Ισχύει ότι μεταξύ δύο σημείων Γ και Δ έχουμε: Στ(Γ) = Στ(Δ) + (ΓΔ) x ΣF.
Έτσι, στην πρώτη περίπτωση (για Ο και Β) έχουμε: (ΟΒ) x ΣF =0, όμως ΣF κατακόρυφη άρα ΣF=0. Έτσι είναι και Στ(cm) = 0 (από την ίδια θεωρία), οπότε ισορροπεί.
Στην δεύτερη (για Α και Β) είναι έχουμε: (ΑΒ) x ΣF =0, οπότε πάλι ΣF =0 και Στ(cm)=0. Άρα πάλι ισορροπεί.
Στην τρίτη (για Ο και Α) έχουμε: (ΟΑ) x ΣF =0. Όμως η (ΟΑ) είναι και αυτή κατακόρυφη, άρα δεν είναι απαραίτητο να είναι ΣF=0. Εδώ πρέπει να επισημάνω ότι η εκφώνηση δεν είναι ακριβώς ορθή – μπορεί ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση να ισορροπεί. Δεν μας λέει κανείς οτι δεν ισχύει πως ΣF=0, αλλά ότι με τα συγκεκριμένα δεδομένα, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν ισορροπεί. (ή διαφορετικά, ότι υπό συγκεκριμένες συνθήκες, μπορεί να μην ισορροπεί).
Θα πρότεινα να γίνει το ερώτημα ως : Σε ποια περίπτωση η ράβδος μπορεί να μην ισορροπεί?
Καλησπερα Γιάννη και Σπυρο. Αφου το κεντρο μαζας της ραβδου κινειται πανω σε περιφερεια κυκλου και η στοιχειωδης μετατοπιση πανω στον κυκλο εχει και x και y συνιστωσες,αν την αφησουμε σε μια θεση το να μην ισορροπησει ισοδυναμει με επιταχυνση του κεντρου μαζας και κατα τον x αξονα και κατα τον y αξονα.Αρα πρεπει ΣFx oxι μηδεν.Αρα αν ΣFx=0 αναγκαστικα ισορροπει.Αρα και στις τρεις περιπτωσεις ισορροπει.Εκτος αν κανω λαθος.
κ. Κωνσταντίνε αν αναφερόμαστε σε “δυναμική” ισορροπία, δηλαδή μόνο μηδενικές επιταχύνσεις (όχι απαραίτητα μηδενικές ταχύτητες), τότε μήπως μπορούμε να βρούμε κάποια γωνιακή ταχύτητα για την οποία η οριζόντια δύναμη να είναι μηδενική, αλλά η κατακόρυφη όχι?
Δηλαδή, ας κάνουμε μια υπόθεση, ότι υπό συγκεκριμένες δυνάμεις, μπορούμε να καθορίζουμε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, έτσι ώστε:
Να διατηρεί σταθερή την οριζόντια ταχύτητα της (x”=0 άρα και F=0).
Να κινείται επιταχυνόμενα κατακορύφως.
Τότε, όπως έγραψα στο προηγούμενο σχόλιο, η ισορροπία δεν είναι απαραίτητη.
Για παράδειγμα, αν έχουμε γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την ω=c/sinθ, τότε η οριζόντια ταχύτητα είναι σταθερή, ενώ η κατακόρυφη μεταβάλλεται.
Το ερώτημα είναι, μπορούμε να εξασφαλίσουμε τέτοια γωνιακή ταχύτητα? ‘Η τελικά δεν μας ενδιαφέρει πως θα την εξασφαλίσουμε, αφού θεωρητικά, μπορούμε εμείς να καθορίζουμε την γωνιακή ταχύτητα με ότι μηχανισμούς θέλουμε?
κ. Κωνσταντίνε, νομίζω, ότι υπό κατάλληλες συνθήκες, μπορούμε να πετύχουμε ακόμα και σε μια κυκλική κίνηση, μονάχα επιταχυνόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.
Με λίγα λόγια, αν αποδείξω ότι για κάποια δύναμη που ασκείται στην ράβδο, ισχύει ΣFx=0 και ΣFy όχι μηδέν, τότε δεν έχουμε στατική ισορροπία.
Εφόσον το κέντρο μάζας κάνει κυκλική κίνηση, τότε θα το προσομοιάσω με ένα μπαλάκι σε νήμα που περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο (για ευκολία). Στο μπαλάκι ασκείται η τάση (προς τα μέσα) και μια δύναμη F (πρός τα έξω) όπως στο σχήμα. Οριζόντια έχουμε ισορροπία, ενώ κατακόρυφα επιτάχυνση. Αυτό δεν επηρεάζει το ότι το μπαλάκι κινείται σε κύκλο.
