by 
Ανεξάρτητο της διαδρομής, αλλά συντηρητική είναι;
Καλημέρα σε όλους.
Η ανάρτηση αυτή αφιερώνεται στον Διονύση Μάργαρη και στον Γιάννη Κυριακόπουλο. Έχουν δαπανήσει ώρες σκέψης και γραφής για να … διατηρήσουν αυτά που ξέρουμε για τις διατηρητικές δυνάμεις.
Διευκρινίζω ότι δεν είναι δική μου η ιδέα. Την είχα δει πριν 30 χρόνια σε ένα εξωσχολικό για τις δέσμες. Θυμάμαι το πρόβλημα, αλλά όχι πού το βρήκα.
Να είστε όλοι καλά!!!
Ανεξάρτητο της διαδρομής, αλλά συντηρητική είναι;
Για το Διονύση. Το x στον όρο d^2x/(dt)^2 της διαφορικής εξίσωσης md^2x/(dt)^2 = F(x) είναι το ίδιο με το x στη συνάρτηση F(x). Πρόκειται για το φυσικό μέγεθος θέση του υλικού σημείου σε ευθύγραμμη κίνηση, που προφανώς είναι συνάρτηση του χρόνου ( x=x(t)). Η συνάρτηση αυτή βρίσκεται με τη λύση της διαφορικής εξίσωσης δεδομένων των αρχικών συνθηκών. Κάνω κάπου λάθος;; Αλλά είναι δυνατόν να χάνουμε τον χρόνο μας με αυτά ;
Καλημέρα Γιώργο.
Να … χάνουμε χρόνο με αυτά, βεβαίως, αφού δίνουμε διαφορετική έννοια.
Το x είναι ένα σημείο του χώρου και μπαίνει στην όποια διαφορική, όταν το υλικό σημείο βρίσκεται στην θέση αυτή. Αυτό το x, δεν έχει καμιά σχέση με την κίνηση που κάνει ή που δεν κάνει το σώμα και προφανώς δεν συνδέεται με καμιά χρονική εξίσωση κίνησης. Τι σημαίνει αυτό; Ότι η τιμή της δύναμης σε μια θέση δεν έξαρτάται από το πότε το σώμα θα βρεθεί στη θέση αυτή… Δεν εξαρτάται από την εξίσωση κίνησης. Δεν εξαρτάται από το αν το σώμα εκτελεί αατ ή φθίνουσα ταλάντωση ή ευθύγραμμη ομαλή κίνηση!!!
Το έχει γράψει ο Στάθης:
“Διαφωνούμε στο εξής: Αν την ίδια μαθηματικά δύναμη την ασκούσε ένας μηχανισμός, δεν υπάρχει φυσικό νόημα στην δυναμική ενέργεια για να την ορίσεις. Κατά την γνώμη μου μπερδεύεις το μοντέλο με την πραγματικότητα. Η κίνηση του υλικού σημείου (όπως γράφεις με έντονη γραμματοσειρά), δεν είναι το φαινόμενο, άρα δεν δινει σωστή ενεργειακή περιγραφή.
Οπότε για να μην μιλάμε με γενικότητες. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση μπορείς να ορίσεις την δυναμική ενέργεια μέσω της ΣF, χωρίς να αναφερθείς στις εξισώσεις της κίνησης; Αν όχι, τότε δεν έχει νόημα η συζήτηση, θα κάνουμε συνεχώς κύκλους.”
και το επεσήμανα με δύο σχόλια, τα οποία μεταφέρω και εδώ…
Το πρώτο σχόλιο για το ηλεκτρικό πεδίο, από εδώ:
…..
Ας μου επιτρέψετε να αναφερθώ λίγο παραπάνω στο θέμα και πρώτα – πρώτα δίνοντας το παράδειγμα του ηλεκτροστατικού πεδίου, ενός ακλόνητου φορτίου -Q, μέσα στο οποίο ένα άλλο σημειακό φορτίο +q κινείται.
Στο πρώτο σχήμα το φορτίο q αφήνεται από κάποιο σημείο και έλκεται πλησιάζοντας το φορτίο Q. Μόλις περνά από το σημείο Α δέχεται από το πεδίο μια ορισμένη ελκτική δύναμη F, μέτρου F=1Ν.
Στο 2ο σχήμα το ίδιο φορτίο εκτοξεύεται από ένα σημείο, ακολουθεί ελλειπτική τροχιά και μετά από λίγο περνά από το σημείο Α, με ταχύτητα υ. Στην θέση Α δέχεται την ίδια όπως και πριν δύναμη F=1Ν.
