by 
Ένα σώμα Σ1, μάζας m1 = 1 kg, μπορεί να κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το Σ1 είναι δεμένο σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k1 = 100 N/m, με το αριστερό άκρο του να είναι στερεωμένο σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχο. Σε απόσταση d1 από τη θέση ισορροπίας του Σ1 και δεξιά αυτής, βρίσκεται ένα ακίνητο σώμα Σ2, μάζας m2, το οποίο μπορεί να κινείται και αυτό στο ίδιο επίπεδο χωρίς τριβές. Δεξιά του σώματος Σ2 και σε απόσταση d2 βρίσκεται το ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k2 που έχει το δεξιό του άκρο στερεωμένο σε σώμα Σ3, μάζας m3. Το Σ3 παρουσιάζει τριβή με το οριζόντιο δάπεδο.
Ασκώντας στο σώμα Σ1 κατάλληλη δύναμη συμπιέζουμε το ελατήριο σταθεράς k1 κατά d και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Μετά από χρονικό διάστημα Δt1 = π/15 s από τη στιγμή που ελευθερώσαμε το σώμα Σ1, αυτό συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ2, με αποτέλεσμα το Σ1 αμέσως μετά την κρούση να αρχίσει μία νέα ταλάντωση με μηδενική ταχύτητα. Το σώμα Σ2 μετά την ελαστική κρούση και αφού διανύσει διάστημα d2, προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k2. Η στατική τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ δαπέδου και σώματος Σ3 το κρατά ακίνητο και το μέτρο της μεγιστοποιείται για πρώτη φορά αφού περάσει χρονικό διάστημα Δt2 = π/40 s μετά την εμφάνισή της. Η γραφική παράσταση της στατικής τριβής φαίνεται στο σχήμα.
Δ1. Να βρείτε τη μάζα του σώματος Σ2 καθώς και το μέτρο της μέγιστης δύναμη που ασκεί το ελατήριο σταθεράς k2 κατά την συμπίεσή του.
Δ2. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου σταθεράς k2.
Δ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ1 του σώματος Σ1 ελάχιστα πριν την κρούση με το Σ2.
Δ4. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης του σώματος Σ1 μετά την κρούση του με το Σ2, θεωρώντας ως t′ = 0 την στιγμή έναρξης της νέας ταλάντωσης.
Δ5. Να υπολογίστε την απόσταση d2 ώστε τα σώματα να ξανασυγκρουσθούν στη θέση ισορροπίας του Σ1 , όταν αυτό διέρχεται από αυτήν για 2η φορά μετά το χάσιμο της επαφής.
Το διαγώνισμα εδώ και οι λύσεις εδώ.
Το φετινό διαγώνισμα για τα ΨΕΒ που εκπονήσαμε εγώ και ο Πρόδρομος.
Τα θέματα διαφέρουν λίγο από την αρχική δομή που έτυχε να δουν κάποιοι φίλοι, αλλά έτσι είναι η διαδικασία.
Οι λύσεις προφανώς και υπάρχουν αλλά δεν μπορούν να δημοσιευθούν πριν από την επίσημη ανάρτησή τους στα ΨΕΒ.
Καλησπέρα Άντρεα,
από τη σχέση ω=(ω1-ω2)/2 θέτοντας ω=2πf και αντίστοιχα ω1=2πf1, ω2=2πf2 προκύπτει ότι f=(f1-f2) οπότε σωστό το α.
Ευχαριστώ για την απάντηση.
Όμως, με αντικατάσταση μου βγαινει f=(f1-f2)/2, γιατί ο κοινός παράγοντας 2π των f1, f2, με το 2π του 2πf απαλείφεται. Οπότε, το 2 του παρανομαστή μένει.
Καλή παρατήρηση που προκαλεί προβληματισμό. Μελετώντας το λίγο, θεωρώ πως όταν βλέπουμε για μηδενισμό πλάτους πάντα αναφερόμαστε σε περίοδο ή συχνότητα διακροτημάτων.
Αν δεις και από το σχολικό βιβλίο στο διάγραμμα, η περίοδος του διακροτήματος ειναι αναμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς. Αυτή η περίοδος σε σχέση με αυτό που αποκαλείς περίοδο μεταβολής του πλάτους είναι η μισή. Το καταλαβαίνεις από το σχήμα πως το πλάτος για να κάνει μια ολόκληρη επανάληψη θέλει διπλάσιο χρόνο. Οπότε η συχνότητα του διακροτήματος βγήκε η διπλάσια από το 4 που υπολόγισες. Δεν ξέρω κατά πόσο γίνομαι κατανοητός χωρίς σχήμα.
Σας ευχαριστώ.
Κοίταξα τώρα το διάγραμμα του σχολικού, αλλά δεν κατάλαβα ακριβώς τι εννοείτε.
Πάντως, η συχνότητα του διακροτηματος ειναι οντως 8Hz, από τον γνωστό τύπο, αλλά από ότι κατάλαβα αναφέρεται μόνο στον παράγοντα A’ [(f1-f2)/2], που διαφέρει από την έννοια του διακροτήματος
(|f1-f2|) και της τελικής ταλάντωσης [(f1+f2)/2]. Μόνο με την εις άτοπον επαγωγή μπορώ να βάλω το α αλλά και πάλι δεν το καταλαβαίνω…
Καλησπέρα Άντρεα. Ο παράγοντας Α’ = 2Ασυν (ω1 – ω2)t/2 έχει συχνότητα μεταβολής (f1-f2)/2. Όμως το ”πλάτος” ταλάντωσης είναι το απόλυτο του Α’ και ως εκ τούτου έχει διπλάσια συχνότητα μεταβολής δηλ. απόλυτο f1-f2. Σκέψου και τη διαφορά στη γραφική παράσταση μεταξύ του συνx και του απόλυτου συνx. H δεύτερη – λόγω απολύτου – έχει τη μισή περίοδο, άρα τη διπλάσια συχνότητα από την πρώτη.
Ααα ωραία! Ευχαριστώ! Σκεφτόμουν το Α’ όχι το |Α’|. Ναι το διάγραμμα του |Α’| δεν είναι συνημιτονοειδές. ‘Αρα, όταν αναφέρεται μόνο σε “πλάτος” εννοεί το |Α’|, ενώ αν αναφέρεται στο Α’ θα το διευκρινίζει ως “παράγοντας”;
Θα πρέπει η διατύπωση να είναι σαφής…
Ένα σχήμα από παρουσίαση:
Εικονίζονται οι τρεις περίοδοι.
Σας ευχαριστώ πολύ! Είναι αρκετά βοηθητικό το διάγραμμα!