by Βλέπω πολλές ασκήσεις σε στάσιμα κύματα. Κάποιες φορές κάτι δεν μου αρέσει.
Πρόσφατη περίπτωση με έκανε να γράψω την παρούσα άσκηση την οποία θα λύσω είτε απαντηθεί από κάποιο φίλο, είτε όχι. Φυσικά δεν την απευθύνω σε μαθητές και μπαίνει στο φόρουμ.
Ένας ηλεκτρικός μηχανισμός θέτει το άκρο Β της χορδής σε αρμονική ταλάντωση με συχνότητα 10 Hz και πλάτος 2 cm.
Το άλλο άκρο της Γ είναι στερεωμένο.
Η χορδή έχει μήκος 1,25 m.
Στο Β δημιουργείται κοιλία και φυσικά στο Γ δεσμός.
Η ταχύτητα διάδοσης κύματος είναι 10 m/s.
- Πόσοι δεσμοί συνολικά δημιουργούνται στη χορδή;
- Ποια είναι η εξίσωση του στάσιμου κύματος με σημείο αναφοράς το Β;
Ας δούμε το:
Πρόβλημα στα στάσιμα κύματα.
Έρχομαι στην παρατήρηση του Διονύση:
Αν ο μηχανισμός είναι σταθερά συνδεδεμένος με μια χορδή, τότε ισχύει αυτό που λες.
Αλλά μόνο έτσι μπορεί να δουλεύει ο μηχανισμός;
Αν για παράδειγμα ασκεί μια δύναμη, μέσω μαγνήτη σε ένα μικρό μαγνήτη που έχουμε κολήσει στο άκρο της χορδής!!! Τότε δεν μπορεί ο μικρός μαγνήτης της χορδής να ταλαντώνεται με πλάτος 2Α;
Φυσικά ναι μπορεί να είναι ένας ηλεκτρομαγνήτης που έλκει ένα έλασμα.
Τότε όμως οι εκφωνήσεις τέτοιων θεμάτων θα πρέπει να αποφύγουν εκφράσεις όπως:
Κατάλληλος μηχανισμός αναγκάζει το άκρο Β να ταλαντώνεται με πλάτος 2cm
Ας πουν ότι:
Ξεκινάει από το άκρο Β κύμα πλάτους 2cm και ανακλώμενο στο Γ δημιουργεί στάσιμο με κοιλία στο Β.
Θα ήταν συνεπές και με το πνεύμα του βιβλίου.
Γιαννη στο Σχολείο χρησιμοποιούσα το ηλεκτρικο κουδουνι του εργαστηρίου. Εδενα το νημα στο άκρο του παλλόμενου ελάσματος και το άλλο ακρο σε σταθρεο σημείο και εδινα ρεύμα στο κουδούνι. Έτσι φαινόταν δίπλα στην ακρη του ελάσματος μεγαλύτερο πλατος. (έτσι νομιζα τουλαχιστον!)
Ναι διότι σε ελεύθερο άκρο ελάσματος γίνεται κοιλία σε κάθε περίπτωση.
Δεν έχουμε αναστροφή φάσης.
Στο άλλο άκρο γίνεται δεσμός αν είναι πακτωμένο.
Είναι η περίπτωση της πηγής που λέει ο Διονύσης. Δεν έχω πρόβλημα με τέτοιες πηγές. Πρόβλημα έχω με διατυπώσεις σαν αυτή που έδωσα, με μηχανισμούς που αναγκάζουν το ένα άκρο να κινείται με δεδομένο πλάτος.
Ας πουν ότι:
Ξεκινάει από το άκρο Β κύμα πλάτους 2cm και ανακλώμενο στο Γ δημιουργεί στάσιμο με κοιλία στο Β.
Θα ήταν συνεπές και με το πνεύμα του βιβλίου.
Καλημέρα Γιάννη.
Συμφωνούμε…
Kαλημερα Γιαννη,καλημερα σε ολους. Κατα την γνωμη μου το κατα πόσον ενας μηχανισμος ειναι ανενδοτος ειναι ενα τεχνικο θεμα δυσκολο. Εγω οταν ακουω οτι μηχανισμος επιβαλει μια συνθηκη,θεωρω οτι αυτη ειναι απαραβιαστη μαθηματικη συνθηκη. Οπως πχ στις γνωστες μας συγχρονες πηγες που διαδιδουν κυματα στο επιπεδο. Το πλατος των σημειων στα οποια βρισκονται οι πηγες ειναι δεδομενο και δεν επηρεαζεται απο τα φαινομενα συμβολης.