Στο 3ο σχήμα ένα μικρό μπαλάκι, που φέρει φορτίο q, είναι δεμένο στο άκρο νήματος και διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Κ, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάθε φορά που περνά από το σημείο Α, δέχεται την ίδια δύναμη F=1Ν!
Αυτό συνάδελφοι σημαίνει δύναμη, η τιμή της οποίας εξαρτάται μόνο από την θέση. Η δύναμη στο σημείο Α, δεν εξαρτάται από την κίνηση που κάνει το σωματίδιο με φορτίο q. Δεν θα γράψουμε εξισώσεις κίνησης, για να αποδώσουμε ή να μην αποδώσουμε δυναμική ενέργεια ή δύναμη στο σωματίδιο. Όποια κίνηση και να κάνει το σωματίδιο, στο σημείο Α θα δέχεται πάντα την ίδια δύναμη!!!
Και κάτι ακόμη. Αυτό συμβαίνει σε κάθε σημείο του χώρου γύρω από το φορτίο Q. Έτσι φτάνουμε στο πεδίο, και μιλάμε και για «πεδιακή» δύναμη!
Το ηλεκτροστατικό πεδίο…
Και το 2ο σχόλιο, για το ελατήριο:
Το σώμα βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Στο 1ο σχήμα ισορροπεί στη θέση Α, με την επίδραση δύναμης F, ενώ δέχεται δύναμη από το ελατήριο Fελ=1Ν, με κατεύθυνση προς τα αριστερά, αφού το ελατήριο έχει κάποια επιμήκυνση.
Στο 2ο σχήμα το σώμα έχει κάποια ταχύτητα προς τα δεξιά, κινούμενο ευθύγραμμα. Αλλά όταν περνά από το Α, δέχεται την ίδια δύναμη Fελ=1Ν από το ελατήριο.
Στο 3ο σχήμα το σώμα διαγράφει επίπεδη κίνηση αφού έχει εκτοξευθεί από κάποιο σημείο και μετά από λίγο περνά από τη θέση Α. Και πάλι, ανεξάρτητα της κίνησης, θα δεχτεί την ίδια με πριν, δύναμη Fελ=1Ν.
Κάθε φορά που το σφαιρίδιο περνά από το σημείο Α, θα δέχεται την ίδια πάντα δύναμη. Μπορούμε δηλαδή και εδώ να ορίσουμε ένα πεδίο δύναμης, μιας συντηρητικής δύναμης, όπως ακριβώς κάνουμε και στην περίπτωση του ηλεκτροστατικού πεδίου.
Και σε αυτό το πεδίο δύναμης (το οποίο υλοποιείται από το ελατήριο) ορίζεται δυναμική ενέργεια U= ½ k(Δl)2, η οποία είναι μια υπαρκτή πραγματικότητα και όχι κάτι αφηρημένο που κάποιος μπορεί να θεωρήσει ή να μην θεωρήσει ότι υπάρχει. Αλλά προσοχή η ενέργεια αυτή δεν συνδέεται με την ταχύτητα που έχει ή που δεν έχει το σώμα, με την άσκηση ή όχι άλλης δύναμης, με κάποιες εξισώσεις κίνησης.
Καθορίζεται μόνο από την θέση Α!!!
Αν μου εξηγήσεις Γιώργο, τι σχέση έχουν οι παραπάνω δυνάμεις, τις οποίες ονομάζουμε διατηρητικές ή συντηρητικές και τις οποίες συνδέουμε με μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας με κάθε σταθερή δύναμη ή με μια δύναμη τριβής, τότε ίσως συνεννοηθούμε…
Δεν ξεκινάμε από μια εξίσωση κίνησης x=x(t) για να καταλήξουμε και να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια σε όποια δύναμη…
Δεν μας ενδιαφέρει η εξίσωση κίνησης. Η δύναμη στο σημείο Α, έχει πάντα μια ορισμένη τιμή.
Αυτό σημαίνει “δύναμη η τιμή της οποίας εξαρτάται μόνο από την θέση x”
Δεν είναι απλό;
Καλημέρα παιδιά.
Ο όρος “συντηρητική δύναμη” αναφέρεται σε πεδιακή δύναμη. Δηλαδή δύναμη που είναι συνάρτηση της θέσης και ανεξάρτητη από την κίνηση που προκαλεί.
