by 
Ανεξάρτητο της διαδρομής, αλλά συντηρητική είναι;
Καλημέρα σε όλους.
Η ανάρτηση αυτή αφιερώνεται στον Διονύση Μάργαρη και στον Γιάννη Κυριακόπουλο. Έχουν δαπανήσει ώρες σκέψης και γραφής για να … διατηρήσουν αυτά που ξέρουμε για τις διατηρητικές δυνάμεις.
Διευκρινίζω ότι δεν είναι δική μου η ιδέα. Την είχα δει πριν 30 χρόνια σε ένα εξωσχολικό για τις δέσμες. Θυμάμαι το πρόβλημα, αλλά όχι πού το βρήκα.
Να είστε όλοι καλά!!!
Ανεξάρτητο της διαδρομής, αλλά συντηρητική είναι;
Καλησπερα σε ολους. Ενα διανυσματικο πεδιο ειναι διανυσματικη συναρτηση μονο της θεσης. Η ταση ενος νηματος ποτε δεν μπορει να ειναι ισοδυναμη με πεδιακη δυναμη εκτος αν κανουμε εναν φανταστικο συσχετισμο και πουμε οτι σε καθε σημειο του χωρου αντιστοιχιζουμε μια ταση ενος νηματος. Το ιδιο θα μπορουσαμε να φανταστουμε για καποια στατικη τριβη, λεγοντας οτι σε καθε σημειο του χωρου αντιστοιχιζουμε μια στατικη τριβη ή για οποιαδηποτε αλλη δυναμη. Ενας μαθηματικος θα μπορουσε να το κανει ακομα και χωρις να ξερει τι ειναι η ταση νηματος. Ενας συσχετισμος ομως μιας συγκεκριμενης δυναμης η οποια παραγεται απο εναν μηχανισμο,με ενα διανυσματικο πεδιο,πρεπει να ειναι ρεαλιστικος,αλλοιως μπορουμε να φανταζομαστε οτιδηποτε. Η δυναμη ενος ελατηριου ειναι πεδιακη διοτι η εξαρτηση της μονο απο την θεση ειναι χειροπιαστη ιδιοτητα του μηχανισμου ελατηριο – σωμα. Απο οποια θεση και να το περασεις,με ταχυτητα ή χωρις ταχυτητα, η δυναμη ειναι η ιδια. Αυτο δεν μπορει να γινει ουτε για τασεις νηματων ουτε για τριβες,ουτε για δυναμεις χεριων ή ποδιών. Στην υλη του Λυκειου οι μονες πεδιακες δυναμεις ειναι η ηλεκτροστατικη δυναμη,η δυναμη βαρυτητας και η δυναμη του ελατηριου. Οποιοσηποτε συσχετισμος αλλης δυναμης με ενα διανυσματικο πεδιο ειναι φαντασια και οχι πραγματικοτητα.
Διευκρινίσεις και βελτιώσεις.
(α) Υπό τις προϋποθέσεις που έθεσα, και βέβαια η τάση του νήματος μπορεί να ισοδυναμει με πεδιακή δύναμη. Παράδειγμα η μηχανή του Atwood, δηλαδή δύο βάρη συνδεδεμένα με ένα νήμα που διέρχεται από ιδανική τροχαλία. Η τάση ισούται πάντα με τη διαφορά των βαρών. Αυτό το παράδειγμα δεν το είχα σκεφτεί όταν απαντούσα στον κύριο Μάργαρη ότι χρειάζονται δύο πεδία για να μοντελοποιηθεί η τάση ενός νήματος Τ = 1,2*m*g. Στη μηχανή του Atwood μπορώ να το γράψω και ως T = (1,2*m)*g, οπότε το άλλο σώμα έχει μάζα 1,2m και χρειάζεται ένα μόνον πεδίο.
β) Η συνάρτηση της ταχύτητας που δίνει την τριβή ολίσθησης δεν είναι και κάτι το δύσκολο: Διάνυσμα τριβής ολίσθησης = -(v/||v||) ||F||. Έτσι είναι πάντα αντιθετη της ταχύτητας, έχει μέτρο ταχύτητας σταθερό (F) και μηδενίζεται για ταχύτητα μηδέν.
γ) Στη συζήτηση μιλούσαμε για την “τριβή” του αρχικού προβλήματος, που αναφέρεται σε κίνηση. Η στατική τριβή είναι κάτι άλλο, που δεν μπορεί να οριστεί ως συνάρτηση, επειδή στο ίδιο σημείο παίρνει οποιαδήποτε τιμή από 0 έως το όριο έναρξης κίνησης. Ενώ διδάσκεται στο Λύκειο δεν μπορεί να μοντελοποιηθεί με εύκολο τρόπο.