Γεια σας. Κάποια αποσπάσματα από τη Φυσική I των Halliday –Resnick για τα στάσιμα κύματα σχετικά με το υπό συζήτηση θέμα: “Η κίνηση αυτή ονομάζεται κυματική γιατί προκύπτει ως επαλληλία δύο κυμάτων . Μπορούμε όμως ισοδύναμα να θεωρήσουμε την κίνηση αυτή σαν ταλάντωση της χορδής σαν σύνολο” και
“η ταλαντούμενη χορδή είναι κατ’ αρχήν η ίδια με ένα σύστημα ελατήριο – σώμα με τη διαφορά ότι το σύστημα ελατήριο – σώμα έχει μόνο μια φυσική συχνότητα ταλάντωσης ενώ μια ταλαντούμενη χορδή έχει ένα μεγάλο αριθμό φυσικών συχνοτήτων ”
Επιπλέον όπως φαίνεται στο συνημμένο απόσπασμα από το ίδιο βιβλίο,
“Όπως στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις του συστήματος ελατήριο – σώμα κατά τον συντονισμό (fδ =f0) η ενέργεια προσφέρεται κατά τον βέλτιστο τρόπο και έχουμε μεγιστοποίηση του πλάτους, έτσι και με τη χορδή αν ο δονητής του σχήματος ταλαντώνεται με συχνότητα παραπλήσια μιας από τις φυσικές συχνότητες της τεντωμένης χορδής , έχουμε ανάλογα αποτελέσματα. Η προσφορά ενέργειας από τον δονητή στη χορδή γίνεται κατά το βέλτιστο τρόπο και έτσι το πλάτος των κοιλιών και κατά συνέπεια το μέσο πλάτος γίνεται πολύ μεγαλύτερο από το πλάτος των ταλαντώσεων του δονητή. Αυτό έχει ως συνέπεια το σταθερό άκρο P να είναι δεσμός και το σημείο Q (σχήμα συνημμένου) σχεδόν ένας δεσμός. Αν η συχνότητα του δονητή είναι πολύ διαφορετική από τη φυσική συχνότητα του συστήματος, το κύμα που ανακλάται στο P επιστρέφοντας στο Q μπορεί να έχει μεγάλη διαφορά φάσεως με τον δονητή και μπορεί να δώσει λίγη ενέργεια στο δονητή όπως μπορεί να πάρει ενέργεια από αυτόν . Τότε το «στάσιμο» κύμα δεν έχει σταθερή μορφή και κινείται σπασμωδικά. Το μέσο πλάτος είναι μικρό και όχι πολύ διαφορετικό από το πλάτος του δονητή.” Περισσότερα περί αυτών στη δημοσίευσή μου “Προεκτάσεις στα στάσιμα κύματα”
Καλημέρα Κωνσταντίνε και Γιώργο.
Γιώργο δυστυχώς δεν έχω βρει ακόμα εξαιρετικό άρθρο για τα στάσιμα και τις καταστάσεις reasonance και antireasonance στο οποίο παλιότερα είχα κάνει παραπομπή. Άρθρο που πραγματεύονταν μαθηματικά το θέμα.
Γιάννη όπως προκύπτει από το βιβλίο Halliday – Resnick την εγκυρότητα του οποίου και συ επανειλημμένα έχεις επισημάνει, στην περίπτωση του θέματος σου η συχνότητα ταλάντωσης της χορδής διαφέρει σημαντικά από τις φυσικές συχνότητες της χορδής που δίνονται από τη σχέση f=nυ/2L,n=1,2,3,…. Οπότε “το στάσιμο κύμα δεν έχει σταθερή μορφή και κινείται σπασμωδικά”.Η γνώμη μου είναι να αποφεύγονται τέτοιες ασκήσεις για αυτόν ακριβώς το λόγο.
