by 
Η κυρία κινείται ευθύγραμμα και κατά τη θετική φορά.
Το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου είναι:
Εύκολα ένας μαθητής της Α΄ Λυκείου κατασκευάζει το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου. Είναι κάπως έτσι:
Η επιτάχυνση τη στιγμή 4 s:
- Είναι 2 m/s2.
- Είναι 1 m/s2.
- Έχει τιμή μεταξύ 1 m/s2 και 2 m/s2.
- Δεν ορίζεται.
Το ξέρω ότι έχει ξανασυζητηθεί αλλά η επανάληψη…
Ένα λογισμικό σαν αυτό που περιγράψατε είναι το geogebra.
Μια κατασκευή μου για ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση:
Χρησιμοποιείται ή καλύτερα την χρησιμοποιούσα παράλληλα με αυτήν του i.p.
Αυτήν λογικά μπορείτε να τη δείτε και από τον μπράουζερ που έχετε.
Βεβαίως είναι ίσες. Αυτό θέλησα να ισχύει όταν κατασκεύασα την προσομοίωση.
Να επαναλάβω ότι δεν έγραψα εγώ το βιβλίο.
Να ξαναπώ ότι ένα καλό βιβλίο μπορεί να είναι εισαγωγικό αλλά πάντα είναι ακριβές.
Ανέφερα πριν εκλαϊκευμένα βιβλία των Φευνμαν και Επστάιν που είναι απολύτως ακριβή.
Σε κάθε περίπτωση ας προταθούν αλλαγές σε όσα βιβλία προέρχονται από ζώντες συγγραφείς. Ο Χαλιντέυ απεβίωσε το 2010.
Αν (εξαιρετικά απιθάνως) με ρωτούσαν δεν θα πρότεινα αλλαγή.
Το διάγραμμα της παρούσας ανάρτησης, προσεγγίζει απλώς το φυσικό φαινόμενο: Η απότομη αλλαγή της συνάρτησης της ταχύτητας σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, πριν και μετά από τη χρονική στιγμή 4 s, έχει προσεγγιστεί με μια στιγμιαία αλλαγή, τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Άρα το ερώτημα που τίθεται: “Πόση είναι η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή 4 s;” δεν μπορεί να απαντηθεί στο πλαίσιο αυτής της προσέγγισης.
Καλημέρα Ανδρέα.
Ο μη ορισμός της επιτάχυνσης οδηγεί και σε μη ορισμό της δύναμης.
Τότε γεννάται απορία:
Έχουμε ιδανικό ελατήριο με σώμα στην άκρη που συγκρατούμε τεντωμένο κατά d:
Τη στιγμή μηδέν ελευθερώνουμε το σώμα.
Ποια είναι τη στιγμή μηδέν η δύναμη που δέχεται ο τοίχος;
Αν (λόγω ασυνέχειας) δεν ορίζεται επιτάχυνση στο κίτρινο σώμα, δεν ορίζεται δύναμη σ’ αυτό ούτε δύναμη στο δεξιό άκρο του ελατηρίου.
Δεν ορίζεται δύναμη ούτε στον τοίχο, μια και οι δυνάμεις στα άκρα είναι ίσες;
Δηλαδή μια αλληλεπίδραση (τοίχου – ελατηρίου) που είναι συνεχής χάνει τη στιγμή μηδέν το νόημά της;
Καλημέρα Ανδρέα, καλημέρα Γιάννη.
Την t=0+, η δύναμη στον τοίχο θα ισούται με την εξωτερική δύναμη που ασκούσαμε εμείς για να κρατήσουμε το ελατήριο σε σταθερή επιμήκυνση, εως ότου η διαταρχή/κύμα που δημιουργείται στο ελατήριο φτάσει στον τοίχο.
Εφ’ όσον η εξωτερική δύναμη καταργείται ακαριαία, στο ελεύθερο άκρο η επιτάχυνση της κίνησης ορίζεται αναγκαστικά στο διάστημα t+ γιατί στο t- δεν υπήρχε κίνηση.
Έχουμε ιδανικό ελατήριο με σώμα στην άκρη που συγκρατούμε τεντωμένο κατά d.