Αν μου διέφυγε κάποια ερώτηση/απορία, παρακαλώ ενημερώστε με.
Καλημέρα σε όλους.
Παντελεήμων, Κωνσταντίνε σας ευχαριστώ και σας για τα σχόλια και τη συμμετοχή!
Καλημέρα κύριε Βάρβογλη.
Όταν λέτε ότι η τριβή είναι αντίθετη της ταχύτητας εννοείτε προφανώς “αντίθετη της σχετικής ταχύτητας”. Διότι εδώ:
Το υπόβαθρο (ιμάντας αν θέλουμε) επιταχύνεται. Το σώμα δέχεται δύναμη τριβής ολίσθησης ίδιας φοράς με αυτήν της ταχύτητας.
Εννοείτε δηλαδή ότι αυτό ισχύει στη συγκεκριμένη περίπτωση της ανάρτησης που ο διάδρομος είναι ακίνητος.
Επίσης κύριε Βάρβογλη το να δεχθούμε ως πεδιακή την τάση του νήματος στην περίπτωση της μηχανής Άτγουντ γεννά προβλήματα.
Μια πεδιακή δύναμη δεν μεταβάλλεται όταν κάποια άλλη τροποποιεί την κίνηση του σώματος.
Έτσι αν ένα χέρι σύρει προς τα κάτω το ελαφρύ σώμα, ενώ το βάρος παραμένει ίδιο, η τάση αλλάζει τιμή και εξαρτάται από την επιβληθείσα κίνηση. Αν αυτή είναι ευθύγραμμη και ομαλή τότε η τάση γίνεται F-m1.g
Έτσι για να κατεβάσουμε το ελαφρύ σώμα κατά 2 m λ.χ. προσφέρουμε έργο 10 J.
Αφήνουμε τη μηχανή να κινηθεί και το έργο της τάσης στο ελαφρύ σώμα είναι μόνο 4 J.
Δηλαδή αν δούμε το ελαφρύ σώμα μεμονωμένα έχουμε μια δυναμική ενέργεια που δεν είναι ίση με το έργο που προσφέραμε για να αποκτηθεί. Είναι ίση με τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας όλου του συστήματος και όχι με την μεταβολή της δυναμικής του σώματος.
Για τον κύριο Κυριακόπουλο. Φυσικά πρόκειται για σχετική ταχύτητα. Όσο για την διαταραχή του νήματος με τα δάχτυλα, αυτή η δύναμη και βέβααια δεν είναι πεδιακή, είναι συνάρτηση του χρόνου και της θέλησής μας. Άρα παραβιάζει τους περιορισμούς που έθεσα: συνάρτηση ΜΟΝΟ της θέσης ΣΕ ΕΝΑΝ ΒΑΘΜΟ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ή σταθερή. ΠΡΟΣΟΧΗ, αυτό δεν σημαίνει πως δεν υπάρχουν δυνάμεις από δυναμικό συνάρτηση του χρόνου ή και άλλων χωρικών μεταβληρών. Αλλά σε αυτή την περίπτωση τίθενται περισσότεροι περιορισμοί.
Καλημέρα συνάδελφοι. Ευχαριστώ κύριε Βάρβογλη για την απάντηση.
Παντελεήμονα, Φυσική στο Πανεπιστήμιο διάβασα από
Αλεξόπουλο
Halliday Resnick
Serway
Young
Video μαθήματα του ΜΙΤ
https://youtu.be/mLLUgcvQLgY?si=wkADqQNH-bdOKm_9
Για ποια μοντελοποίηση αναφέρεσαι; Η ύπαρξη της τριβής εξαρτάται από την εκπαιδευτική βαθμίδα; Δεν είναι μια πραγματική δύναμη; Δεν εμποδίζει τη σχετική κίνηση; Η εξίσωση που δίνει την οριακή τριβή είναι λάθος;
Κύριε Βάρβογλη κατάλαβα τις προϋποθέσεις όμως δεν εκφράστηκα καλά.
Κάτι συνηθισμένο όταν γράφω κάτι γενικά χωρίς σχήμα.
Εντοπίζω έναν κίνδυνο. Ένα λάθος που έχει γίνει:
Φτιάχτηκε κάτι που χαρακτηρίστηκε δυναμική ενέργεια, το οποίο δεν έχει σχέση με το έργο που πρέπει να προσφέρω για να οδηγήσω στην κατάσταση στην οποία αναφέρεται η δυναμική ενέργεια αυτή.