Το ίδιο ακριβώς μπορεί να συμβεί και στο κέντρο μάζας της ράβδου. Μπορεί να κινείται μεν σε κύκλο, αλλά γίνεται να έχει μόνο κατακόρυφη επιτάχυνση, ενώ οριζόντια να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Άρα έχουμε δυναμική ισορροπία στον άξονα x’x και όχι στον y’y. Οπότε δεν ισορροπεί αφού ΣFx=0 αλλά ΣFy όχι μηδέν.
Αν θέλετε, δοκιμάστε γωνιακή ταχύτητα ω=c/sinθ. Προκύπτει σταθερή οριζόντια ταχύτητα και μεταβαλλόμενη κατακόρυφη.
Συμφωνείτε?
Τελευταία διόρθωση4 έτη πριν από Διονύσης Μάργαρης
Μια λύση για μαθητές λυκείου χωρίς το Στ(Γ) = Στ(Δ) + (ΓΔ) x ΣF. του Σπύρου. Παίρνοντας τις ροπές Στ = 0 με δύο τριβές και δύο αντιδράσεις και προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκω στην Α. ΣFy . β = 0 άρα και ΣFy = 0
στην Β ΣFx .α + ΣFy .β = 0 άρα αν ΣFx = 0 Τότε και ΣFy = 0
Στην Γ δίνει ΣFx .β = 0 που αν ισχύει ΣFx = 0 οι δύο εξισώσεις των ροπών εκφυλίζονται σε μία εξ ου και η πιθανή μή ισορροπία
Καλημέρα σε όλους. Να το θέσω λίγο πιο γενικά το θέμα; Ποια θα ήταν η απάντηση αν ασκούνται και άλλες δυνάμεις στη ράβδο, πέρα από τις συνηθισμένες τρεις;
Καλημερα.Αν η ραβδος αρχικα ηταν ακινητη τοτε με οποιοδηποτε συνδιασμο απο τα Α,Β,Γ θα παρεμενε ακινητη.Ομως η ερωτηση ειναι γενικοτερη.Οποτε ειναι προφανες οτι αν φροντισουμε ωστε η συνισταμενη στην ραβδο να ειναι κατακορυφη τοτε αυτη θα κινειται ετσι ωστε το κεντρο μαζας της να εχει μονο κατακορυφη επιταχυνση οπως ειπε και ο Σπυρος.Αν ασκησουμε οποιεσδηποτε κατακορυφες δυναμεις και φροντισουμε τα μετρα τους και τα σημεια εφαρμογης τους να ειναι συνεχως τετοια ωστε το αθροισμα των ροπων τους ως προς το Ο να ειναι μηδεν,τοτε θα εινα ιμηδεν και ως προς το Α.Αν ταυτοχρονα ασκησουμε οριζοντιες δυναμεις που να εξουδετερωνουν τις οριζοντιες δυναμεις που ασκουνται απο τα τοιχωματα τοτε θα ικανοποιειται η Γ) και η ραβδος θα κινειται ετσι ωστε το κεντρο μαζας της να κανει κυκλικη κινηση,.
Λέω να το δω με “παιδική αφέλειᨔ! Αφού και στις 3 περιπτώσεις ΣFx =0 , τότε η ράβδος δεν κινείται στον άξονα x , άρα δεν γλιστράει προς τα δεξιά και επομένως και προς τα κάτω! Αρα ισορροπεί αναγκαστκά και δεν περιστρέφεται!(Αγγνοώντας δυνάμεις άλλες έκτος βάρους και από τοίχο και δάπεδο)
Βεβαια αν ασκήσουμε στο Α κατακόρυφα προς τα πάνω δύναμη μεγαλύτερη του βάρους της θα κινηθεί κατακόρυφα προς τα πάνω παρ΄όλο που θα ισχύει η (Γ) περίπτωση,
by 
κ. Γιάννη καλησπέρα,
Είναι πολύ ωραίο ερώτημα. Απαντώ το Γ.
Ισχύει ότι μεταξύ δύο σημείων Γ και Δ έχουμε: Στ(Γ) = Στ(Δ) + (ΓΔ) x ΣF.
Έτσι, στην πρώτη περίπτωση (για Ο και Β) έχουμε: (ΟΒ) x ΣF =0, όμως ΣF κατακόρυφη άρα ΣF=0. Έτσι είναι και Στ(cm) = 0 (από την ίδια θεωρία), οπότε ισορροπεί.
