by Το πόσο σπουδαία είναι η θεωρητική μηχανική, δεν περιμένετε να το μάθετε από μένα! Αλλά εγώ θα ήθελα να κάνω μια ακόμη προσπάθεια αποσαφήνισης κάποιων πραγμάτων, επί του πρακτέου. Για την διδασκαλία τη Φυσικής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση…
Έτσι ας αφήσουμε τους ορισμούς που κυκλοφορούν, τα πολύπλοκα μαθηματικά, που πολλές φορές μας μπερδεύουν, και, ας μιλήσουμε συγκεκριμένα. Ποιες συντηρητικές δυνάμεις διδάσκουμε στο σχολείο;
Αν αφήσουμε στην άκρη τις πυρηνικές, διδάσκουμε τις βαρυτικές δυνάμεις, τις ηλεκτροστατικές και τις δυνάμεις των ελαστικών παραμορφώσεων (δύναμη του ελατηρίου). Αυτές τις τρεις κατηγορίες δυνάμεων ονομάζουμε διατηρητικές (συντηρητικές…) και τα έργα αυτών των δυνάμεων συνδέονται με κάποια μορφή δυναμικής ενέργειας. Όταν μιλάμε για μηχανική ενέργεια και για ΑΔΜΕ, μορφές ενέργειας που συνδέονται με αυτές τις δυνάμεις έχουμε. Αν σε ένα σύστημα ασκούνται μόνο τέτοιες δυνάμεις, τότε διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Αν σε αυτό υπάρχει διαφωνία, ας διατυπωθεί και ας μην διαβαστεί το κείμενο παρακάτω… Η συζήτηση τελειώνει εδώ.
Δεν μπορεί ο καθένας μας να θεωρεί οποιαδήποτε δύναμη ως συντηρητική και να την συνδέει με δυναμική ενέργεια και να μιλάει για διατήρηση μηχανικής ενέργειας. Αν το κάνει ουσιαστικά χάνει κάθε νόημα η συζήτηση και η διάκριση της μηχανικής ενέργειας. Ας μιλάμε τότε για ενέργεια και διατήρησή της, αλλά όχι για μηχανική ενέργεια.
Και ας έρθουμε τώρα στις ταλαντώσεις. Το πρώτο που μας ενδιαφέρει είναι ποιες δυνάμεις ασκούνται στο σώμα και είναι υπεύθυνες για την ταλάντωσή του. Ο στόχος μας είναι να καταλήξουμε στην εξίσωση:
ΣF=-Dx (1)
Αφού η εξίσωση αυτή, καθορίζει μονοσήμαντα την επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώμα και στην συνέχεια θα μπορέσουμε να γράψουμε τις γνωστές εξισώσεις x=Α∙ημ(ωt+φ), υ=υ(t) και α=α(t). Ολοκληρώνουμε δηλαδή την κινηματική και δυναμική μελέτη του σώματος που ταλαντώνεται, χωρίς καμιά αναφορά στην φύση των ασκούμενων δυνάμεων. Ας είναι οποιεσδήποτε δυνάμεις και οποιαδήποτε η φύση τους…
Την παραπάνω κίνηση, έχω προτείνει από το 2010 να ονομάζουμε «αρμονική ταλάντωση», στην ανάρτηση:
Υπέρ Κινηματικής ο λόγος, αλλά και μια διδακτική πρόταση…(αατ και αρμονική ταλάντωση)
Δεν θα είχα κανένα πρόβλημα βέβαια να πάρει οποιοδήποτε άλλο όνομα, αρκεί να είναι σαφές, ότι μέχρι εδώ δεν έχουμε μιλήσει για ενέργειες. Είναι μια γενική κίνηση, όπως μια γενική κίνηση είναι η ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Και όταν μιλάμε γι΄ αυτήν την κίνηση δεν σκεφτόμαστε μόνο την ελεύθερη πτώση…
Αν θέλουμε να μιλήσουμε για ενέργειες, πρέπει να επιστρέψουμε στην εξίσωση (1). Ποιες δυνάμεις είναι αυτές που μας δίνουν την συνισταμένη αυτή; Ας δούμε στο παρακάτω σχήμα, μερικές περιπτώσεις και τις ασκούμενες δυνάμεις.
Στο πρώτο σχήμα (απλό εκκρεμές) ασκείται στο σώμα το βάρος, δύναμη συντηρητική η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=mgh). Στο μεσαίο, στην διεύθυνση κίνησης (οι κατακόρυφες δίνουν μηδενική συνισταμένη και δεν καθορίζουν την κίνηση) ασκείται η δύναμη του ελατηρίου και αυτή συντηρητική, η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U= ½ k(Δl)2). Στο δεξιό σχήμα ασκούνται δύο ηλεκτροστατικές δυνάμεις από ακίνητα φορτία, δυνάμεις συντηρητικές, οπότε και η συνισταμένη τους είναι επίσης συντηρητική η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=kcqq1/r).