Με κλικ στην εικόνα αυτή μεγεθύνεται.
Ας προσεχθεί και κάτι άλλο:
Το έργο της τάσης του νήματος στο αριστερό σώμα από την αριστερή θέση στην δεξιά είναι 48J όταν η μηχανή κινείται ελεύθερα.
Όταν κινείται (ίσως λόγω αντιστάσεων) με σταθερή ταχύτητα, το έργο είναι 40 J.
Αυτό δεν συμβαίνει με το έργο του βάρους του αριστερού σώματος που είναι -40J όποια και αν είναι η επιτάχυνση της κίνησης.
Κύριε Κυριακόπουλε, η μηχανή Atwood σίγουρα περιγράφεται ως δυναμικό σύστημα, είτε ως σύνολο με αναλυτική μηχανική είτε ως δύο μεμονωμένα σώματα με τη μηχανική του Νεύτωνα. Όταν δεν βγαίνουν τα νούμερα, συνήθως έχουμε κάνει λάθος στις μονάδες, στο σύστημα συντεταγμένων ή στον ορισμό της δυναμικής ενέργειας. Για παράδειγμα, η παράγωγος της δυναμικής ενέργειας του ενός σώματος που χρησιμοποιήσατε δίνει δίναμη Β_1 – Β_2;
Κύριε Βάρβογλη τα νούμερα είναι απολύτως σωστά.
Προσομοίωση ακρίβειας 200 είναι και όχι υπολογισμοί δικοί μου.
Φυσικά και οι εκ των υστέρων υπολογισμοί μου ταυτίζονται με τα αποτελέσματα της προσομοίωσης.
Έρχομαι στην παράγωγο της δυναμικής ενέργειας του αριστερού σώματος, με την παραδοχή φυσικά ότι η τάση συνδέεται με δυναμική ενέργεια.
Αυτή είναι άθροισμα δύο δυναμικών ενεργειών. Λόγω βέρους που είναι 20.x (S.I.) και της (ούτως ειπείν φυσικά) δυναμικής της τάσης που είναι -24.x (S.I.)
Αθροίζουμε και έχουμε συνολική δυναμική ενέργεια -4.x (S.I.).
Παραγωγίζουμε και έχουμε -4N. Επειδή ΣF=-gradU καταλαβαίνουμε ότι η συνισταμένη είναι 4Ν.
Όντως 4Ν είναι η συνισταμένη της τάσης και του βάρους του αριστερού σώματος.
Η διαφορά των δύο βαρών είναι 10 Ν και όχι 4 Ν.
Η διαφορά των δύο βαρών δεν είναι ίση με το αντίθετο της παραγώγου της (ούτως κληθείσης) δυναμικής ενέργειας του αριστερού.
Το παράδειγμα ήταν για το δεξιό σώμα. Σε αυτό, που έχει βάρος Β_1, εφαρμοζεται τάση Β_2 > Β_1. Αρχίζει λοιπόν να κινείται σε ένα πεδίο σταθερής δύναμης Β_2 – Β_1. Η δυναμική ενέργεια αυτού του πεδίου είναι (Β_2 – Β_1) * h. Δεν χρειάζεται κάποια προσομοίωση, το πρόβλημα λύνεται αναλυτικά.
Φυσικά λύνεται αναλυτικά και μάλιστα εύκολα.
Με την προσομοίωση απαλλάσσω τον συνομιλητή μου από πράξεις.
Φυσικά για να την φτιάξω και να έχει βολικά νούμερα έκανα πράξεις προηγουμένως.
Ο συνομιλητής πείθεται ότι δεν έχω κάνει λάθος.
Ας βάλω πάλι το στιγμιότυπο.
Για το δεξιό σώμα:
Αν αποδώσουμε δυναμική ενέργεια στην τάση του νήματος αυτή είναι -Τ.x=-24x (S.I.)
Η δυναμική λόγω βάρους είναι w.x=30x (S.I.)
Η “συνολική” ενέργεια του δεξιού είναι U=4x (S.I.)
Το -gradU είναι +4Ν. Είναι ίση με τη συνισταμένη των w και Τ.
Δεν είναι ίση με Β2-Β1.
Θα συμφωνήσω πως (Β2-Β1).x είναι η βαρυτική δυναμική ενέργεια του συστήματος.
Δεν είναι η (ούτως ειπείν) δυναμική ενέργεια του δεξιού σώματος.
Αυτή είναι 30x (βαρυτική) και -24x (η αποδιδόμενη στην τάση). Συνολικά είναι 4x.