Που είναι η ίδια είτε κινείται το σώμα είτε συγκρατείται (από άλλη δύναμη) στη θέση αυτήν.
Τέτοιες δυνάμεις είναι οι βαρυτικές, οι ηλεκτρικές, οι δυνάμεις από ιδανικά ελατήρια, η φυγόκεντρος, η D” Alembert ,h δύναμη Euler και άλλες.
Δεν είναι πεδιακή η δύναμη που δέχεται φορτίο από μαγνητικό πεδίο μια και στην ίδια θέση μπορεί να δεχθεί διαφορετικές δυνάμεις. Μηδέν αν είναι ακίνητο. Το μαγνητικό πεδίο είναι φυσικά πεδίο ως συνάρτηση από τον R3 στον R3. Όμως σε κάθε σημείο το Β αντιστοιχείται και όχι κάποια δύναμη.
Δεν είναι πεδιακή η δύναμη Coriolis μια και επίσης εξαρτάται από την ταχύτητα και μηδενίζεται αν ακινητοποιηθεί το σώμα. Δύο εκκρεμή του Φουκώ, το ένα κινούμενο και το άλλο ακίνητο, δέχονται στον ίδιο τόπο διαφορετικές δυνάμεις Coriolis.
Δεν είναι πεδιακή μια τάση νήματος μια και ισούται με m.α-F όπου m η μάζα του σώματος, α η επιτάχυνση κίνησης και F η συνισταμένη των υπολοίπων δυνάμεων που το σώμα δέχεται. Έτσι αν F = m.α η τάση είναι μηδέν ενώ αν α=0 τότε T=-F.
Αυτά στην ίδια θέση.
Σε μία συγκεκριμένη κίνηση φορτίου μέσα σε μαγνητικό πεδίο μπορούμε να γράψουμε την δύναμη Λόρεντζ σαν συνάρτηση της θέσης. Να ισχυριστούμε ότι είναι πεδιακή;
Μετά μια και το έργο της είναι μηδενικό να την χαρακτηρίσουμε συντηρητική;
Τα ίδια με την Coriolis. Γράφεται σε μία συγκεκριμένη κίνηση σαν συνάρτηση της θέσης. Να την πούμε “πεδιακή”;
Στη συνέχεια να την πούμε και συντηρητική μια και το έργο της είναι μηδέν;
Διονύση: “Το x δεν συνδέεται με καμμιά χρονική εξίσωση κίνησης” λες εσύ. Και άλλα που λόγω χρόνου δεν αναφέρω. Αυτά τα λες εσύ. Τιποτα από αυτά δεν λέει ο Χατζηδημητρίου. Ο Χατζηδημητρίου λέει ότι “η δύναμη εξαρτάται από τη θέση x του υλικού σημείου”. Και ότι “απο τη λύση της διαφορικής εξίσωσης θα βρεθεί η θέση συναρτήσει του χρόνου”. Αυτή είναι η ουσιώδης διαφορά μας. Δεν τον ερμηνεύω κατά τις επιθυμίες μου. Γι αυτό στην περίπτωση της “μαθηματικουριας” πήγατε να αποδείξετε κάτι που ήταν μάταιος κόπος και σας γύρισε μπουμεραγκ. Αν είχατε κατανοήσει το απόσπασμα Χατζηδημητρίου δεν θα το κάνατε αυτό. Και με αυτά που αναφέρετε εσύ και οποιοσδήποτε άλλος που συμφωνεί με αυτά, δηλώνει ότι αυτό συνεχίζεται.
Γιώργο ο Χατζηδημητριου λέει μόνο:
“Ο Χατζηδημητρίου λέει ότι “η δύναμη εξαρτάται μόνο από τη θέση x του υλικού σημείου”. Ξέχασες το μόνο Γιώργο!!!
Και συ τι καταλαβαίνεις από αυτό;
Ότι αν στη θέση x το σώμα φτάσει τη στιγμή t=1s ή τη στιγμή t=5s, θα δεχτεί διαφορετική τιμή;
Ή αν τη μια φορά που περνά από τη θέση x έχει ταχύτητα υ=1m/s και την άλλη υ= 3m/s θα δεχτεί άλλη δύναμη;
Ή αν τη μια φορά δέχεται μόνο μια δύναμη F ή την άλλη δέχετια και κάποια πρόσθετη δύναμη F1, τότε τη δεύτερη φορά αλλάζει η F;
Για το τελευταίο επιστρέφω για ένα παράδειγμα.
