by 
Η κυρία κινείται ευθύγραμμα και κατά τη θετική φορά.
Το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου είναι:
Εύκολα ένας μαθητής της Α΄ Λυκείου κατασκευάζει το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου. Είναι κάπως έτσι:
Η επιτάχυνση τη στιγμή 4 s:
- Είναι 2 m/s2.
- Είναι 1 m/s2.
- Έχει τιμή μεταξύ 1 m/s2 και 2 m/s2.
- Δεν ορίζεται.
Το ξέρω ότι έχει ξανασυζητηθεί αλλά η επανάληψη…
Κύριε Βάρβογλη σεβαστές οι θέσεις σας.
Ένα καλό βιβλίο (όπως πιστεύω πως είναι τα προαναφερθέντα) δεν ορίζει λανθασμένα μια έννοια για λόγους απλότητας. Είναι στιβαρό στους ορισμούς του.
Λέτε μετά:
Επιπλέον η συνάρτηση που αναφέρετε δεν υπάρχει στη φύση, μόνο στα μαθηματικά, άρα δεν θα έπρεπε να ενδιαφέρει φυσικούς.
Οι φυσικοί χρησιμοποιούν το μοντέλο rigid bodie.Ασχολούνται με την περίπτωση της μπίλιας όπου η δύναμη ακαριαία μηδενίζεται. Φυσικά γνωρίζουν και τις ελαστικές παραμορφώσεις μπίλιας – δαπέδου και την τριβή κύλισης.
Όμως ένας Φυσικός ασχολείται και με υπαρκτά φαινόμενα που μελετά η Κινηματική.
Από τον Ανδρέα Κασσέτα:
Αυτά δεν είναι ανύπαρκτα φαινόμενα ή “φαινόμενα” του χαρτιού και του μολυβιού.
Υπάρχουν μια και τα κατασκευάζουμε και τα βλέπουμε στην οθόνη μας:
(Εκτός αν συζητήσουμε για το ρηφρές ρέητ της οθόνης, αλλά θα ήταν σχολαστικισμός).
Ενδιαφέρουν συγγραφείς:
Φυσικά εξυπηρετεί πολύ να θεωρούμε άπειρες φορές παραγωγίσιμη μία συνάρτηση, όμως η περίπτωση του ορισμού των βιβλίων υπάρχει.
Τέλος στέλνω μια προσομοίωση:
Μέτρηση επιτάχυνσης
Ανάλογη χρησιμοποίησα πολλές φορές στην τάξη για να καταλάβουν το dt. Φυσικά όχι αυτήν.
Σ’ αυτήν ζητώ να μετρηθεί η επιτάχυνση την στιγμή 2s.
Έχουμε τρεις δυνατότητες:
Οι υπολογισμοί μας θα δώσουν ίδια ή περίπου ίδια αποτελέσματα;
Υπάρχει περίπτωση οι διαφορές να είναι τεράστιες διότι φρόντισα να είναι;
Τι έπρεπε να κάνουν οι μαθητές μου ώστε να είναι σε συνέπεια με τον ορισμό που διδάχτηκαν από το βιβλίο τους (και από μένα);
Κωνσταντίνε δεν προσπέρασα αγενώς το σχόλιό σου.
Τώρα το είδα.
Γιάννη αυτό περι αγενειας δεν θα μου πέρναγε με τίποτα από το μυαλο. Δεν έχεις συμπεριφερθει αγενως ποτέ!
Ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά τους. (α) Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα της Φυσικής. Για όσους γνωρίζουν αυτή τη γλώσσα, δεν υπάρχει πρόβλημα ορισμού της επιτάχυνσης: είναι η συνάρτηση (d/dx) v. Για όσους δεν γνωρίζουν τη γλώσσα, διάφορα βιβλία φυσικής δίνουν απλά στοιχεία μαθηματικών. Αυτά όμως δεν μπορούν σε καμιά περίπτωση να αντικαταστήσουν τη γνώση του διαφορικού λογισμού. (β) Το άκαμπτο σώμα είναι ένα απλοποιημένο μοντέλο, που διευκολύνει τη μελέτη αγνοώντας τις παραμορφώσεις των αντικειμένων, που φυσικά πάμντα συμβαίνει. Για την απλοποίηση όμως υπάρχει ένα τίμημα: η εμφάνιση “απειρισμών”. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η εμφάνιση της συνάρτησης δ(x) του Kronecker, η οποία σχολιάζεται σε έναν από τους συνδέσμους που σας παράθεσα και τον οποίο, όπως καταλαβαίνω, δεν διαβάσατε. (γ) Το εδάφιο που παραθέτετε για την εμφάνιση ταχυτήτων μεγαλύτερων αυτής του φωτός δεν είναι κάτι το παράξενο: αν εφαρμόζετε νόμους της κλασικής φυσικής σε περιοχές όπου αυτοί δεν ισχύουν θα παίρνετε αποτελέσματα αυτής της μορφής. (δ) Η προσομοίωση που κάνατε βασίζεται στην υπόθεση ότι οι υπεισερχόμενες συναρτήσεις είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες. Άρα χρησιμοποιείτε ένα μοντέλο που υποθέτει συνέχεια και παραγωγισιμότητα, για να ελέγξετε την παραγωγισιμότητα. (ε) Ίσως δεν είδατε τη συμπλήρωσή μου, στην οποία αναφέρω ότι κάθε συνάρτηση, παραγωγίσιμη ή όχι, προσεγγίζεται με μια σειρά Fourier ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών όρων, οι οποίοι είναι συνεχείς και παραγωγίσιμοι άπειρες φορές. Άρα δεν υπάρχει πρόβλημα ορισμού της επιτάχυνσης στο σημείο t = 4, είναι η παράγωγος των συναρτήσεων της σειράς Fourier της ταχύτητας. Είναι ένα από τα απλούστερα παραδείγματα της χρήσης των σειρών Fourier στο πρόβλημα του πηγαδιού δυναμικού άπειρου βάθος, που εξετάζεται σε κάθε βιβλίο διαφορικών εξισώσεων και κβαντομηχανικής.
Κύριε Βάρβογλη διάβασα ότι στείλατε. Πάντα το κάνω και για κάθε συνομιλητή.
Α) Συμφωνώ πως τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα της Φυσικής και ουδέποτε υπονόησα κάτι άλλο. Αυτό σημαίνει πως η Φυσική εκφράζεται μέσω των Μαθηματικών και πως τα χρησιμοποιεί. Δικαιούται να δίνει αυστηρούς και συνεπείς ορισμούς και θεωρώ πως αυστηρός είναι ο ορισμός του βιβλίου που παρέθεσα. Συζητώ αυτόν. Αν σε όλα τα βιβλία διάβαζα ορισμούς κατά τους οποίους το Δt εννοείται και ως αρνητικό δεν θα άνοιγα συζήτηση.
Τα βιβλία φυσικά και δεν έχουν πρόθεση να αντικαταστήσουν τη γνώση του διαφορικού λογισμού. Ούτε φυσικά θα έλεγαν ποτέ ότι ορίζεται η κλίση σε ένα σημείο ενός βουνού που “κάνει γωνία”. Ούτε είμαι ψώνιο για να τα βάλω με τον διαφορικό λογισμό.
