by Ο ομογενής δίσκος του σχήματος είναι αρχικά ακίνητος και αρχίζει τη χρονική στιγμή t0=0 να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο δίσκος ακινητοποιείται 6 δευτερόλεπτα αργότερα και η γραφική παράσταση της γωνιακής του ταχύτητας ω σε συνάρτηση με το χρόνο t φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Το γράφημα στο παραπάνω διάγραμμα είναι ένα ημικύκλιο και έχει κατασκευαστεί σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων (οι μονάδες μέτρησης των κάθετων αξόνων έχουν το ίδιο μήκος).
Α. Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου κατά την κίνησή του, καθώς και τη χρονική στιγμή στην οποία η γωνιακή του ταχύτητα μεγιστοποιείται.
Β. Να υπολογίσετε το πλήθος των περιστροφών του δίσκου στο χρονικό διάστημα από t0=0 έως και t=6s.
Γ. Είναι ρεαλιστικός ο τρόπος με τον οποίο περιστρέφεται ο δίσκος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Μία μη ρεαλιστική περιστροφική κίνηση δίσκου
καλό μεσημέρι, Μίλτο
διαφωνώ απολύτως, θεωρώ ότι μη ρεαλιστική είναι η άσκηση
(ε, και; πιθανόν θα πεις, και δικαίως ίσως…)
το γεγονός ότι δύο “μήκη” σε ένα διάγραμμα φαίνονται “γεωμετρικά” ίσα δεν σημαίνει τίποτα (εκτός και αν τα μεγέθη είναι ομοειδή και οι κλίμακες ίδιες)
στην περίπτωσή μας το ένα 3 στον οριζόντιο άξονα είναι 3s και στον κατακόρυφο είναι άγνωστο πόσο σε rad/s
Γεια σου Βαγγέλη.
Το 3rad/s δεν προέκυψε “με το μάτι”. Πρόκειται για ημικύκλιο ακτίνας 3. Το σημείο (3,0) είναι το κέντρο του, άρα το (3,3) είναι σημείο του κύκλου.
Καλησπέρα Μίλτο και καλό Πάσχα.
Δεν πρέπει η ω = f(t) να είναι συνάρτηση;
Ένας κύκλος δεν είναι συνάρτηση. Είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο που βρίσκονται σε ίση απόσταση από ένα σταθερό σημείο που ονομάζεται κέντρο. Η εξίσωση ενός κύκλου περιλαμβάνει δύο μεταβλητές, x και y, και για τις περισσότερες τιμές x ή y, υπάρχουν δύο πιθανές τιμές y ή x που ικανοποιούν την εξίσωση, που αντιστοιχούν στο άνω και κάτω μισό του κύκλου.
Η συγκεκριμένη έχει εξίσωση ω^2 = -t^2 + 6t
Άρα εξαρχής ως καμπύλη, δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περιγραφή της ω = f(t), που απαιτεί συνάρτηση του t.
Καλησπέρα Ανδρέα και καλό Πάσχα!
Μα η καμπύλη μου δεν είναι κύκλος, αλλά ημικύκλιο.
Τόσο το άνω, όσο και το κάτω ημικύκλιο είναι συνάρτηση (από μόνα τους). Ή ορθότερα, γραφική παράσταση συνάρτησης. Δηλαδή, εδώ, ο τύπος της συνάρτησης είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της ποσότητας που έγραψες στο δεξί μέλος.
Σε κάθε t δηλαδή από 0 έως 6s, αντιστοιχίζεται ένα μόνο ω.
Δεν διαφωνώ. Αλλά ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης στα άκρα χ = 0 και χ = 6; Εξαρχής το πρόβλημα μη ύπαρξης τέτοιας κίνησης υπάρχει ακριβώς γιατί δεν είναι συνάρτηση.
Κάπου δεν σε καταλαβαίνω Ανδρέα. Όταν μία συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε κάποια σημεία, δεν χάνει την “ιδιότητα της ως συνάρτηση”.
Στα κύματα κάνουμε κάτι διαφορετικό; Ποιά η παράγωγος της ταχύτητας ενός σημείου του μέσου τη στιγμή που “μόλις φθάνει η διαταραχή σε αυτό”;
Η συνάρτηση υπάρχει, είναι συνεχής, αλλά στα άκρα η παράγωγός της ως προς χρόνο (άρα και η γωνιακή επιτάχυνση) απειρίζεται. Θα απαιτούσει μια στιγμιαία άπειρη συνισταμένη ροπή Δεν θα ήταν συνάρτηση αν για μια τιμή του t έδινε δύο τιμές του ω.
Γεια σου Χαράλαμπε.
Αυτό ακριβώς ισχυρίζομαι και στον απειρισμό της ροπής στηρίζω το «παράλογο» της κίνησης.
Εντάξει ο μισός κύκλος είναι συνάρτηση.
Στη Φυσική πάντα δουλεύουμε με μοντέλα. Με αυτό το πνεύμα η άσκηση είναι μια χαρά, όπως κάνουμε και την
Απλώς λέω ότι η απροσδιοριστία στα άκρα οφείλεται στο ότι είναι κύκλος.