Το σώμα του σχήματος κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα υ στη θέση x.
Αν ξαναπεράσει από την ίδια θέση x, με ταχύτητα διαφορετική, έστω υ1, ενώ ταυτόχρονα δέχεται και μια ακόμη κατακόρυφη δύναμη F1, τι θα έχουμε;
1) Θα ασκείται η ίδια δύναμη από το ελατήριο. Αυτό την καθιστά συντηρητική δύναμη.
2) Δεν θα ασκηθεί η ίδια δύναμη τριβής!!! Η τριβή έχει άλλο μέτρο! Αυτό την καθιστά δύναμη που δεν εξαρτάται μόνο από την θέση, άρα είναι μια μη συντηρητική δύναμη.
Ναι ξέχασα το ” μόνο” ενώ το έχω τονίσει πριν τόσες φορές. Η ουσία της Νευτώνειας Μηχανικής είναι ότι αν γνωρίζουμε τη αρχική θέση και την αρχική ταχύτητα ενός υλικού σημείου μια αρχική χρονική στιγμή καθώς και τις δυνάμεις που ενεργούν σε αυτό, μπορούμε με βεβαιότητα να γνωρίζουμε οποιαδηποτε χρονική στιγμή τη θέση του και την ταχύτητα του. Να γνωρίζουμε το είδος της τροχιάς του. Αυτό που λέει ο Χατζηδημητρίου είναι οτι σε ΚΑΘΕ ευθύγραμμη κίνηση αν F=F(x) υπάρχουν δύο ισοδύναμες μαθηματικές περιγραφές της! Η μία με τις εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν από τη λύση της γνωστής διαφορικής εξίσωσης και η άλλη δια του ολοκληρώματος ενέργειας Κ+U(x) =σταθερό που είναι έκφραση της ΑΔΕ. Αυτό ισχύει για όλες ανεξαιρέτως τις κινήσεις (ευθυγραμμες και F=F(x)). Λύνεις την άσκηση με τον ένα τρόπο ή τον άλλο και καταλήγεις στα ίδια αποτελέσματα. Όπως αποδείχτηκε πανηγυρικά στη μαθηματικουρια του Γιάννη αλλά και στη άσκηση του Παύλου με τη τριβή ολίσθησης.
Η απόδειξη της ισοδυναμίας υπάρχει στη δημοσίευση μου “Λίγη Θεωρητική Μηχανική” .
Γιατί αυτό που λέει ο Χατζηδημητρίου με τον πιο ξεκάθαρο τρόπο είναι ότι σε ευθύγραμμη κίνηση, ΟΛΕΣ οι δυνάμεις F=F(x) ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ!! Χωρίς ΚΑΜΙΑ εξαίρεση!!! Αυτό τονίζει και ο κύριος Βάρβογλης.Με τον πλέον ξεκάθαρο τρόπο!
Αυτά που αναφέρεις εσύ και δεν είσαι ο μόνος, είναι δικές σου απόψεις που αποκλίνουν αυτών των Χατζηδημητρίου- Βάρβογλη. Σε ευθύγραμμη κίνηση ΟΛΕΣ ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ F= F(x) όπου x η θέση του υλικού σημείου είναι συντηρητικές!! ΟΛΕΣ!!! ΟΠΟΙΟ ΒΙΒΛΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΙ ΑΝ ΑΝΟΙΞΕΙΣ ΑΥΤΟ ΑΝΑΦΈΡΕΙ!!
Γεια σου Γιώργο.
Διόρθωσα το λάθος μου που εσύ είχες εντοπίσει. Το αναγνώρισα ότι είχες δίκιο.
Δεν υποδύομαι τον αλάνθαστο.
Στη συνέχεια βλέπω συνεχώς επίκληση αυτού του λάθους και όχι αυτού που το αντικατέστησε.
Μόνο εσύ έχεις το δικαίωμα του μέα κούλπα;
Γιώργο το ότι βάζεις κεφαλαία ως εάν φωνάζεις αγανακτώντας για την ανοησία των συνομιλητών σου δεν σου δίνει δίκιο.
Ναι είναι αν είναι συναρτήσεις μόνο του x. Όχι αν εκφράζονται σε μια συγκεκριμένη κίνηση συναρτήσει του x. Δες όλα τα παραδείγματα από κάθε βιβλίο Θεωρητικής Μηχανικής. Δες και το περιεχόμενο στους ορισμούς. Είναι σαφές ότι πρόκειται για δυνάμεις που είναι συναρτήσεις μόνο του x σε κάθε περίπτωση και όχι δυνάμεις που στο ένα πρόβλημα είναι 2x και στο άλλο 3x^2.
