by 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται κατά την διεύθυνση του άξονα x, ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων x,y, ένα σώμα μάζας m=2kg με ταχύτητα υο=10m/s. Σε μια στιγμή t0=0, που το σώμα περνά από την αρχή των αξόνων Ο, δέχεται μια σταθερή δύναμη μέτρου F=4√2Ν, η οποία σχηματίζει γωνία φ=45° με τον άξονα y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).
i) Θεωρώντας σύνθετη την κίνηση, να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας και θέσης, για τους άξονες x και y.
ii) Να αποδείξετε ότι, μέχρι τη στιγμή t1 όπου η ταχύτητα θα έχει «στραφεί» κατά 90°, σε σχέση με την αρχική της διεύθυνση, για τα μέτρα των δύο συνιστωσών ταχύτητας υx και υy, κάθε στιγμή ισχύει:
υx+υy=υο
iii) Ποια χρονική στιγμή t1 η ταχύτητά του σώματος θα έχει «στραφεί» κατά 90°, σε σχέση με την αρχική της διεύθυνση;
iv) Να βρεθεί η θέση Α του σώματος τη στιγμή t1.
v) Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης δύναμης F κατά την κίνηση του σώματος από το Ο στο Α.
ή
Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων και μια οριζόντια κίνηση
Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων και μια οριζόντια κίνηση
Καλημέρα σε όλους.
Αφιερωμένη στον Σπύρο, που την προκάλεσε, αλλά και σε όσους συμμετείχαν στην συζήτηση:
Το παιδί και ο χρόνος στροφής
Καλημέρα Διονύση. Ευχαριστώ για το τμήμα της αφιέρωσης.
Για το κυκλικόν ή μη της τροχιάς, θα τοποθετηθώ αργότερα.
Καλημέρα Διονύση.
Πολύ καλή παραλλαγή της άσκησης του Σπύρου!
Ως προς την ερώτηση που θέτεις στο τέλος της λύσης, δηλαδή για το αν το σώμα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση, η απάντησή μου είναι όχι.
Αν ήταν Ο.Κ.Κ. τότε η σταθερή δύναμη που ασκείται στο σώμα, θα έπρεπε να είναι διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα, ως κεντρομόλος δύναμη.
Όμως μόλις εφαρμόζεται στη θέση Ο, δεν είναι κάθετη. Άρα , δεν είναι Ο.Κ.Κ. κίνηση.
Επίσης δεν είναι καν κυκλική με κέντρο το Κ, αλλά μια καμπυλόγραμμη που η εξίσωση της τροχιάς της προκύπτει αν κάνουμε απαλοιφή το t από τις σχέσεις x=f(t) , y=f'(t).
Καλημέρα Διονύση, σε ευχαριστώ για το μικρό μερίδιο της αφιέρωσης που μου αναλογεί.
Σε άλλες εποχές θα ήταν επιτρεπτή ως άσκηση και για μαθητές.
Καλό μεσημέρι και από εδώ σε όλους.
Γιάννη, Πρόδρομε και Στάθη σας ευχαριστώ για το σχόλιο.
Το ερώτημα που έβαλα στο τέλος, σκόπιμα δεν το απάντησα, για να προκαλέσω ενδιαφέρον, αφού αν κάποιος προσέξει το σχήμα, η αρχική “ακτίνα” είναι ίση με την τελική και οι δυο ταχύτητες έχουν ίσα μέτρα.
Για όποιον παρακολούθησε την προηγούμενη συζήτηση, προφανώς η απάντηση έχει δοθεί, αλλά το αφήνω ακόμη για… ζύμωση,
Καλησπέρα σε όλους.
Ευχαριστώ κ.Διονύση! Είναι πανέμορφη!
Όσον αφορά στο ερώτημα που θέσατε, όχι δεν εκτελεί κυκλική κίνηση. Δεν θα μπορούσε να εκτελεί κίνηση για καμία γωνία φ (εφόσον η δύναμη είναι σταθερού μέτρου και διεύθυνσης). Αυτό γιατί έχουμε:
x=10t-λt^2 όπου λ=(1/2).α(x)
y=γt^2 όπου γ=(1/2).α(y).
Παρατηρούμε ότι το άθροισμα (x-x0)^2 + y^2 δεν είναι σταθερό για καμία τιμή των λ και γ (γιατί δεν υπάρχει σχετική γραμμικότητα όσον αφορά τον χρόνο ή όμοιοι βαθμοί σε κάθε όρο), άρα δεν μπορεί το σώμα να εκτελεί κυκλική κίνηση.
