τους οδηγεί σε σφάλματα. Δεν είναι μονοδρομος, ούτε σκόπευα να ακυρώσω άλλες διδακτικές πορείες.
Αν κάποιος άλλος έχει ακολουθήσει άλλη αποδεικτική πορεία και έχει καλά αποτελέσματα στους μαθητές του, προφανώς δεν θα πρέπει να την αλλάξει και να μπερδέψει τους μαθητές, του, μέρες που είναι…
Έτσι δίνω και μια ακόμη αποδεικτική πορεία που μου έστειλε η Μάγδα στο email μου.
Νεκτάριε, δεν ξέχασα το ερώτημά σου, απλά είναι κάτι αυτόνομο που καλό είναι να ακουστεί.
Τι σημαίνει ότι δουλεύουμε χρησιμοποιώντας αλγεβρικές τιμές δυνάμεων στην ταλάντωση;
Σημαίνει ότι παίρνουμε έναν προσανατολισμένο άξονα ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου και με βάση αυτόν τον άξονα οι ασκούμενες δυνάμεις αποκτούν αλγεβρικές τιμές.
Η τάση του νήματος, βρίσκεται πάνω στον άξονα αυτό; Προφανώς όχι!
Άρα δεν μπορούμε να αναφερόμαστε ταυτόχρονα με τις δυνάμεις στο σώμα Σ, στην αλγεβρική τιμή της δύναμης αυτής, εκτός και αν ορίσουμε (και το πούμε…) έναν νέο προσανατολισμένο άξονα και με βάση αυτόν, μιλήσουμε για την αλγεβρική τιμή της τάσης.
Αλλά ας δούμε κάτι ακόμη, όσον αφορά την ισορροπία της ράβδου. Χρησιμοποιούμε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών. Προσοχή όμως των ροπών, όχι των δυνάμεων!!! Οι ροπές όλων των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο (ας πάρουμε ως προς το Α) είναι πάνω σε άξονα ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος και περνά από το Α. Άρα μπορούμε να προσανατολίσουμε τον άξονα αυτόν και να μιλήσουμε για την αλγεβρική τιμή της ροπής π.χ. του βάρους!
Και αυτό κάνουμε!
Αλλά στην δουλειά αυτή "δεν παίζει" πουθενά η αλγεβρική τιμή της δύναμης, π.χ. της τάσης του νήματος, αφού όταν πάμε να υπολογίσουμε ροπή και γράφουμε τ=Fd, απλά βρίσκουμε το μέτρο της ροπής, χρησιμοποιώντας το μέτρο της δύναμης και την απόσταση!
Αν θέλαμε διανύσματα θα χρησιμοποιούσαμε εξωτερικό γινόμενο ή πίνακα…
Καλημέρα Διονύση και καλή Κυριακή.
Επανέρχομαι γιατί νομίζω ότι δεν διατύπωσα σωστά το ερώτημα… Αυτό που ήθελα να ρωτήσω αλλά το διατύπωσα μάλλον κακώς είναι πώς θα έφτιαχνες τη σχέση που δίνει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας για το σώμα που κάνει ταλάντωση.