by 
Στο σχήμα έχουμε μια στεφάνη μάζας Μ και ακτίνας R που εφάπτεται σε τοίχο με τον οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής μs . Νήμα αβαρές μη εκτατό, δένεται στο σημείο Λ του τοίχου, και εφαπτόμενο στη στεφάνη , καταλήγει στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k , που στο άλλο άκρο του είναι δεμένο σώμα Σ μάζας m . Το τμήμα του νήματος ΛΖ είναι οριζόντιο, ενώ το ΓΔ κατακόρυφο.
Το σύστημα ισορροπεί.
Δίνονται : m=2kg ,M=1kg ,
k=50 N/m g=10 m/s^2 , R=0,2m.
1. Υπολογίστε τον ελάχιστο συντελεστή τριβής μ_min της στεφάνης με τον τοίχο.
Έστω μs=0.8 και ένα σώμα μάζας m1=1kg, κινούμενο με ταχύτητα υ1 κατακόρυφα και στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, συγκρούεται κεντρικά , ελαστικά και ακαριαία με το σώμα Σ. Το σώμα Σ εκτελεί Α.Α.Τ. , με το μέγιστο δυνατό πλάτος Α ,και σταθερά επαναφοράς D=k , έτσι ώστε να μη ξετεντώνει το νήμα, αλλά ούτε να ολισθαίνει η στεφάνη στον τοίχο.
2. Υπολογίστε το πλάτος Α της ταλάντωσης και την ταχύτητα υ1 για να πληρούνται οι παραπάνω προϋποθέσεις
3. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης y=f(t) του σώματος Σ, θεωρώντας ως θετική φορά προς τα πάνω.
4. Αφού υπολογίσετε την χρονική εξίσωση της στατικής τριβής Τs=f'(t) της στεφάνης με τον τοίχο, να κάνετε τη γραφική παράστασή της σε βαθμολογημένους άξονες, για δύο περιόδους .
5.Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στο ελατήριο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.
Απαντήσεις σε word και σε pdf
Από τον εξαιρετικό συνάδελφο και φίλο Κώστα Ψυλάκο η παρακάτω ενδιαφέρουσα λύση! Τον ευχαριστώ.
Καλημέρα Πρόδρομε. Εξαιρετική επαναληπτική ανάρτηση, για τα 2 κεφάλαια. Η δυσκολία στην εύρεση ταυτόχρονα των δύο συνθηκών για το νήμα και τη στεφάνη είναι και η ομορφιά αυτής της άσκησης. Οι συνθήκες είναι απολύτως μέσα στα όρια γνώσης των καλών μαθητών και αν έπεφτε κάτι σχετικό θα τους επέτρεπε να ξεχωρίσουν…
Η ακτίνα της στεφάνης τελικά επηρεάζει τα αποτελέσματα;
Να είσαι καλά!
Καλημέρα Πρόδρομε.
Πολύ καλό θέμα, χωρίς ακρότητες, νομίζω πολύ χρήσιμο για την περίοδο που διανύουμε.
Ανδρέα η ακτίνα της στεφάνης, δεν παίζει κάποιο ρόλο.
Συμφωνώ Διονύση. Απλοποιείται στη συνθήκη για τις ροπές.
Ανδρέα και Διονύση σας ευχαριστώ για τα σχόλιά σας, κάπως καθυστερημένα…
Ανδρέα όλη η ομορφιά και συνάμα η δυσκολία της άσκησης, είναι ο προσδιορισμός του μέγιστου πλάτους, ώστε να μην ξετεντώνει το νήμα αλλά και να μήν ολισθήσει η στεφάνη.
Αξίζει να τη διαβάσει κάποιος υποψήφιος, κι αυτό γιατί “ξεφεύγει” από τα καθιερωμένα!
Υ.Γ. εδώ και τρεις Κυριακές έχουμε καθιερώσει τη βόλτα μας , εγώ , ο Φασουλόπουλος, ο Γιάννης Κυρ. και σήμερα και ο Ανδρέας Βαλαδάκης, σε διάφορα μέρη της Αθήνας.
Σήμερα στα Πετράλωνα, και στου Φιλοπάππου. Κουβέντα γενική, όμορφα πράγματα.