καλησπέρα σε όλους
αναγκάζομαι να επανέλθω, επειδή, παρά τη μεγάλη εκτίμηση που έχω στον Μίλτο, στον Ανδρέα και τον Χαράλαμπο, που έχουν αντίθετη άποψη, εξακολουθώ να ισχυρίζομαι ότι κάνουν λάθος και ότι η άσκηση “πάσχει” σοβαρά
(κάπου έχω δει παλιότερα, σε βοήθημα, μια παρόμοια)
το διάγραμμα πράγματι δείχνει συνάρτηση (σε κάθε τιμή του x αντιστοιχεί μια, μόνο, τιμή του y), αλλά το γεγονός ότι φαίνεται κύκλος δεν σημαίνει ότι το όποιο 3 στον άξονα ω είναι και 3rad/s, μπορεί να είναι 30rad/s, 10rad/s, 2rad/s, μπορεί οτιδήποτε, διότι στον άξονα των ω δεν έχει σημειωθεί κλίμακα μετρήσεων
με άλλη κλίμακα στον άξονα ω ή στον άξονα t δεν θα ήταν κύκλος
αυτή είναι η άποψή μου και, επειδή μας διαβάζουν και μαθητές, καλούνται και άλλοι συνάδελφοι, βέβαια και οι διαχειριστές, να καταθέσουν τη δική τους
εννοείται και θα αναγνωρίσω το τυχόν λάθος μου, αν αυτό τεκμηριωθεί
εν ολίγοις η πρότασή μου είναι να τροποποιηθεί η εκφώνηση της άσκησης ή, αν αυτό δεν την “σώζει”, να αποσυρθεί
Γεια σου Βαγγέλη. Νομίζω ότι τώρα κατάλαβα σωστά την ένσταση σου.
Δεν σε καλύπτει το γεγονός ότι αναφέρω “ημικύκλιο” στα δεδομένα για την αριθμητική τιμή της ω, καθώς δεν αναγράφεται η κλίμακα του άξονα.
Θα συμφωνήσω μαζί σου και ελπίζω να μπορέσω να το βελτιώσω το συντομότερο. Ευχαριστώ.
Ο Βαγγέλης έχει ένα δίκιο μια και την ίδια συνάρτηση μπορώ να την απεικονισω με διάφορους τρόπους:
Προσοχή όμως Βαγγέλη.
Από τα διαγράμματα (όχι σχήματα) που έστειλα μόνο το πάνω αριστερά είναι ορθοκανονικό. Ορθοκανονικό με την έννοια ότι το ίδιο μήκος που στον x παριστάνει το 1 s παριστάνει στον y το 1 rad/s.
Τότε η λέξη “κύκλος” σημαίνει απλά ότι η γραμμή έχει μια ιδιότητα. Υπάρχει ένα σημείο του χαρτιού από το οποίο ισαπέχουν τα σημεία της γραμμής.
Δεν έχει νόημα κάποιο Πυθαγόρειο στο επίπεδο του χαρτιού ούτε κάποια απόσταση μεταξυ δύο σημείων του ημικυκλίου, ούτε κάποια χορδή του κύκλου κ.λ.π.
Έχουν νόημα μόνο “οριζόντια” και κατακόρυφα ευθύγραμμα τμήματα.
Το μήκος των πρώτων είναι χρονικά διαστηματα και των δεύτερων μεταβολές γωνιακής ταχύτητας.
Ευχαριστώ Γιάννη για τα διαγράμματα που οπτικοποιούν αυτό που αντιλήφθηκα ως ένσταση του Βαγγέλη.
Κατάλαβα τι εννοούσες με το “κύκλος”.
Αν γράψω V=I.R και R=1Ω , και αν πληκτρολογήσω θα μου βγει στην προεπιλογή μια ευθεία με κλίση 45 μοίρες. Μπορεί να μην λέω “κλίση 45 μοιρών” αλλά να λέω “κλίση 1V/A” ή “κλίση 1 Α/V” όμως ζωγραφίζω μια ευθεία στις 45 μοίρες. Αν δίνω οδηγίες σχεδίασης σε κάποιον που μου κάνει τα σχήματα, θα του πω “45 μοίρες”.
Αυτά πρέπει να τα λάβεις υπ’ όψιν στο geogebra όπου τα γεωμετρικά σχήματα ανακατεύονται με γραφήματα στην ίδια οθόνη.
Η ουσία του θέματος είναι άλλη:
Ο απειρισμός της παραγώγου.
Θα μπορούσε ένας να ρωτήσει αν στέκει ένα διάγραμμα τέτοιο ώστε να υπάρχει κλίμακα στην οποία η απεικόνιση είναι κύκλος.
Όμως θα ήταν πολλά λόγια και κάπως γριφώδες το να καταλάβει ο άλλος ότι η τιμή της παραγώγου είναι ανεξάρτητη της κλίμακας, οπότε και στις άλλες κλίμακες απειρισμό θα είχαμε.
Είδες πόσα λόγια έγραψα;
Εσύ θα έγραφες περισσότερα στη λύση για να απόδείξεις μια τέτοια πρόταση. Μου αρέσει η οικονομία σε λύσεις. Ας μακρυγορούμε στα σχόλια.
σωστά, Γιάννη
άλλωστε έγραψα “με άλλη κλίμακα στον άξονα ω ή στον άξονα t δεν θα ήταν κύκλος ”, θα ήταν ημιέλειψη
ούτως ή άλλως, πάντως, δεν “σκοτωνόμαστε” για ορθοκανονικά διαγράμματα, απλά φροντίζουμε να “χωράνε”, να έχουν λογικές διαστάσεις, μην και χρειάζονται 5 σελίδες στον κατακόρυφο άξονα π.χ., αν πάρουμε σχετικά μικρή κλίμακα
ούτε και ασχολούμαστε με Πυθαγόρεια και άλλα τινά, διότι τα “μήκη” είναι ανόμοια μεγέθη, δεν είναι μήκη Γεωμετρίας, ως “μήκη” συγκρίνονται, ως μεγέθη όχι