by 
Η πράσινη πλάκα έχει περιφέρεια μήκους S.
Ο τροχός ανήκει στο ίδιο επίπεδο και κυλίεται στην περιφέρεια της πλάκας. Ολίσθηση δεν παρατηρείται ούτε απώλεια επαφής.
Ξέρουμε την ακτίνα r του τροχού.
Το κοριτσάκι βαδίζει έτσι ώστε να είναι συνεχώς δίπλα στον τροχό και είναι συνεχώς κάθετη στην περιφέρεια.
Κάνει μια γύρα.
Πόσες στροφές του τροχού μετρά το κοριτσάκι και πόσες ο ακίνητος νεαρός;
Ποιο είναι το μήκος της τροχιάς του κέντρου του τροχού;
Κι αυτό ως συνήθως, απλό και ευφυές!!!
Το “απλό” πάει στο γεγονός ότι ένα δύσκολο θέμα, το συνθέτεις με πολύ απλές και κατανοητές σκέψεις και σχέσεις, έτσι ώστε να το καταλαβαίνει ο καθένας μας.
Έχεις το χάρισμα Γιάννη, να είσαι πάντα καλά.
Καλημέρα Γιάννη.
Το γενίκευσες το θέμα ώστε άνευ “περιστροφών” να γίνει κατανοητό το κάποτε για κάποιους λόγους …δυσνόητο.
Και βρίσκοντας των αριθμό των περιστροφών για τον ακίνητο σε σχέση με το μήκος της τροχιάς του κέντρου δηλαδή το S΄ =S+2πr …S=S΄-2πr
Τότε Ν=((S΄-2πr)/2πr)+1 και τελικά Ν=S΄/2πr
Μια ερώτηση, μου επιτρέπεις Γιάννη … αν ο λύτης σχετικού προβλήματος απαντήσει άμεσα μέσω της τελικής Ν=S΄/2πr θα έχει δώσει πλήρη απάντηση ;
π.χ για το γνωστό κέρμα που κυλίεται στην περιφέρεια όμοιου ακίνητου κέρματος ακτίνας r, όταν επανέλθει στη θέση που ξεκίνησε θα έχει κάνει
Ν=2π 2r/2πr=2
Καλό Σαββατοκύριακο
Καλημέρα Γιάννη και καλό ΣΚ.
Οπότε πάμε από την αρχή;
6,75 στροφές ή 7 στροφές 🙂
Καλημερα Γιάννη ,καλημερα σε ολους. Διονύση μαλλον τα εχετε συζητησει αυτα αλλα η ερωτηση που θετεις ειναι ισοδυναμη με την ερωτηση: Aν ενα τουβλο γλιστρησει κατα μηκος ενος τεταρτοκυκλιου θα στραφει κατα π/2 η κατα μηδεν? H απαντηση ειναι τελειως προφανης για αυτο εχεις βαλει και γελαστη φατσουλα.
Γιάννη αν υπαρχουν σημεια της περιφερειας της πλακας oπου η περιφερεια στρεφει τα κοιλα προς τα εξω ( στο σχημα σου υπαρχουν τετοια σημεια) και ταυτοχρονα σε καποια τετοια σημεια η καμπυλοτητα ειναι μεγαλυτερη απο την καμτυλοτητα του κυλιομενου τροχου ή ισοδυναμα η ακτινα καμπυλοτητας στα εν λογω σημεια να ειναι μικροτερη απο την ακτινα του τροχου,τοτε η σχεση Νk=S/2πr παυει να ειναι σωστη.( γιατι?) Στο σχημα η ακτινα R του κυκλου ειναι ιση με την ακτινα καμπυλοτητας της καμπυλης C στο σημειο επαφης P.Αν η ακτινα καμπυλοτητας της καμπυλης στο P μικρυνει, τοτε γεωμετρικα διαφοροποιουνται τα πραγματα..
Γεια σας Πρόδρομε, Παντελή, Διονύση και Κωνσταντίνε.
Παντελή δεν είναι πλήρης (νομίζω) η απάντηση.
Διονύση εμμένουμε στο 6,75.
Κωνσταντίνε αυτό που λες είναι σωστό απόλυτα.
Το είχαμε συζητήσει τότε. Μπορούμε να δούμε αυτό που λες σε προσομοίωση του Ηλία Σιτσανλή “Κύλιση σφαίρας σε ημικύκλιο”
Βάλε μικρή ακτίνα ημικυκλίου και μεγάλη ακτίνα τροχού.
Βάλε 0,99 και 1. Θα δεις να κάνει τεταρτοκύκλιο χωρίς να στρέφεται.
Όμως ας προσέξουμε το δικό σου σχήμα:
Γράφεις Νκ και κατάλαβα ότι εννοείς τις στροφές που μετράει το κοριτσάκι, μια και είχα τον ίδιο συμβολισμό. Που πατάει όμως το κοριτσάκι;
Θα επιχειρήσω να βάλω το κοριτσάκι στο σχήμα σου.