Αρχικά στο σώμα ασκείται η δύναμη από το ελατήριο και η δύναμη που το συγκρατεί. Ας θεωρήσουμε ότι η δύναμη που ο συγκρατεί ασκείται από ένα τεντωμένο ελαστικό νήμα: το ένα άκρο του νήματος είναι συνδεδεμένο με το σώμα και το άλλο άκρο το κρατάμε. Τη χρονική στιγμή μηδέν αφήνουμε το νήμα. Η δύναμη που ασκείται στο σώμα δεν μηδενίζεται ακαριαία: μεσολαβεί ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα μέχρι να χορδή να αποκτήσει το φυσικό μήκος της (αυτό αποκαλύπτεται βιντεοσκοπώντας το φαινόμενο και προβάλλοντας τα στιγμιότυπα σε αργή κίνηση. Θα μπορούσε επίσης να παρατηρηθεί και με στροβοσκόπιο.) Μπορούμε ωστόσο να προσεγγίσουμε το φαινόμενο θεωρώντας ότι η δύναμη που συγκρατεί το σώμα μηδενίζεται ακαριαία. Όμως στο πλαίσιο αυτή της προσέγγισης δεν μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα: Πόση είναι η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή μηδέν; Στην πραγματικότητα χρειάστηκε κάποιο χρονικό διάστημα μέχρι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να γίνει ίση με τη δύναμη του ελατηρίου.
Μόλις είδα το σχόλιο του Στάθη Λεβέτα που είναι παρόμοιο με το παρόν.
Καλημέρα και στον Στάθη.
Παιδιά έτσι (με τις σκέψεις που θέσατε) εξουδετερώνουμε κάθε μοντέλο προσθέτοντάς του έναν ρεαλισμό.
Αν έλεγα ότι το συγκρατώ με ηλεκτρομαγνήτη θα μου λέγατε ότι το ρεύμα του δεν μηδενίζεται ακαριαία και θα συζητούσαμε για την αυτεπαγωγή και την απόκριση του διακόπτη.
Αν έλεγα ότι το κρατώ με το χέρι θα λέγατε ότι για μικρότατο διάστημα ολισθαίνει στα δάχτυλα.
Αν επικαλεστώ το παρακάτω:
Ποια είναι η δύναμη που δέχεται ο τοίχος την στιγμή που επιτυγχάνεται κύλιση;
Θα μου λέγατε ότι τα σώματα δεν είναι rigid και παραμορφώνονται, οπότε δεν υπάρχουν ασυνέχειες.
Ίσως και ότι το κύμα που τρέχει στη σανίδα και το κύμα που τρέχει στον σπάγκο θέλουν κάποιο χρόνο.
Αν μιλήσω για φρενάρισμα αυτοκινήτου και τη δύναμη από τη ζώνη θα συζητήσουμε για τον χρόνο διάδοσης της διαταραχής.
Αν πάω σε προσομοιώσεις του i.p. ή του geogebra θα μιλήσουμε για το ρηφρές ρέητ της οθόνης.
Καταλαβαίνω τι λέτε.
Εδώ αναφέρεται: “Παιδιά έτσι (με τις σκέψεις που θέσατε) εξουδετερώνουμε κάθε μοντέλο προσθέτοντάς του έναν ρεαλισμό.”
Τα μοντέλα κατασκευάζονται επιλέγοντας ένα σύνολο ρεαλιστικών συνθηκών και παραλείποντας άλλες παραμέτρους. Αυτή η επιλογή θέτει τα όρια της ισχύος τους. Άρα τα μοντέλα δεν εξουδετερώνονται, αν προσθέσουμε ένα νέο ρεαλισμό-συνθήκη: δημιουργούμε απλώς ένα νέο μοντέλο.
Στο παράδειγμα της παρούσας ανάρτησης έχουμε επιλέξει να περιγράψουμε την κίνηση ενός σώματος με δύο επιμέρους ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις πριν και μετά τη χρονική στιγμή 4 s. Συγχρόνως επιλέξαμε να παραλείψουμε τη διαδικασία αυτής της μετάβασης. Αυτά είναι τα όρια ισχύς του μοντέλου μας.