Συμπέρασμα, και στις τρεις αυτές περιπτώσεις ορίζουμε δυναμική ενέργεια για την ταλάντωση, αφού η συνισταμένη ΣF είναι συντηρητική, οπότε η κίνηση είναι μια ΑΑΤ (με τα… όλα της). Το ίδιο συμβαίνει και στα παρακάτω σχήματα, όπου στο σώμα δεν ασκείται μια συντηρητική δύναμη, αλλά περισσότερες.
Αλλά αν οι επιμέρους συνιστώσες είναι συντηρητικές και η συνισταμένη θα είναι συντηρητική και θα ορίζεται δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U= ½ Dx2.
Σχεδιάστε σχήμα με 23 ελατήρια, δύο βαρυτικά πεδία και 34 ακίνητα φορτία, ενώ είναι φορτισμένο το ταλαντούμενο σώμα. Όλες οι δυνάμεις αυτές είναι συντηρητικές, οπότε συντηρητική θα είναι και η συνισταμένη ΣF=-Dx, οπότε ορίζεται η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και η κίνηση είναι ΑΑΤ.
Αν όμως στο σώμα ασκείται για παράδειγμα μια αντίσταση του αέρα, όπως στο σχήμα, τότε η συνισταμένη θα έχει τρεις συνιστώσες, δύο συντηρητικές (w και Fελ) και μια μη συντηρητική (Fαπ=-b∙υ). Αλλά τότε ΔΕΝ διατηρείται η μηχανική ενέργεια και η συνισταμένη δύναμη δεν συνδέεται με κάποια δυναμική ενέργεια, όπου WΣF Α→Β=UΑ-UΒ.
Θα ρωτήσει κάποιος δηλαδή τώρα δεν έχουμε δυναμική ενέργεια ταλάντωσης;
Και βέβαια έχουμε, αλλά αυτή συνδέεται με τις συντηρητικές συνιστώσες (w και Fελ, δηλαδή την δύναμη επαναφοράς -kx και όχι με κάποιο D, το οποίο καθορίζεται και από την μη συντηρητική δύναμη Fαπ. Να θυμίσω ότι στην φθίνουσα ταλάντωση έχουμε μια μικρή αύξηση της περιόδου σε σχέση με την αμείωτη, άλλο αν την προσεγγίζουμε, κατά την διδασκαλία μας).
Έτσι αν φτάσουμε στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, όπου επιπλέον ασκείται στο σώμα και μια εξωτερική δύναμη Fεξ από τον διεγέρτη;
Τώρα η συνισταμένη προκύπτει από δύο συντηρητικές δυνάμεις (w και Fελ), όπου η συνισταμένη τους F1=Fελ-w=-kx, είναι επίσης συντηρητική, και συνδέονται με δυναμική ενέργεια U= ½ k∙x2 και δύο μη συντηρητικές (Fεξ, Fαπ), οι οποίες δεν συνδέονται με δυναμικές ενέργειες.
Η κίνηση είναι μια αρμονική εξαναγκασμένη ταλάντωση (μετά τα μεταβατικά φαινόμενα), αλλά δεν είναι η γνωστή μας ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης σταθερή και ίση με ½ DΑ2= ½ mω2∙Α2, αφού αυτή η σταθερά D καθορίζεται και από δύο μη συντηρητικές δυνάμεις.
ΥΓ
Νόμιζα ότι το ζήτημα είχε διευκρινιστεί, άσχετα με την θέση που παίρνει ο καθένας μας πάνω στο ζήτημα.
Φαίνεται ότι έκανα λάθος, πράγμα που με οδήγησε στην παρούσα ανάρτηση.
Μέχρι την επόμενη φορά…
Καλησπέρα συνάδελφοι. Ευχαριστώ για την συμμετοχή και το σχολιασμό, τους νέοεισερχόμενους Κωνσταντίνο, Αποστόλη, Άρη, Γιάννη και Θοδωρή.
Ανδρέα δεν καταλαβαίνω γιατί:
“Μας ενοχλεί ωστόσο διότι συμβατικά περιορίζουμε αυτόν το χαρακτηρισμό στη βαρυτική, την ηλεκτρική και την δύναμη του ελατηρίου. (Αν και θα προτιμούσα να περιοριζόμαστε, ακόμη περισσότερο, μόνο σε πεδιακές δυνάμεις, δηλαδή στη βαρυτική και την ηλεκτρική δύναμη και να αφήναμε απ’ έξω τη δύναμη του ελατηρίου. Εξ άλλου αναφερόμαστε σε διατηρητικά πεδία.)”