Στην δεύτερη (για Α και Β) είναι έχουμε: (ΑΒ) x ΣF =0, οπότε πάλι ΣF =0 και Στ(cm)=0. Άρα πάλι ισορροπεί.
Στην τρίτη (για Ο και Α) έχουμε: (ΟΑ) x ΣF =0. Όμως η (ΟΑ) είναι και αυτή κατακόρυφη, άρα δεν είναι απαραίτητο να είναι ΣF=0. Εδώ πρέπει να επισημάνω ότι η εκφώνηση δεν είναι ακριβώς ορθή – μπορεί ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση να ισορροπεί. Δεν μας λέει κανείς οτι δεν ισχύει πως ΣF=0, αλλά ότι με τα συγκεκριμένα δεδομένα, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν ισορροπεί. (ή διαφορετικά, ότι υπό συγκεκριμένες συνθήκες, μπορεί να μην ισορροπεί).
Θα πρότεινα να γίνει το ερώτημα ως : Σε ποια περίπτωση η ράβδος μπορεί να μην ισορροπεί?
Καλησπερα Γιάννη και Σπυρο. Αφου το κεντρο μαζας της ραβδου κινειται πανω σε περιφερεια κυκλου και η στοιχειωδης μετατοπιση πανω στον κυκλο εχει και x και y συνιστωσες,αν την αφησουμε σε μια θεση το να μην ισορροπησει ισοδυναμει με επιταχυνση του κεντρου μαζας και κατα τον x αξονα και κατα τον y αξονα.Αρα πρεπει ΣFx oxι μηδεν.Αρα αν ΣFx=0 αναγκαστικα ισορροπει.Αρα και στις τρεις περιπτωσεις ισορροπει.Εκτος αν κανω λαθος.
κ. Κωνσταντίνε αν αναφερόμαστε σε “δυναμική” ισορροπία, δηλαδή μόνο μηδενικές επιταχύνσεις (όχι απαραίτητα μηδενικές ταχύτητες), τότε μήπως μπορούμε να βρούμε κάποια γωνιακή ταχύτητα για την οποία η οριζόντια δύναμη να είναι μηδενική, αλλά η κατακόρυφη όχι?
Δηλαδή, ας κάνουμε μια υπόθεση, ότι υπό συγκεκριμένες δυνάμεις, μπορούμε να καθορίζουμε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, έτσι ώστε:
Τότε, όπως έγραψα στο προηγούμενο σχόλιο, η ισορροπία δεν είναι απαραίτητη.
Για παράδειγμα, αν έχουμε γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την ω=c/sinθ, τότε η οριζόντια ταχύτητα είναι σταθερή, ενώ η κατακόρυφη μεταβάλλεται.
Το ερώτημα είναι, μπορούμε να εξασφαλίσουμε τέτοια γωνιακή ταχύτητα? ‘Η τελικά δεν μας ενδιαφέρει πως θα την εξασφαλίσουμε, αφού θεωρητικά, μπορούμε εμείς να καθορίζουμε την γωνιακή ταχύτητα με ότι μηχανισμούς θέλουμε?
Γεια σου και παλι Σπυρο.Στην δυναμικη ισσοροπια ενος στερεου το κεντρο μαζας κανει αναγκαστικα ευθυγραμμη ομαλη κινηση.Το κεντρο μαζας της ραβδου ομως κανει κυκλικη κινηση αρα επιταχυνομενη.Αρα μονο στατικη ισορροπια θα μπορουσε να υπαρχει.
κ. Κωνσταντίνε, νομίζω, ότι υπό κατάλληλες συνθήκες, μπορούμε να πετύχουμε ακόμα και σε μια κυκλική κίνηση, μονάχα επιταχυνόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.
Με λίγα λόγια, αν αποδείξω ότι για κάποια δύναμη που ασκείται στην ράβδο, ισχύει ΣFx=0 και ΣFy όχι μηδέν, τότε δεν έχουμε στατική ισορροπία.
Εφόσον το κέντρο μάζας κάνει κυκλική κίνηση, τότε θα το προσομοιάσω με ένα μπαλάκι σε νήμα που περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο (για ευκολία). Στο μπαλάκι ασκείται η τάση (προς τα μέσα) και μια δύναμη F (πρός τα έξω) όπως στο σχήμα. Οριζόντια έχουμε ισορροπία, ενώ κατακόρυφα επιτάχυνση. Αυτό δεν επηρεάζει το ότι το μπαλάκι κινείται σε κύκλο.