Καλησπέρα Διονύση. Πολύ καλή οριζόντια βολή, με επιταχύνσεις και στους δυο άξονες. Η σταθερότητα της F δεν προκαλεί ΟΚΚ. Το σχετικό i.p. ΕΔΩ
Βλέπουμε την τροχιά να ανοίγει και μετά τη στιγμή που υ = υ0 αυξάνει συνεχώς το μέτρο της ταχύτητας…
Καλησπέρα Διονύση
Δεν παρακολούθησα τη συζήτηση αλλά αφού προέκυψε ένα τέτοιο όμορφο θέμα αντιλαμβάνομαι πόσο ενδιαφέρουσα θα ήταν και η συζήτηση. Το θέμα το βρισκω εξαιρετικό. Τα συγχαρητήρια μου και στον Σπύρο που που ήταν ο “αίτιος”. Με την ευκαιρία να σημειώσω ότι στο ερώτημα ii) οι ταχύτητες πρέπει να αναφέρονται ως αλγεβρικές τιμές (μετά τη χρονική στιγμή t1 η σχέση δεν ισχύει για τα μέτρα).
Η τροχιά είναι παραβολική. Η εξίσωση που προκύπτει στο δοσμένο σύστημα συντεταγμένων δεν το δείχνει άμεσα γιατί υπάρχει στροφή ως προς το σύστημα που μας δείνει την απλούστερη πολύ γνωστή μας εξίσωση παραβολής. Αν θεωρούσαμε τον άξονα y με αντίθετη κατεύθυνση αυτή της δύναμης και τον άξονα των x με κατεύθυνση προς τα δεξιά θα είχαμε το ακριβώς ανάλογο της πλάγιας βολής με γωνία βολής 45 μοίρες.
Καλημέρα σε όλους.
Σπύρο, Ανδρέα και Μανώλη, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα ευχαριστώ και για την προσφορά του i.p.!
Μανώλη, έχεις δίκιο για την εξίσωση με τις συνιστώσες ταχύτητας. Η περιοχή μελέτης μας ήταν από τη στιγμή μηδέν μέχρι την στιγμή που η ταχύτητα αλλάζει κατεύθυνση κατά 90°.
Αλλά στην εκφώνηση, δεν φαινόταν αυτό.
Οπότε τροποποίησα την εκφώνηση, για να επιβάλλεται ο περιορισμός αυτός.
Όσον αφορά την τροχιά πράγματι είναι παραβολή, αφού αν απαλείψουμε τον χρόνο από τις εξισώσεις για τις θέσεις στους δυο άξονες, προκύπτει εξίσωση τροχιάς δευτέρου βαθμού. Όχι η γνωστή μας συνάρτηση, αλλά δευτεροβάθμια, που δίνει παραβολή.
Πολύ σωστή η σκέψη σου να αλλάξουμε άξονες, αν θέλουμε να πάρουμε κίνηση παρόμοια με την πλάγια βολή…
Το ότι η μορφή της τροχιάς είναι παραβολική και όχι κυκλική, νομίζω ότι απαντήθηκε επαρκώς, αλλά κυρίως επιβεβαιώνεται απόλυτα από την προσομοίωση που μας έδωσε ο Ανδρέας παραπάνω.
Εκεί φαίνεται ότι η ταχύτητα μεταβάλλεται και η μορφή της τροχιάς δεν θυμίζει κύκλο.
Αν όμως κάποιος υποστηρίξει ότι έχουμε απλά μια επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση, μπορούμε να επιμείνουμε θεωρητικά, αφού το παραπάνω σχήμα παραπλανά και να υπολογίσουμε την ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στην αρχική θέση (το ίδιο και για την τελική), θεωρώντας την συνιστώσα Fy ως κεντρομόλο.
Θα είχαμε R=mυ2/Fy=50m και όχι την απόσταση (ΟΓ)=25m.
Καλημέρα Διονύση. Πολύ άμεση η δικαιολόγηση σου για το ότι η κίνηση δε μπορεί να είναι κυκλική
Καλημέρα!
Διονυση εδωσες τελικα στο θεμα μια πιο “φιλικη” εκδοχη που σιγουρα εχει ενδιαφερον.Οντως η τροχια κινησης μπορει να παραπλανησει σιγουρα ειναι παραβολικη .
Η προταση του Λαμπρακη για αλλαγη αξονων ειναι μια πολυ καλη ιδεα οποτε μπορει να αντιμετωπιστει ως μια πλαγια βολη . Το νεο συστημα αξονων εχει στραφει ωρολογιακα κατα 45 μοιρες επομενως ο αξονας Ψ (καινουργιος) να εχει την διευθυνση της δυναμης με την θετικη του φορα αντιρροπα της φορας της δυναμης .Τοτε γινεται άμεσα αντιληπτή η παραβολικη τροχια στο νεο συστημα (Χ,Ψ) :
Ψ = Χ*εφφ – (0.5*g / uox^2) * X^2 = X – 0.1*X^2 (SI)
Καλημέρα Διονύση. Πολύ όμορφο θέμα, που θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί από μαθητές στη βάση της ανεξαρτησίας των κινήσεων. Μου άρεσε η ιδέα του Μανώλη (καλημέρα Μανώλη) περί πλάγιας βολής.