Φυσικά μακριά από συνωστισμούς.
Πρόδρομε καλησπέρα. Πολύ ωραίο σενάριο μου άρεσε ιδιαίτερα.
Πολύ καλή.
Καλησπέρα πρόδρομε πολύ καλό θέμα. Έλυσα το θέμα και στην θ.φ.μ του ελατηρίου η τάση του νήματος είναι ίση με το βάρος της στεφάνης. Από συνθήκη Στ=0 ως προς το σημείο επαφής με τον τοίχο προκύπτει ΤR=WR+Fελ 2R => T=W+2 Fελ ,όταν Fελ= – W/2 τότε Τ=0. Επομένως πρέπει το ελατήριο να είναι συμπιεσμένο κατά 0,1m και μέγιστο πλάτος Αmax=0,5m. Όταν Fελ=0 υπάρχουν δύο ζεύγη δυνάμεων και από την ισορροπία τα μέτρα των τεσσάρων δυνάμεων είναι ίσα.Αν η στεφάνη δεν είχε μάζα τότε το νήμα θα χαλάρωνε στη θ.φ.μ. Ρίξε μια ματιά ίσως εγώ κάνω λάθος.
Και μακριά από πτώσεις Πρόδρομε.
Χρήστο και Γιάννη σας ευχαριστώ.
Έχει ιδιαιτερότητα η εύρεση του μέγιστου πλάτους, ώστε να ικανοποιούνται και οι δύο συνθήκες.
Το ελατήριο δεν πρέπει να φτάσει σε θέση του φυσικού του μήκους, γιατί θα είχαμε ολίσθηση.
Αν πάρουμε μόνο τη συνθήκη της μή χαλάρωσης, βγαίνει ότι το μέγιστο πλάτος να είναι 0.4m, αλλά τότε θα είχαμε ολίσθηση.
Η συνθήκη ισορροπίας της στεφάνης είναι αυτή που καθορίζει τελικά το μέγιστο πλάτος.
Να είστε καλά.
Πρόδρομε ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε πως η δύναμη που πρέπει να δέχεται προς τα κάτω είναι κατ’ ελάχιστον 10 Ν.
Έτσι με ελατήριο 100 Ν/m πρέπει η επιμήκυνση του ελατηρίου να είναι τουλάχιστον 10 cm.
Καλησπέρα Αριστείδη κι ευχαριστώ για το σχόλιο.
Το ελατήριο δεν πρέπει να φτάσει στο φυσικό μήκος, γιατί θα είχαμε ολίσθηση.
Όπως θα διάβασες στη λύση, παίρνω ισορροπία της στεφάνης στη διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος Σ.
Από εκεί και με τις εξισώσεις που προκύπτουν, εκφράζω την στατική τριβή σε συνάρτηση της απομάκρυνσης y, και παίρνω τη συνθήκη για τη στατική τριβή
Τs=<μΝ , και βγάζω ότι πρέπει να είναι x>=-(1/3)m, πράγμα που σημαίνει ότι το πλάτος πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με 1/3 m.
Το ελατήριο δεν φτάνει στο φυσικό του μήκος μετά την κρούση, αλλά η ελάχιστη επιμήκυνση είναι 0,4m-(1/3)m=(0,2/3)m=0,067m.
Δεν βλέπω να έχω κάνει κάποιο λάθος!
Καλό βράδυ.
Γιάννη το ελατήριο έχει σταθερά k= 50N/m .
Είναι κάτι λάθος και δεν το βλέπω;
Όχι είπα ένα νούμερο σαν παράδειγμα.
Με 50 Ν/m θέλουμε ελάχιστο τέντωμα 20 cm.
20 πόντους αν η απαιτούμενη δύναμη είναι 10 Ν.
Στην ανάρτησή σου η δύναμη προκύπτει από την ταλάντωση του συσσωματώματος.
Kαλησπερα Κυριε Προδρομε πολυ καλη η ασκηση σας.Δεν ειναι fελ=k[Δlo-ψ] οποτε προκυπτουν διαφοροποιημενες οι εξισωσεις των δυναμεων κι αλλη μορφη στη γραφικη παρασταση αν δεν κανω λαθος υπολογισμους.