Το ίδιο ακριβώς μπορεί να συμβεί και στο κέντρο μάζας της ράβδου. Μπορεί να κινείται μεν σε κύκλο, αλλά γίνεται να έχει μόνο κατακόρυφη επιτάχυνση, ενώ οριζόντια να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Άρα έχουμε δυναμική ισορροπία στον άξονα x’x και όχι στον y’y. Οπότε δεν ισορροπεί αφού ΣFx=0 αλλά ΣFy όχι μηδέν.
Αν θέλετε, δοκιμάστε γωνιακή ταχύτητα ω=c/sinθ. Προκύπτει σταθερή οριζόντια ταχύτητα και μεταβαλλόμενη κατακόρυφη.
Συμφωνείτε?
Αν θέλουμε και μια αυστηρή απόδειξη τότε παρακάτω δίνω μια.
Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι μπορεί ΣFx=0 και ΣFy διαφορετικό του μηδενός. Οπότε δεν είναι απαραίτητο να έχουμε μόνο στατική ισορροπία όταν ΣFx=0.
Ναι συμφωνω.Υπαρχει κινηση πανω στον κυκλο τετοια ωστε η οριζοντια συνιστωσα της επιταχυνσης να ειναι μηδεν.
Μια λύση για μαθητές λυκείου χωρίς το Στ(Γ) = Στ(Δ) + (ΓΔ) x ΣF. του Σπύρου. Παίρνοντας τις ροπές Στ = 0 με δύο τριβές και δύο αντιδράσεις και προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκω
στην Α. ΣFy . β = 0 άρα και ΣFy = 0
στην Β ΣFx .α + ΣFy .β = 0 άρα αν ΣFx = 0 Τότε και ΣFy = 0
Στην Γ δίνει ΣFx .β = 0 που αν ισχύει ΣFx = 0 οι δύο εξισώσεις των ροπών εκφυλίζονται σε μία εξ ου και η πιθανή μή ισορροπία
Καλημέρα και καλό μήνα.
Μια διευκρίνηση:
Αυτό που ζητάμε είναι ” Ποιά τριάδα εξισώσεων δεν εξασφαλίζει την ισορροπία της ράβδου”
Καλημέρα σας
Μια λύση ακόμα, στον σύνδεσμο εδώ.
Φιλικά,
Θ.Π.
Καλημέρα σε όλους.
Να το θέσω λίγο πιο γενικά το θέμα;
Ποια θα ήταν η απάντηση αν ασκούνται και άλλες δυνάμεις στη ράβδο, πέρα από τις συνηθισμένες τρεις;
Καλημερα.Αν η ραβδος αρχικα ηταν ακινητη τοτε με οποιοδηποτε συνδιασμο απο τα Α,Β,Γ θα παρεμενε ακινητη.Ομως η ερωτηση ειναι γενικοτερη.Οποτε ειναι προφανες οτι αν φροντισουμε ωστε η συνισταμενη στην ραβδο να ειναι κατακορυφη τοτε αυτη θα κινειται ετσι ωστε το κεντρο μαζας της να εχει μονο κατακορυφη επιταχυνση οπως ειπε και ο Σπυρος.Αν ασκησουμε οποιεσδηποτε κατακορυφες δυναμεις και φροντισουμε τα μετρα τους και τα σημεια εφαρμογης τους να ειναι συνεχως τετοια ωστε το αθροισμα των ροπων τους ως προς το Ο να ειναι μηδεν,τοτε θα εινα ιμηδεν και ως προς το Α.Αν ταυτοχρονα ασκησουμε οριζοντιες δυναμεις που να εξουδετερωνουν τις οριζοντιες δυναμεις που ασκουνται απο τα τοιχωματα τοτε θα ικανοποιειται η Γ) και η ραβδος θα κινειται ετσι ωστε το κεντρο μαζας της να κανει κυκλικη κινηση,.
Λέω να το δω με “παιδική αφέλειᨔ! Αφού και στις 3 περιπτώσεις ΣFx =0 , τότε η ράβδος δεν κινείται στον άξονα x , άρα δεν γλιστράει προς τα δεξιά και επομένως και προς τα κάτω! Αρα ισορροπεί αναγκαστκά και δεν περιστρέφεται!(Αγγνοώντας δυνάμεις άλλες έκτος βάρους και από τοίχο και δάπεδο)
Δεν εξετάζω την περίπτωση να ασκούνται δυνάμεις με φορά έξω από το επίπεδο του σχήματος!
Βεβαια αν ασκήσουμε στο Α κατακόρυφα προς τα πάνω δύναμη μεγαλύτερη του βάρους της θα κινηθεί κατακόρυφα προς τα πάνω παρ΄όλο που θα ισχύει η (Γ) περίπτωση,