Προσωπικά καθόλου δεν με ενοχλεί που περιοριζόμαστε στις τρεις αυτές κατηγορίες δυνάμεων, αφού αυτές τις δυνάμεις θα συναντήσει ο μαθητής στο σχολείο. Τα υπόλοιπα είναι “γέφυρες” για θεωρητική μηχανική και μαθηματικό παιχνίδι…
Όσον αφορά τη δύναμη του ελατηρίου, ένας κατ΄εξοχήν θεωρητικός, ο Μαχαίρας, μιλούσε για πεδίο δύναμης και όχι για ελατήριο! Αρνιόταν δε επί χρόνια να ασχοληθεί με την δυναμικη ενέργεια του ελατηρίου, μιλώντας για την δυναμική ενέργεια του σώματος, κάτω από την επίδραση της πεδιακής δύναμης της μορφής F=-Dx… Όποιος παρακολουθούσε υλικονέτ 2009-2015 θα το γνωρίζει, αφού το θέμα επανερχόταν με μεγάλη συχνότητα…
Αν θα επρόκειτο να δίδασκα σε κάποιο μεταπτυχιακό τμήμα Ανδρέα, να είσαι σίγουρος ότι έτσι θα το διατύπωνα. Στο Λύκειο προτιμώ να βλέπω ελατήριο και ελαστική παραμόρφωση.
Κωνσταντίνε, το “να κόβεις δρόμο” είναι καλό! Και όλες οι χορευτικές φιγούρες είναι απόλαυση και ομορφαίνουν το χορό, προφυλλάσοντάς μας από τις μονότονες κινήσεις που επιβάλλει η επαναλαμβανόμενη εκτέλεση συγκεκριμένων βημάτων.
Απλά για να κάνεις θεαματικές καντρίλιες, πρέπει να ξέρεις τέλεια τα βήματα και να έχεις προπονηθεί να μπορείς να τα κάνεις, χωρίς να βάζεις ο ίδιος, τρικλοποδιές στα πόδια σου 🙂
Και μιλώντας για διασκαλία, οι μαθητές πρέπει να διδαχτούν πρώτα τα βήματα του ταγκό και στην συνέχεια, μπορεί να τους επέτρεπα και καμιά φιγούρα, έτσι για εμπλουτισμό…
Καλησπέρα Ανδρέα, κατά τη γνώμη μου την “καλή Φυσική” και το “καλό μαγαζί” την κάνει η διδασκαλία σωστής φυσικής.
Σε αυτό πιστεύω πως συμφωνούμε.
Τα υπόλοιπα ας τα συζητήσουμε μεταξύ μας σχολείο, αφού βρισκόμαστε
και εκεί
Διευκρίνηση σχετικά με το “τι μας ενοχλεί”:
Κατά μήκος οποιασδήποτε κλειστής διαδρομής το έργο κάθε σταθερής δύναμης είναι μηδενικό, ανεξάρτητα από το είδος της δύναμης
Επίσης στο σχολικό βιβλίο αναφέρεται: “Τις δυνάμεις
αυτές, όπως το βάρος, που το έργο τουςκατά μήκος
μιαςοποιασδήποτε κλειστής διαδρομής είναι μηδέν και κατάσυνέπεια συντηρούν (διατηρούν) την ενέργεια του συστήματος στο οποίο δρουν, τις ονομάζουμε συντηρητικές ή
διατηρητικές δυνάμεις.”
Σύμφωνα λοιπόν με αυτό τον ορισμό, κάθε σταθερή δύναμη, ανεξάρτητα από το είδος της, είναι διατηρητική.
Αυτό το συμπέρασμα είναι ενοχλητικό και γι’ αυτό στις διατηρητικές δυνάμεις περιλαμβάνουμε, συμβατικά, μόνο τη βαρυτική, την ηλεκτρική και τη δύναμη του ελατηρίου.
Διευκρίνιση σχετικά με τη δύναμη του ελατηρίου:
Δεν διατύπωσα την άποψη να πάψουμε να μιλάμε για ελατήρια και να αρχίσουμε να μιλάμε για πεδιακές δυνάμεις της μορφής -κx.
Ανδρέα, θα ήθελα να διαβάσω ΕΝΑ λόγο για τον οποίο κατά τη διασκαλία της Φυσικής στο Λύκειο, πρέπει να διδαχτεί το ότι μια σταθερή δύναμη είναι συντηρητική.