Ναι αλλά ο όρος “φυσικές συχνότητες της χορδής” εμφανίζεται σε δύο περιπτώσεις:
Η παρακάτω κατάσταση διαφέρει:
Για να βρούμε τι θα γίνει πρέπει να λύσουμε την κυματική εξίσωση:
Αυτή έχει διάφορες λύσεις. Λύση που ικανοποιεί την συνθήκη “ακίνητο άκρο” είναι μία της μορφής:
C.ημ2πx/λ.συν2πft (Μετρημένο το x από το πακτωμένο άκρο που είναι δεσμός).
Η λύση μας πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη στο άλλο άκρο (στο χέρι ή στον μηχανισμό). Το χέρι ταλαντεύεται με πλάτος Β. Έτσι πρέπει:
Β=C.ημ2πx/λ=>C=Β/(ημ2πx/λ).
Έτσι βρίσκουμε το (μεγάλο) πλάτος C των κοιλιών από το (μικρό) πλάτος Β του χεριού.
Αν είχα βρει το άρθρο που ανέφερα θα βλέπαμε όλα αυτά με λεπτομέρειες.
Στο άρθρο περιγράφεται η κατάσταση “αντισυντονισμού” (antireasonance) όπου C=B δηλαδή εκεί που πιάνει το χέρι έχουμε κοιλία.
Περιγράφεται και η κατάσταση συντονισμού (C>>B) που ισχύει όταν η συχνότητα είναι μία από τις φυσικές συχνότητες της χορδής πακτωμένης και στα δύο άκρα.
Για άλλες συχνότητες έχουμε στάσιμο κύμα αλλά όχι θεαματικό. Για να είναι θεαματικό πρέπει να πετύχουμε συντονισμό.
Το άρθρο δεν αντιφάσκει με όσα λένε οι Χαλιντέευ και Ρέσνικ, απλά καταδύεται σε λεπτομέρειες. Ούτε εγώ διαφωνώ με το άριστο αυτό βιβλίο.
Πώς εννοείς Γιάννη τη φράση “χορδή με το ένα άκρο ελεύθερο”; . Αυτό όπως προσπαθώ να κατανοήσω, παραπέμπει σε έλασμα, που είναι κάτι διαφορετικό από μια τεντωμένη με δύναμη F χορδή. Μη ξεχνάμε ότι η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος σε τεντωμένη χορδή εξαρτάται από την τεινουσα δύναμη F και από τη γραμμική πυκνότητα της χορδής. Για να διαδίδεται κύμα σε χορδή απαραίτητη προϋπόθεση είναι να υπάρχει αυτή η δύναμη που την τεντώνει. Πάντως το σχήμα του συνημμένου μου από τον Halliday είναι ακριβώς ίδιο με το δικό σου με τη διαφορά ότι στο Halliday φαίνεται και το αίτιο της τεινουσας δύναμης.
Γιώργο εννοώ αυτά:
Πακτωμένο άκρο.
Ελεύθερο άκρο.
Γεια σας παιδιά. Γιάννη μήπως αναφέρεσαι στο άρθρο Oscillations on a string ;
Γεια σου Αποστόλη. Είμαι στο πάρκο σαν καλός γέρος. Δεν βλέπω πολύ καλά το άρθρο αλλά μάλλον αυτό είναι.
Γιάννη στην εκφώνηση αναφέρεις ότι το άκρο Γ της χορδής είναι στερεωμένο- πακτωμένο. Στο άλλο άκρο του βρίσκεται ο
“δονητής” . Ακριβώς το ίδιο με το σχήμα του Halliday . Συνεπώς το σχήμα με το άκρο Γ ελεύθερο δεν είναι η περίπτωση που μελετάς σε αυτή εδώ τη δημοσίευση. Στην εικόνα σου με τον άνθρωπο και τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος ισχύει η σχέση f= nυ/2L , n=1,2,3,… Η χορδή πάλλεται με μια από τις φυσικές της συχνότητες ( για n=1, n=2 και n=3). Αυτή η σχέση σύμφωνα με τον Halliday ισχύει και στην περίπτωση που μελετάται εδώ και δίνει της φυσικές συχνότητες της χορδής . Είναι η ίδια ακριβώς περίπτωση. Είναι σαφές αυτό θεωρώ.