Β) Είπα και εγώ ότι το άκαμπτο στερεό είναι μοντέλο. Μοντέλο που χρησιμοποιούμε όμως. Μοντέλο που εμφανίζει ασυνέχειες στη δύναμη. Ασυνέχειες που δεν υπάρχουν στα πραγματικά στερεά. Αυτό είναι το θέμα;
Γ) Παρέθεσα το εδάφιο όχι για να καταρρίψω (όπως κάθε συνεπές ψώνιο) τη θεωρία της Σχετικότητας. Ο λόγος ήταν για να δείξω ότι κάποιοι (όπως ο συγγραφέας) ασχολούνται με κινήσεις σημείων ενός γεωμετρικού τόπου. Τα σημεία των γεωμετρικών τόπων δεν υπόκεινται στους περιορισμούς που επιβάλλει η Σχετικότητα, αλλά αυτό δεν είναι το θέμα μας. Ούτε στους Νευτώνειους νόμους υπακούουν. Είναι Γεωμετρικές οντότητες και όχι αντικείμενα με μάζα, ορμή κ.λ.π. (Απόσπασμα Κασσέτα).
Δ). Η προσομοίωση που έκανα δεν βασίζεται σε καμιά υπόθεση. Ουδεμία συνάρτηση ή σχέση πληκτρολόγησα. Δεν έκανα μαθηματικό παιγνίδι.
Λέτε:
Άρα χρησιμοποιείτε ένα μοντέλο που υποθέτει συνέχεια και παραγωγισιμότητα, για να ελέγξετε την παραγωγισιμότητα.
Φυσικά όχι και το εξήγησα δεκάδες φορές στην παρούσα συζήτηση. Κατασκευάζω με το interactive physics και όχι με το graph.
Άσκησα κατάλληλες δυνάμεις και έφτιαξα ένα κυκλάκι που κινείται έτσι ώστε να εμφανίζεται η ασυνέχεια που ήθελα. Το κυκλάκι αυτό είναι υπαρκτό και όχι κατασκευή του χαρτιού και του μολυβιού. Υπάρχει διότι το είδατε και μπορείτε να μετρήσετε την επιτάχυνσή του. Δεν ξέρω αν το κάνατε ή το προσπεράσατε ως «πλάσμα του χαρτιού και του μολυβιού». Δεν είναι τέτοιο πλάσμα αλλά μια “οντότητα” όπως αυτές που ανέφερε ο Ανδρέας.
Ε) Φυσικά διαβάζω τις παραπομπές των συνομιλητών μου και τα σχόλιά τους. Θα χαιρόμουν αν έκαναν και αυτοί το ίδιο. Η σειρά Φουριέ δεν σχετίζεται με το θέμα της κίνησης της κυλιόμενης μπίλιας, της κατασκευής μου με ασυνέχεια θέσης και της προσομοίωσης (όχι συνάρτησης) που έστειλα.
Στ) Οι απορίες μου για την αλληλεπίδραση (που είτε υπάρχει είτε δεν υπάρχει) παραμένουν. Παραμένει η απορία μου για το τι έπρεπε να κάνουν οι μαθητές μου προκειμένου να μετρήσουν την επιτάχυνση στα 2 s.
(1) Όπως ήδη έγραψα η παράγωγος ορίζεται σαφώς στον διαφορικό λογισμό. Για την περίπτωση που οι μαθητές-φοιτητές δεν έχουν διδαχθεί αυτό το μάθημα, τα περισσότερα βιβλία Μηχανικής βασικου επιπέδου την ορίζουν, για την περίπτωση της ταχύτητας, με το όριο της μέσης ταχύτητας (x_τελικό – x_αρχικό)/(t_τελικό – t_αρχικό) για Δt = t_τελικό – t_αρχικό. Επειδή ο χρόνος ρέει ΠΑΝΤΑ προς την κατεύθυνση αύξησης, t_τελικό > t_αρχικό και άρα Δt > 0. Αυτό τον τρόπο ορισμού χρησιμοποιούν, για παράδειγμα, οι Serway & Jewett, Shankar και Kleppner & Kolenkow, την έκδοση των των βιβλίων των οποίων στα ελληνικά έχω επιμεληθεί.
