by Καλησπέρα συνάδελφοι και συναδέλφισες.
Διαβάζοντας για πρώτη φορά ουσιαστικά μετά τα φοιτητικά μου χρόνια ξανά ένα κομμάτι του ηλεκτρομαγνητισμού (για τις πανελλήνιες) μου γεννήθηκαν κάποιες απορίες σχετικά με την δύναμη Laplace και την επαγωγή. Κάποιες αντιφάσεις τις οποίες παρατήρησα και έχουν κυρίως να κάνουν με κάποιες έννοιες που συναντάμε στο σχολικό βιβλίο της φυσικής (είτε σε ενδεχόμενη λάθος κατανόηση από μεριάς μου).
Αρχικά γνωρίζοντας από την διανυσματική ανάλυση ότι ένα στροβιλίζον πεδίο ουσιαστικά δεν παράγει συντηρητικές δυνάμεις μου ήρθε η απορία πως γίνεται η μαγνητική δύναμη σε μια κλειστή διαδρομή να παράγει μηδενικό έργο όπως μας λέει το σχολικό βιβλίο.
1)Κατανοώντας τον λόγο που η δύναμη Laplace είναι κάθετη στη μετατόπιση των φορτίων σε μια κλειστή διαδρομή το έργο είναι μηδέν. Πως Ωστόσο σε έναν μαθητή μπορούμε να περάσουμε ότι η δύναμη Laplace (που ασκείται σε φορτία πρωτίστως και μετά συνολικά στον αγωγό) παράγει μηδενικό έργο στα φορτία αλλά όχι στη ράβδο; (εκτός από τα μαθηματικά που είναι προφανής ο λόγος).
2)Προεκτείνω το σκεπτικό μου και συνεχίζω με την ενέργεια. Το σχολικό βιβλίο ουσιαστικά περνά στον μαθητή ότι το έργο της δύναμης Laplace ουσιαστικά σε αρκετές περιπτώσεις μας δίνει την θερμότητα που εκλύεται από τους αντιστάτες του εκάστοτε κυκλώματος. Άρα επανέρχομαι στο προηγούμενο. Πως εξηγείς σε ένα παιδί ότι η δύναμη Laplace σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο είναι συντηρητική δύναμη και το έργο της είναι μηδέν, αλλά παράλληλα εκφράζει και την θερμότητα που εκλύεται από το κύκλωμα άρα εφόσον έχεις αντιστάτες αποκλείεται να είναι μηδενική.
3) Όσο αφορά το συγκεκριμένο άρθρο του κυρίου Μάργαρη, εδώ, μου προκαλεί απορία γιατί το ηλεκτρικό πεδίο που επάγεται εξαιτίας της κίνησης της ράβδου, στο εσωτερικό της είναι μη συντηρητικό ενώ το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο που η ίδια προκαλεί είναι συντηρητικό)
Ουσιαστικά οι απορίες μου έχουν να κάνουν με την ταυτόχρονη εμφάνιση της δύναμης Laplace τόσο στην κίνηση των φορτίων όσο και στην κίνηση του αγωγού. Ότι βλέπουμε ότι στην μία περίπτωση το έργο είναι μηδέν ενώ στην άλλη δεν είναι. Όμως στο βιβλίο την αναφέρουν σαν συντηρητική, ενώ εμείς την χρησιμοποιούμε στην ράβδο και παράγει έργο. Όλες αυτές οι αντιφάσεις με έκαναν να επικοινωνήσω με τον κύριο Διονύση Μάργαρη ο οποίος μου έδωσε κάποιες απαντήσεις και τον ευχαριστώ πολύ που αφιέρωσε χρόνο για αυτό, και με προέτρεψε να ανεβάσω τις απορίες μου για συζήτηση στο φόρουμ.
Νομίζω αξίζει να ξαναπώ πως κάποιες αντιφάσεις μου προκάλεσαν εντύπωση μπορεί να ήταν από λάθος κατανόηση δική μου μέχρι και να έχω διαβάσει το ίδιο πράγμα αρκετές φορές λάθος! Η κούραση δεν βοηθάει στο έργο μας!
Καλημέρα παιδιά.