Μπορούμε βεβαίως να προσθέσουμε ένα νέο ρεαλισμό-συνθήκη, θεωρώντας ότι η μετάβαση ακολούθησε για παράδειγμα ένα τμήμα μιας κατάλληλης αρμονικής συνάρτησης. Δημιουργούμε έτσι ένα νέο μοντέλο που εμπλουτίζει το προηγούμενο και δεν το εξουδετερώνει.
Καλημέρα σε όλους
Όταν κάποιος χρησιμοποιεί διαφορετικό μοντέλο από κάποιον άλλο θα υπάρχουν σημεία διαφωνίας που αποκλείεται να ξεπερασθούν λόγω των διαφορετικών προϋποθέσεων των μοντέλων.
Για αυτό δεν υπάρχει νόημα αντιπαράθεσης. Ο καθένας μπορεί να είναι σωστός για το μοντέλο του.
Είναι άλλο πράγμα ο πιο μοντέλο πιστεύει ο καθένας ότι δίνει πιο πειστικές λύσεις για την πραγματικότητα.Μπορει σε κάποια σημεία κανένα από τα δύο να είναι “πιο δυνατό”.
Πολύ δε περισσότερο όταν αυτά τα σημεία είναι ελάχιστου ενδιαφέροντος.
Γεια σας παιδιά.
Πρόβλημα δεν θα προκύψει αν ζητηθεί ο υπολογισμός της τελικής ταχύτητας και του χρόνου που πρέπει να περάσει μέχρις ότου αυτή αποκτηθεί.
Δεν θα λύσει δηλαδή κάποιος από μας λάθος (ή λανθασμένα) την άσκηση.
Πρόβλημα έχουμε μόνο σε ερωτήσεις του τύπου αυτού,
Το μοντέλο μας προβλέπει ακαριαίο μηδενισμό της τριβής και “γωνία” στην ταχύτητα.
Έτσι προβλέπει ακαριαίο μηδενισμό της δύναμης που δέχεται ο τοίχος.
Στην άλλη περίπτωση το μοντέλο μας προβλέπει τη στιγμή μηδέν δύναμη k.d στον τοίχο και όχι απροσδιόριστη. Ένα τεντωμένο ελατήριο ασκεί δύναμη.
Δεν είναι η πρώτη φορά που συζητάμε για το ποια δύναμη ασκεί το λάστιχο στον τοίχο όταν το αφήνουμε ελεύθερο. Να πούμε ότι δεν ορίζεται δύναμη ή να μιλήσουμε για το κύμα που πρέπει να τρέξει από το ένα άκρο στο άλλο;
Ο ορισμός που βρίσκουμε στους Αλεξόπουλο και Χαλιντέυ – Ρέσνικ κανένα πρόβλημα δεν προκαλεί στα μοντέλα που χρησιμοποιούμε και δεν μας αναγκάζει να μιλάμε για κύματα, ελαστικές παραμορφώσεις και ρηφρές ρέητ της οθόνης μας.
Επιτρέπει την ύπαρξη επιτάχυνσης κάθε στιγμή και επομένως την ύπαρξη δύναμης και αλληλεπίδρασης κάθε στιγμή. Αλληλεπίδρασης με δύναμη μηδενική ή όχι.
Πηγαίνοντας από τα υλικά αντικείμενα σε κυκλάκια κινούμενα στην οθόνη, ο ορισμός επιτρέπει στα κυκλάκια να έχουν κάθε στιγμή θέση, επιτάχυνση και ταχύτητα.
Αν τα κυκλάκια κινούνται ευθύγραμμα θετική επιτάχυνση σημαίνει αύξηση της ταχύτητας.
Τα Μαθηματικά δεν παραβιάζονται από έναν αυστηρό ορισμό που γράφει ένα βιβλίο Φυσικής επειδή αυτός διαφοροποιείται από τον ορισμό της πρώτης παραγώγου.
Η Φυσική χρησιμοποιεί τα Μαθηματικά σαν εργαλείο. Δεν αποτελεί κλάδο των Μαθηματικών.
Η συζήτηση φυσικά είναι όντως αδιέξοδη.
Δεν συζητάμε για τον ορισμό, για το αν είναι λανθασμένος ή ελλιπής.
Δεν συζητάμε για τις διαφοροποιήσεις που επιφέρει ή για τα λάθη στα οποία οδηγεί.