(2) Το μοντέλο του άκαμπτου σώματος σώματος εσείς το επικαλεσθήκατε, ως παράδειγμα ασυνεχούς δύναμης. Όπως ήδη ανέφερα, η δύναμη σε αυτό το μοντέλο δίνεται από τη συνάρτηση δ του Kronecker, άρα είναι καλώς ορισμένη.
(3) Το σημείο αυτό δεν έχει σχέση με φυσική.
(4) Το αρχείο της προσομοίωσης που μου στείλατε δεν μπορώ να το “διαβάσω”, επειδή δεν έχω το κατάλληλο λογισμικό, ούτε και κάποιου είδους περιγραφή από εσάς.
(5) Η αναμενόμενη απάντηση των μαθητών στον υπολογισμό (και όχι μέτρηση) της επιτάχυνσης εξαρτάται από το επίπεδό τους. Σε κάθε περίπτωση όμως αυτή που βασίζεται στο όριο της μέσης επιτάχυνσης είναι σωστή και η ευκολότερη. Προκύπτει απλά ότι η μέση επιτάχυνση είναι ανεξάρτητη του χρόνου, οπότε το όριο υπολογίζεται τετριμμένα.
Καλημέρα κύριε Βάρβογλη.
Αφού δεν έχετε το i.p. θα στείλω στιγμιότυπα σύντομα.
Ένα καλό βιβλίο “αρχαρίων” δεν λέει ανακρίβειες.
Για παράδειγμα το εκλαϊκευμένο QED του Φέυνμαν δεν λέει τίποτα το ανακριβές.
Το βιβλίο “Εικόνες της Σχετικότητας” του Επστάιν παρά την πλήρη “απομαθηματικοποίησή” του δεν περιέχει ανακρίβειες.
Αποτελούν εξαίρεση τα βιβλία Αλεξόπουλου και Χαλιντέυ – Ρέσνικ;
Αν ναι δεν είμαι υπεύθυνος.
Αυτό που είπα ότι θα στείλω.
Οι μαθητές μου ήταν παιδιά 15 χρονών και παρουσιάζαμε το περιεχόμενο του dt.
Ένας λειτουργικός τρόπος είναι να “μετρήσουν”.
Παίζοντας με το δεξιό κάτω κουμπί του “κασετοφώνου” του i.p. παίρνουμε τα διαδοχικά στιγμιότυπα:
Τα παιδιά θα “πάνε” από το 1,998 στο 1,999 ;
Θα πάνε από το 1,999 στο 2,000;
Θα πάνε από το 1,999 στο 2,001 ;
Θα πάνε από το 2,000 στο 2,001;
Θα πάνε από το 2,000 στο 2,002;
Οι δύο τελευταίες διαφέρουν μόνο στην ακρίβεια με την πρώτη να είναι καλύτερη προσέγγιση του dt.
Η τρίτη όμως (από το 1,999 στο 2,001);
Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς κάνουν τα παιδιά. Μπορείτε να μού στείλετε μια πλήρη περιγραφή;
Ένα παιδί πηγαίνει στα 2,000. Διαβάζει την ταχύτητα υ1.
Μετά πηγαίνει στα 2,001 διαβάζει την ταχύτητα υ2.
Κάνει τη διαίρεση α=Δυ/Δt = (υ2-υ1)/0,001 .
Υπολογίζει με καλή ακρίβεια τη στιγμιαία επιτάχυνση.
Οι υπολογισμοί εύκολοι.
Φυσικά δεν με απασχόλησε η ακρίβεια αλλά το να καταλάβουν την προσέγγιση του μικρότατου. Θα μπορούσαν να πάνε από το 2,000 στο 2,002.
Τι θα συμβεί αν κάνουν τα ίδια από το 1,999 ως το 2,001;
Στα πλαίσια κάποιου πρότζεκτ κάποια παιδιά έμαθαν αρκετά από το interactive physics. Μπορούσαν να φτιάξουν τέτοια προσομοίωση. Οι άλλοι καθοδηγούνται στον χειρισμό του κασετοφώνου μιας έτοιμης παρουσίασης.