Αυτό σε τι θα βοηθούσε έναν μαθητή; Σε τι θα του άνοιγε ορίζοντες;
Για να μάθει ότι μπορούμε να ορίσουμε άπειρες συντηρητικές δυνάμεις;
Για να διαβάσουμε εμείς θεωρητική μηχανική και να ξεστραβωθούμε;
Δηλαδή το ότι η κάθετη αντίδραση του επιπέδου, παράγει μηδενικό έργο σε κάθε κλειστή διαδρομή, πού θα χρησιμεύσει; Σε τι βοηθάει;
Εκτός βέβαια αν θεωρείς Φυσική, το ότι θα καλέσεις το μαθητή να αποδείξει ότι το παραπάνω έργο της Ν είναι μηδενικό, δίνοντάς του μια συγκεκριμένη κλειστή διαδρομή.
Αν αυτό το θεωρείς μεγάλο στόχο κατά την διασκαλία σου, μπορείς να το κάνεις…
Δεν διατύπωσα την άποψη ότι“ κατά τη διδασκαλία της Φυσικής στο Λύκειο, πρέπει να διδαχτεί το ότι μια σταθερή δύναμη είναι συντηρητική.” όπως αναφέρεις.
Τότε γιατί την βάζεις στην συζήτηση;
Δες πάλι την πρώτη Διευκρίνιση.
Καλησπέρα Αντρέα.
Η σειρά «αυστηρότητας» κατά την ανάπτυξη της έννοιας του συντηρητικού πεδίου είναι, νομίζω.
1. Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα πεδίο Α να είναι συντηρητικό, είναι να ισούται με την κλίση μιας συνάρτησης φ
Αν πρόκειται για δυναμικό πεδίο τότε
F= – gradV
όπου γενικά V(x,y,z,t) το δυναμικό και gradV η βαθμίδα του πεδίου σε τρεις διαστάσεις .
2. Αν μια τέτοια δύναμη προέρχεται από δυναμικό ΜΗ εξαρτώμενο από το χρόνο, δηλαδή V(x,y,z), τότε κατά την μετακίνηση υλικού σημείου από μια θέση Α σε μια άλλη Β, το έργο της δύναμης εξαρτάται μόνο από τα Α και Β και όχι από τον δρόμο που θα ακολουθήσει το υλικό σημείο.ή το έργο κατά την κίνηση σε κλειστή διαδρομή είναι μηδέν.
Επίσης τότε, δηλαδή όταν V(x,y,z) η ολική μηχανική ενέργεια κατά την μετακίνηση υλικού σημείου μένει σταθερή.
3. Οι κεντρικές δυνάμεις F=F(r) είναι συντηρητικές.
4. (Για την περίπτωση της δευεροβάθμιας) Οι βαρυτικές, οι ηλεκτροστατικές και οι δυνάμεις από ελατήρια είναι συντηρητικές.
Προτείνεις να το παρουσιάζουμε στο σχολείο από το βήμα 2 και όχι από το 4. Δεν ξέρω αν είναι πιο βοηθητικό για τα παιδιά, Με το βήμα 4 το παρουσιάζει το βιβλίο, όπως το έδειξε ο Διονύσης. Ίσως καλλίτερος δρόμος να είναι το 4 και μετά με κάποιο κατάλληλο τρόπο ανάλογα με την τάξη το 2.
Υ.Σ. «Αν και θα προτιμούσα να περιοριζόμαστε, ακόμη περισσότερο, μόνο σε πεδιακές δυνάμεις, δηλαδή στη βαρυτική και την ηλεκτρική δύναμη και να αφήναμε απ’ έξω τη δύναμη του ελατηρίου. Εξ άλλου αναφερόμαστε σε διατηρητικά πεδία.»
Σε παλαιότερη ανάλογη κουβέντα είχα υποστηρίξει και εγώ ότι στη περίπτωση της δύναμης του ελατηρίου δεν έχει νόημα το πεδίο αφού δεν έχουμε πηγή του πεδίου, κατάλληλο υπόθεμα και είναι δύναμη από επαφή,
Αλλά αυτό ας το θεωρήσουμε εδώ δευτερεύον.
Παιδιά η θεωρητική μηχανική περιγράφει κομψά την πραγματικότητα, δεν είναι η πραγματικότητα. Ονομάζει (και καλά κάνει) ” δυναμικό πεδίο” μια δύναμη συνάρτηση των (x,y,z).
Αυτό δεν σημαίνει ότι ένας μηχάνημα είναι πεδίο.
Δεν σημαίνει ότι μια τριβή είναι πεδίο.
Τέτοιες παραδοχές οδηγούν σε λάθη, όπως αυτό της πρόσφατης ανάρτησης που έκανα. Και σε πολλά άλλα λάθη, όπως στα κύματα και στις εξαναγκασμένες.