Θα έλεγα ότι θα μπορούσαμε να περάσουμε στο επόμενο θέμα που θέτει ο Φίλιππος.
“Όσο αφορά το συγκεκριμένο άρθρο του κυρίου Μάργαρη, εδώ, μου προκαλεί απορία γιατί το ηλεκτρικό πεδίο που επάγεται εξαιτίας της κίνησης της ράβδου, στο εσωτερικό της είναι μη συντηρητικό ενώ το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο που η ίδια προκαλεί είναι συντηρητικό)”
Καλημέρα συνάδελφοι.
Σπύρο και Γιάννη με μπερδέψατε ως προς το τι ισχυρίζεστε.
Το έργο της δύναμης Lorentz είναι ή δεν είναι μηδέν, σε κάθε κλειστή διαδρομή;
Αν ο στροβιλισμός μίας δύναμης είναι μηδέν, τότε μπορεί να υπάρχουν κλειστές καμπύλες, στις οποίες το κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της δύναμης να μην είναι μηδέν;
Αντίστροφα, αν το κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ισούται με το μηδέν για κάθε κλειστή καμπύλη στον χώρο, τότε ο στροβιλσιμός της δύναμης δεν είναι παντού μηδέν;
Ποιος είναι τελικά ο ορισμός της συντηρητικής δύναμης;
Καλημέρα Στάθη.
Το έργο της δύναμης Λόρεντζ είναι μηδέν σε κάθε διαδρομή, όχι μόνο σε κλειστή διαδρομή. Η δύναμη είναι κάθετη στην ταχύτητα.
Όμως ο στροβιλισμός του μαγνητικού πεδίου δεν είναι μηδέν.
Γιάννη καλημέρα.
Καταλαβαίνω με αυτό που λές, ότι σε κάθε κλειστή διαδρομή ενός φορτίου, το έργο της δύναμης Lorentz ισούται με το μηδέν γιατί συνεχώς η δύναμη είναι κάθετη στην τροχιά του υλικού σημείου (στην ταχύτητα). Αλλά η δύναμη Lorentz δεν είναι συντηρητική γιατί ο στροβιλισμός της είναι διάφορος του μηδενός. Οπότε το έργο μηδέν κατά μήκος κλειστής διαδρομής του φορτίου δεν είναι σωστό κριτήριο περί “συντηρητικότητας”.
Υπάρχει όμως και το θέωρημα Stoke’s:
Aν ο στροβιλισμός της δύναμης ισούται παντού στον χώρο με το μηδέν, τότε το ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους της παραπάνω ισότητας ισούται με το μηδέν, για κάθε επιφάνεια S. Αλλά τότε και το κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στην περιβάλλουσα της επιφάνειας γραμμή C(S) της τυχαίας επιφάνειας S, θα ισούται με το μηδέν. Συνεκδοχικά, το έργο της δύναμης ισούται μηδέν σε οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη στον χώρο.
Αντίστροφα, αν το κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στην περιβάλλουσα γραμμή C(S) μίας οποιασδήποτε επιφάνειας S ισούται με το μηδέν, τότε σε κάθε επιφάνεια S στον χώρο το ολοκλήρωμα στο δεύτερο μέλος ισούται με το μηδέν. Αλλά για να ισχύει αυτό σε κάθε επιφάνεια S, πρέπει ο στροβιλισμός της δύναμης να είναι παντού μηδέν.
Συμφωνώ Στάθη. Δεν είναι το έργο της δύναμης το κριτήριο.
Γιάννη έτσι είναι, ή το κριτήριο δεν αναφέρεται σε μια κλειστή τροχιά, αλλά σε μια οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη στον χώρο, άσχετα από το αν αποτελεί φυσικά υλοποιήσιμη τροχιά;
Νομίζω πως είναι το δεύτερο. Αν το διάνυσμα curl(F) υπάρχει, μπορώ πάντα να υποθέσω μια κλειστή καμπύλη ή οποία δημιουργεί μια κάθετη στον στροβιλισμό επιφάνεια. Εκεί το ολοκλήρωμα του στροβιλισμου, άρα και το αντίστοιχο επικαμπύλιο στο σύνορο δεν θα είναι μηδέν.