Ένας ορισμός οδηγεί και σε τρόπο υπολογισμού ή έστω καλής εκτίμησης.
Κύριε Κυριακόπουλε, κατάλαβα τι συμβαίνει. Το λογισμικό που χρησιμοποιείτε ΥΠΟΘΕΤΕΙ ότι όλες οι συναρτήσεις έχουν όλα τα καλά χαρακτηριστικά (συνέxεια και παραγωγισιμότητα). Επομένως δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα τέτοιο λογισμικό σε ασυνεχείς ή μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Το πρόβλημά σας όμως είναι άλλο, και πολύ σημαντικότερο. Ενώ στη θεωρία η παραγώγιση είναι η “εύκολη” πράξη και ολοκλήρωση η “δύσκολη”, στην αριθμητική ανάλυση συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο. Αιτία είναι το περιορισμένο πλήθος σημαντικών ψηφίων που χρησιμοποιεί ο υπολογιστής, συνήθως 7-8. Αν αφαιρείτε αριθμούς που έχουν ίδια τα πρώτα τέσσερα σημαντικά ψηφία, το προσωρινό αποτέλεσμα έχει μονο 3-4 σημαντικά ψηφία. Ο υπολογιστής λοιπόν συμπληρώνει τα υπόλοιπα τέσσερα ΜΕ ΤΥΧΑΙΑ ΨΗΦΙΑ. Γι’ αυτό βλέπετε να αποκλίνει αντί να συγκλίνει ο λόγος Δx/Δt.
Καλησπέρα κύριε Βάρβογλη.
Το interactive physics δεν υποθέτει τίποτα. Δεν είναι το graph ώστε να παραγωγίσει ή να ολοκληρώσει κ.λ.π.
Απλά ασκώ δυνάμεις που ενεργοποιούνται ή απενεργοποιούνται όποιες χρονικές στιγμές θέλω. Υπολογισμοί σαν αυτούς που περιέγραψα κάνουν τους μετρητές του προγράμματος ικανούς να καταγράφουν θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση.
Απέκρυπτα από τους μαθητές μου τους μετρητές επιτάχυνσης και όταν τους εμφάνιζα έβλεπαν ότι οι υπολογισμοί τους ήταν σωστοί αν γίνουν όπως επιτάσσει ο (και κατά Χαλιντέυ – Ρέσνικ) ορισμός. Ότι συμφωνούν με τους μετρητές αν πάνε από το 2 στο 2+dt.
Ότι διαφέρουν αν πάμε από το 2-dt/2 στο 2+dt/2.
Αυτό που λέτε για τα ψηφία δεν είναι το πρόβλημα. Μπορώ να δώσω γράφημα της ταχύτητας.
Αν πάμε από το 2-dt/2 στο 2+dt/2 (όπως φαίνεται στον μετρητή) το αποτέλεσμα βγαίνει μηδέν. Ως εάν δεν ασκείται δύναμη.
Ο λόγος που με έκανε να εμφανίζω αυτή την όψη του μετρητή και όχι την άλλη με το γράφημα ήταν για να καταλάβουν το dt.
Πολλές μετρήσεις έδειχναν ότι όσο μίκραινε το Δt τόσο προσεγγίζαμε την σωστή τιμή της επιτάχυνσης. Φυσικά στο τέλος αποκαλύπτονταν και οι “τύποι” ταχύτητας και επιτάχυνσης ώστε να αναδειχθεί το “καλό” του μικρού Δt που ονομάζουμε dt κάπως καταχρηστικά.
Μα φυσικά βγάινει μηδέν, αφού στο 2 δεν ορίζεται η παράγωγος. Επειδή το σχήμα σας είν αι συμμετρικό, οι τιμές 2-α και 2+α είναι ίσες.