Σε λίγα λεπτά…..
Δες την εικόνα Κωνσταντίνε:
Το κοριτσάκι έχει διαταχθεί να πατάει στο σημείο επαφής του τροχού και να είναι κάθετο στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής.
Ένα dt πριν έχουμε την αριστερή εικόνα.
Ένα dt μετά την δεξιά.
Εμείς βλέπουμε πρακτικά μηδενική στροφή του τροχού (δες και την προσομοίωση Σιτσανλή).
Το κοριτσάκι όμως στράφηκε απότομα κατά κάποια γωνία φ.
Βλέπει τον τροχό να στρέφεται ακαριαία κατά γωνία φ αλλά προς τα δεξιά.
Ο Παντελής είχε παρουσιάσει ιδέα με τέτοιες απότομες στροφές σε τεθλασμένη γραμμή.
Χρησιμοποιώ την δική σου εικόνα:
Δεν θα βρεθεί ακαριαία στο Ρ. Θα περάσει πρώτα από την προηγούμενη θέση βάσει του περιορισμού να έρθει σε επαφή με όλα τα σημεία.
Το κοριτσάκι βλέπει μια ακαριαία δεξιά στροφή του τροχού ενώ εμείς δεν βλέπουμε στροφή για τον τροχό, αλλά αριστερή για το κοριτσάκι.
Αλλαζοντας το μηκος του τμηματος της καμπυλης μεταξυ των σημειων Α ,Β, αλλαζουμε το συνολικο μηκος της S χωρις να αλλαζουμε τον συνολικο αριθμο στροφων αφου απο το σημειο Α η σφαιρα παταει κατευθειαν στο Β και παρακαμπτει το κομματι μεταξυ των σημειων Α,Β το οποιο μπορει να γινει οσο μεγαλο θελουμε ,το οποιο ομως προστιθεται στο S.O συνολικος αριθμος στροφων ομως μενει ανεπηρεαστος. Αρα δεν μπορει να ειναι S/2πr. Αυτο εννοω. Η μεγαλη καμπυλοτητα λειτουργει ως λακουβα, Η προσoμοιωση που λες δεν μπορει να το δειξει αυτο
Εντάξει όχι έτσι. Θα μπορούσαμε να παρουσιάσουμε ως εξαίρεση και μια οξεία γωνία.
Και άπειρες άλλες εξαιρέσεις.
Αν αποκόψουμε έτσι την καμπύλη παραβαίνουμε τον περιορισμό “έρχεται σε επαφή με όλα τα σημεία της καμπύλης”.
Θα έπρεπε να εκφραστώ καλύτερα στο σημείο που λέω “δεν έχουμε απώλεια επαφής”.
Αν ο κύλινδρος είχε μπογιά δεν θα έβαφε όλη την καμπύλη.
Αν S το μήκος του βαμμένου τμήματος, τότε Νκ=S/2πr.
Με την λογική ότι το κοριτσάκι πρέπει ακαριαία να βρεθεί από το Α στο Β.
Δηλαδή να περιστραφεί ως προς εμάς κατά γωνία ΒΚΑ.
Εδώ βλέπουμε κύλινδρο βαφής:
Θα βάψει μόνο τα κόκκινα τμήματα.
Το μήκος των μαύρων (άβαφτων) δεν επηρεάζει τις περιστροφές.
Αν θέλουμε να βρούμε πόσες περιστροφές μέτρησε το κοριτσάκι πρέπει να διαιρέσουμε το μήκος του βαμμένου τμήματος διά 2πr.
Για να βρούμε ποια γωνία στροφής μετράμε εμείς πρέπει να από την γωνία που μετρά το κοριτσάκι να αφαιρέσουμε την παραπληρωματική της γωνίας θ που σχηματίζουν τα μαύρα τμήματα.
Αυτο ειπα και εγω οτι οι στροφες που μετραει το κοριτσακι ειναι μονο το μηκος των κομματιων της καμπυλης που αποτελουνται απο τα σημεια που εχουν ερθει σε επαφη με τον κυλιομενο κυκλο, δια 2πr, που ειναι αριθμος ανεξαρτητος απο το συνολικο μηκος της καμπυλης. Eσυ στην αρχικη εκφωνηση του προβληματος εθεσες ως αναγκαια προυποθεση την συνεχη επαφη με την πλακα,που ειναι τελειως διαφορετικο απο την αναγκαστικη επαφη με ολα τα σημεια της πλακας.
Αυτο δεν το πολυκαταλαβα πρεπει να το σκεφτω.
Ναι θα έπρεπε να γράψω “επαφή με κάθε σημείο της καμπύλης” διότι το “συνεχής επαφή” σημαίνει τελικά “κάθε στιγμή υπάρχει σημείο του τροχού σε επαφή με κάποιο σημείο της καμπύλης.