Όχι να είναι 2x όταν κινείται και 5x όταν σταματάει.
Αυτά τονίζονται συνεχώς και δεν απαντάς. Ο Χατζηδημητρίου δεν μπορεί να σε διαψεύσει. Ο κύριος Βάρβογλης αν διαφωνεί ή συμφωνεί μαζί σου μπορεί να το πει.
Εγραψα παραπάνω, τρία σχόλια, εξηγώντας όσο πιο αναλυτικά μπορούσα, τι σημαίνει μια δύναμη είναι συντηρητική, με βάση τη φράση του βιβλίου της θεωρητικής μηαχανικής, που μας έδωσες Γιώργο.
Και αντί να με αντικρούσεις, δίνοντας δικά σου παραδείγματα, όπου αποδεικνύουν το λάθος μου, βγάζεις τις φωνές:
“Γιατί αυτό που λέει ο Χατζηδημητρίου με τον πιο ξεκάθαρο τρόπο είναι ότι σε ευθύγραμμη κίνηση, ΟΛΕΣ οι δυνάμεις F=F(x) ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ!! Χωρίς ΚΑΜΙΑ εξαίρεση!!! Αυτό τονίζει και ο κύριος Βάρβογλης.Με τον πλέον ξεκάθαρο τρόπο!
Αυτά που αναφέρεις εσύ και δεν είσαι ο μόνος, είναι δικές σου απόψεις που αποκλίνουν αυτών των Χατζηδημητρίου- Βάρβογλη. Σε ευθύγραμμη κίνηση ΟΛΕΣ ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ F= F(x) όπου x η θέση του υλικού σημείου είναι συντηρητικές!! ΟΛΕΣ!!! ΟΠΟΙΟ ΒΙΒΛΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΙ ΑΝ ΑΝΟΙΞΕΙΣ ΑΥΤΟ ΑΝΑΦΈΡΕΙ!!”
Μπορείς να φωνάζεις όσο θέλεις Γιώργο.
Μην λες όμως ότι συζητάς…
Και όποιος φωνάζει, δεν σημαίνει ότι έχει δίκιο Γιώργο!
Ελπίζω να συνεχίζει να μας διαβάζει ο κ. Βάρβογλης και να πάρει θέση, εξηγώντας πού είναι το λάθος στα τρία παραδείγματα που έδωσα παραπάνω και γιατί έχεις δίκιο εσύ.
Μια ερώτηση σε Γιάννη και Διονύση: Γιατί στη μαθηματικουρια η σχέση Κ+ U(x)= σταθερό περιγράφει μαθηματικά την κίνηση; Για εσάς αυτό αρχικά ήταν “παράλογο “να ισχύει! Να μην επαναλαμβάνομαι. Η δύναμη Laplace συντηρητική; Από που κι ως που; Εφόσον κατά εσάς η FL ποτέ δεν είναι συντηρητική πως είναι δυνατό αυτό;;; Εσείς είσαστε βέβαιοι ότι είναι αδύνατο να ισχύει το ολοκλήρωμα της ενέργειας σε αυτή τη περίπτωση! Κι όμως, ως συνάρτηση μόνο της θέσης x η FL, σύμφωνα με τον Χατζηδημητρίου είναι συντηρητική και ισχύει!!! Για μένα οφείλεται στην 3η απόδειξη που υπάρχει στην δημοσίευση μου “Λίγη Θεωρητική Μηχανική” και περιγράφεται με σαφήνεια στο απόσπασμα Χατζηδημητρίου. Για αυτό ήμουν βέβαιος εξ αρχής όπως έχει καταγραφεί ότι υπήρχε σίγουρα μαθηματικό λάθος στην προσπάθεια σας να αποδείξετε ότι δεν ισχύει το ολοκλήρωμα της ενέργειας σε αυτή τη περίπτωση. Για εσάς πως εξηγείται τώρα το ότι ισχύει; Γιατί ισχύουν σε αυτή την άσκηση οι δύο ισοδύναμες μαθηματικές περιγραφές της κίνησης της ράβδου που αναφέρονται στο απόσπασμα;; Ποιός είναι ο λόγος; Τα ίδια ισχύουν και στην άσκηση του Παύλου με την τριβή ολίσθησης ως συνάρτηση της θέσης .