Είναι συντηρητικό το πεδίο;

Καλημερα σε ολους. Αυτο που συζηταμε δεν νομιζω οτι εχει σχεση με κατανομες μαζων ή φορτιων ή με το αν το πεδιο οριζεται πανω στην επιφανεια που βρισκονται τα φορτια,κλπ.Φυσικα και οριζεται. Το κανω εγω να οριζεται με το χερι. Ειναι το πεδιο g=r/r^3 για r>=R και g=0 για r<r Το πεδιο αυτο ειναι ορισμενο παντου στον χωρο.Ειναι συντηρητικο?,ειναι αστροβιλο? κλπ. Ειναι καθαρα μαθηματικο το ερωτημα δεν ειναι ερωτημα Φυσικης

Η πρωτη ειναι σωστη. Απλως δεν συμφωνω με τις διατυπωσεις περι λεπτοτατων σφαιρικων ομογενων φλοιων,περι μαζων κλπ τα οποια δεν εχουν σχεση με το ζητημα που μας απασχολει. Γραφεις την διανυσματικη συναρτηση την οποια θελεις να εξετασεις και τελος. Με την δευτερη λυση δεν συμφωνω αν και το τελικο συμπερασμα ισχυει,διοτι αναγεις την λυση στην συντηρητικοτητα του πεδιου μιας αλλης στοιχειωδους μαζας οπου μαλλον η θεση της μαζας αυτης εξαιρειται και ξεκιναει μια καινουργια συζητηση.Επισης οπως ειπα το προβλημα ειναι καθαρα μαθηματικο δεν εχει σχεση με μαζες.
ΤΕΛΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ : (οπως το αντιλαμβανομαι εγω) Η ασυνεχεια απο μονη της δεν ειναι αρκετη για να καταστησει ενα διανυσματικο πεδιο μη συντηρητικο. Ομως: τοτε η προταση οτι ο μηδενισμος του στροβιλισμου ειναι αναγκαια συνθηκη για να ειναι ενα πεδιο συντηρητικο,μαλλον δεν ειναι αληθής! ( Εγω την ειχα υπ οψιν μου ως αληθή).Η αληθης προταση ειναι οτι για να ειναι ενα πεδιο συντηρητικο πρεπει ο στροβιλισμος να ειναι μηδεν στα σημεια που οριζεται.

Γιαννη εχεις δικιο. Απο αυτην την συζητηση βγηκε ενα πολυ ενδιαφερον συμπερασμα. Kαταλαβα κατι που αγνοουσα απο την τριτη Δημοτικου. Προσεξε:
Το θεωρημα που λεει οτι αναγκαια συνθηκη για να ειναι ενα διανυσματικο πεδιο συντηρητικο,ειναι ο στροβιλισμος του να ειναι παντου μηδεν ειναι σωστο.  Η ασυνεχεια απο μονη της δεν ειναι αρκετη για να καταστησει ενα διανυσματικο πεδιο μη συντηρητικο. Μια ασυνεχεια μιας διανυσματικης συναρτησης περισσοτερων της μιας μεταβλητων,δεν αποκλειει την υπαρξη των μερικων παραγωγων ολων των συνιστωσων ως προς ολες τις μεταβλητες με αποτελεσμα πιθανον αυτες που χρειαζονται στον υπολογισμο του στροβιλισμου,τελικα να οριζονται στο σημειο της ασυνεχειας.
Παραδειγμα1:
To πεδιο g του σφαιρικου φλοιου που επικαλεστηκες,εχει σε σφαιρικες συντεταγμενες μονο r συνιστωσα.Την συμβολιζω gr.Δεν εχει ουτε φ ουτε θ συνιστωσες.Eπισης η ασυνεχεια ειναι μονο κατα μηκος της ακτινας δηλαδη του r αξονα. Αρα αυτου του τυπου η ασυνεχεια εχει ως αποτελεσμα η μονη παραγωγος που δεν οριζεται να ειναι η dgr/dr (το r στον αριθμητη ειναι δεικτης) .Ομως αυτη η παραγωγος δεν υπαρχει στην εκφραση του στροβιλισμου σε σφαιρικες συντεταγμενες https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates
με αποτελεσμα ο στροβιλισμος πανω στην σφαιρικη επιφανεια να μηδενιζεται μια χαρα ενω εγω εκανα το λαθος να πω οτι δεν οριζεται.
Παραδειγμα 2:
Στο αρχικο σου ερωτημα αυτης της αναρτησεως,το πεδιο F ειναι κατα μηκος του x αξονα δηλαδη εχει μονο την Fx συνιστωσα και επομενως η παραγωγος dFx/dz δεν υπαρχει. Αυτη η παραγωγος ομως υπαρχει στην εκφραση του στροβιλισμου σε καρτεσιανες συντεταγμενες με αποτελεσμα ο στροβιλισμος να μην οριζεται στο επιπεδο z=0. Aρα ειχα δικιο οτι λογω της ασυνεχειας η συναρτηση F(x,y,z)=4i αν z>=0 και F(x,y,z)=0 αν z<0 δεν ειναι συντηρητικη. Ειχα δικιο συμπτωματικα ομως λογω του τυπου της ασυνεχειας. Αν την αλλαξουμε και την κανουμε F(x,y,z)=4κ αν z>=0 και F(x,y,z)=0 αν z<0 δηλαδη το πεδιο να εχει μονο z συνιστωσα,τοτε η ασυνεχεια δεν μας επηρεαζει διοτι η παραγωγος dFz/dz η οποια δεν οριζεται,δεν υπαρχει στην εκφραση του στροβιλισμου σε καρτεσιανες συντεταγμενες και ο στροβιλισμος και οριζεται πανω στο z=0 και μηδενιζεται μια χαρα.
Συμπερασμα. Το γεγονος οτι μια διανυσματικη συναρτηση εχει ασυνεχεια σε καποιο σημειο δεν σημαινει κατ αναγκην οτι ο στροβιλισμος δεν οριζεται.
Παιζει ρολο τι ειδους ασυνεχεια ειναι αυτη. Αν η ασυνεχεια ειναι κατα μηκος μιας μονο μεταβλητης και η συναρτηση εχει συνιστωσα μονο κατα μηκος του αντιστοιχου αξονα , τοτε ο στροβιλισμος οριζεται.

Καλημερα Αρη και Γιαννη. Αρη δεν καταλαβα τι ακριβως εννοεις.