Γράφονται σχόλια του τύπου:
-Η επιτάχυνση ορίζεται ως η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας.
και
-Το βιβλίο γράφει αυτά γιατί είναι εισαγωγικό και όχι προχωρημένο.
Κατανοώ τα επιχειρήματα των σχολίων αλλά έχω αντιρρήσεις από την αρχή.
Μιλώντας γενικώς, κάτι που αποφεύγω, όταν μου παραθέτουν τον ορισμό:
Τετράγωνο είναι κάθε τετράπλευρο που έχει ίσες διαγωνίους και τεμνόμενες καθέτως.
Επιλέγω να παραθέσω το σχήμα:
Δεν αντιπαραθέτω άλλον ορισμό του τετραγώνου.
Και με τα σχόλια του δεύτερου τύπου έχω αντιρρήσεις μια και ένα σοβαρό βιβλίο, ακόμα και εισαγωγικό, δεν έχει λάθη ή παραπειστικούς ορισμούς.
Εισαγωγικό είναι το βιβλίο Φυσικής των Κασσέτα – Δαπόντε – Μουρίκη -Σκιαθίτη αλλά δεν έχει λάθη ούτε παραπληροφορεί.
Δεν θα μάθεις την QED σε βάθος από το εκλαϊκευμένο βιβλίο του Φέυνμαν. Υπάρχει έστω ένα λάθος σ’ αυτό;
Βρίσκουμε λάθη στην πλήρως απομαθηματικοποιημένη Σχετικότητα του Επστάιν;
Τα εισαγωγικά βιβλία δεν είναι σαν το:
Ο πελαργός παραδίδει ένα λιονταράκι σε μία προβατίνα ώστε να γίνει μητέρα.
Χρησιμοποιούν απλούστερη γλώσσα αλλά χωρίς ανακρίβειες.
Γιάννη είχαμε και παλαιότερα συζητήσει την περίπτωση του ελατηρίου και τις δυνάμεις στο ακλόνητο και στο ελεύθερο άκρο του.
Στην προσομοίωση εδώ (ελπίζω να “τρέχει” το βίντεο) φαίνεται το μέτρο της δύναμης που ασκεί ένα οριζόντιο ελατήριο σκληρότητας k=100N/m, μάζας m, με ακλόνητο άκρο στο x=0 και προσδεδεμένη μάζα M=0.1m στο ελεύθερο άκρο του. Την χρονική στιγμή μηδέν το σύστημα αφήνεται ελεύθερο με το ελατήριο να έχει επιμήκυνση A=2cm και την μάζα Μ ακίνητη.
Δες πως χρειάζεται χρόνος για να αλλάξει η δύναμη στο ακλόνητο άκρο και δες την τιμή της δύνμαης στο ελεύθερο άκρο (είχες παλιά παρατηρήσει ότι είναι μικρότερη της τιμής kA).
Πολύ όμορφη Στάθη!
Όμως γίνεται το εξής:
Αντί να σχολιάσουμε τον ορισμό και να αναζητήσουμε τις πιθανές προθέσεις των συγγραφέων λέμε:
-Ο ορισμός δεν χρειάζεται διότι στα νήματα, στα ελατήρια και στις ράβδους τρέχουν κύματα.
Όταν στέλνω κάτι που πηγαίνει ακαριαία από ένα σημείο Α σε ένα άλλο σημείο Β, λέμε:
-Δεν πηγαίνει ακαριαία διότι χρειάζεται χρόνος για να ανανεωθεί η εικόνα στην οθόνη μου. Χρόνος που καθορίζεται και από το ρηφρές ρέητ.
Γιάννη ίσα, ίσα, τον ορισμό σχολιάζουμε (για τις προθέσεις των συγγραφέων δεν μπορώ να ξέρω).
Προτιμώ ορισμό της επιτάχυνσης σύμφωνα με τον μαθηματικό ορισμό της παραγώγου και συζήτηση της φυσικής του σημασίας, παρά το dt πάντα θετικό για να μην έχει πρόβλημα ο μαθητής στην συγκεκριμένη περίπτωση. Είναι εξαιρετική “πάσα” οι συγκεκριμένες ερωτήσεις για να εμπεδωθεί από τους μαθητές ότι το ακαριαίο είναι προσέγγιση.