Καλησπέρα Γιάννη, τώρα είδα την ενδιαφέρουσα συζήτηση.
Γράφεις: Λέμε κάποιες φορές ότι συντηρητική είναι μία δύναμη όταν σε κάθε κλειστή διαδρομή το έργο της είναι μηδέν.
Δε νομίζω ότι το λέμε αυτό, λέμε όμως ότι εάν μία δύναμη είναι συντηρητική, τότε το έργο της κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδενικό. Δεν είναι δηλαδή ικανή συνθήκη για να οριστεί μία δύναμη ως συντηρητική το μηδενικό έργο σε κλειστή διαδρομή. Το αναφέρω για το παράδειγμα που παρέθεσες με τη δύναμη του χεριού.
Να αναφέρω ότι εγώ ανήκω στους αρκετά κάτω από 60 και όντως (αυτό)διδάχτηκα αυτό που γράφεις για το λείο κεκλιμένο. Σαφώς είναι ωραία και η εξήγηση με τις τριβές, αντιστάσεις, κάποια άλλη δύναμη κτλ
Καλησπέρα παιδιά.
Νομίζω ότι η παρέμβαση του Δημήτρη, αξίζει να επισημανθεί:
“λέμε όμως ότι εάν μία δύναμη είναι συντηρητική, τότε το έργο της κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδενικό.”
Αυτό ισχύει, αλλά όχι το αντίστροφο… Αν το έργο μιας δύναμης, κατά μήκος κλειστής διαδρομής, είναι μηδενικό, δεν σημαίνει ότι η δύναμη είναι συντηρητική!
Έτσι ερμηνεύεται και η μαθηματική αντιμετώπιση του Στάθη με την εξίσωση Stokes.
Φίλιππε καλησπέρα,
μόλις συνηδειτοποίησα ότι συμμετέχω τόση ώρα στην συζήτηση που έθεσες και δεν σε χαιρέτισα ακόμη. Ζητώ συγγνώμη για αυτήν την …αστοχία.
Το ερώτημα που έθεσες είναι πολύ ενδιαφέρον και με πολλές προεκτάσεις.
Συνεχίζω με ένα παράδειγμα σχετικά με το κριτήριο περί της συντηρητικότητας μίας δύναμης (ενός πεδίου) και το πώς εφαρμόζεται στην δύναμη Lorentz:
Βάσει των παραπάνω, το κριτήριο για να είναι συντηρητική μία δύναμη F είναι,
Όσον αφορά την κυκλοφορία της δύναμης, αυτήν ταυτίζεται με το έργο της δύναμης, αν η κλειστή καμπύλη είναι ταυτόχρονα και μία φυσική τροχιά του υλικού σημείου στο οποίο ασκείται η δύναμη.
Άρα συμφωνώ με τον Γιάννη στο ότι κριτήριο δεν είναι το αν το έργο της δύναμης είναι μηδέν σε οποιαδήποτε κλειστή τροχιά, αλλά το αν η κυκλοφορία της δύναμης είναι μηδέν σε οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη στον χώρο.
Η δύναμη Lorentz δεν πληρή κανένα από τα παραπάνω και για αυτό δεν είναι συντηρητική δύναμη.
Καλησπέρα Διονύση, καλησπέρα Δημήτρη,
συμφωνώ με τον “Δημήτρη αλλά να προσθέσουμε το “οποιασδήποτε κλειστής διαδρομής”.
Καλησπέρα Στάθη.
Σύμφωνοι, για “οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή”!
Καλησπέρα σε όλους.
Να δώσω μια “κωδικοποίηση” που είχα βρεί πριν κάποια χρόνια, για την”συντηρητικότητα” ή μη ενός διανυσματικού πεδίου:
Η εικόνα ΕΔΩ
(Διατήρησα ακριβώς τη μορφή που υπάρχει στο βιβλίο, γι’ αυτό απουσιάζει το μείον μπροστά από το gradient).
Καλησπέρα Διονύση. Γράφαμε μαζί.
Συμφωνώ απόλυτα και εγώ!
Καλησπέρα Γιάννη.
Μετέτρεψα το αρχείο σε εικόνα, την παρακάτω:
Σε ευχαριστώ πολύ Διονύση!