by 
Ένας πανεπιστημιακός βάζει μια άσκηση στους φοιτητές του:
Το δυναμικό πεδίο F = i.4 N για κάθε z≥0 και F = 0 για κάθε z<0 είναι συντηρητικό;
Δύο από αυτούς προσεγγίζοντας διαφορετικά το θέμα δίνουν δύο διαφορετικές απαντήσεις.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Ένας πανεπιστημιακός βάζει μια άσκηση στους φοιτητές του:
Το δυναμικό πεδίο F = i.4 N για κάθε z≥0 και F = 0 για κάθε z<0 είναι συντηρητικό;
Δύο από αυτούς προσεγγίζοντας διαφορετικά το θέμα δίνουν δύο διαφορετικές απαντήσεις.
Στάθη αυτό δεν το ξέρω.
Τα Μαθηματικά μου δεν είναι σαν τα δικά σου.
Δύο πράγματα μπορούμε να κάνουμε:
Καλησπέρα στην παρέα.
Από χθες που είδα τελευταία φορά την ανάρτηση του Γιάννη «κύλισε πολύ νερό στο αυλάκι»
Ας ξεκινήσουμε από την ερώτηση του Γιάννη
Το δυναμικό πεδίο F = 4κ N για κάθε z≥0 και F = 0 για κάθε z<0 είναι
συντηρητικό;
Δηλαδή αν ήταν μια άσκηση μαθηματικών αναφερόταν σε μια διανυσματική συνάρτηση F και ρώταγε ποιο είναι το πεδίο ορισμού τι θα απαντάγαμε;
Γι’ αυτή την συνάρτηση λοιπόν με αυτό το πεδίο ορισμού έχουμε curlF=0 ενώ έργο σε μια κλειστή διαδρομή είναι διάφορο από το μηδέν.
Εδώ υπάρχουν πολλές απαντήσεις;
Έγραψε ο Κωνσταντίνος «ενα ασυνεχες διανυσματικο πεδιο δεν ειναι ποτέ συντηρητικο. Αυτο επισης εξηγειται απο το οτι αν ενα ασυνεχες πεδιο ηταν συντηρητικο θα επρεπε να μπορει να παραχθει απο την κλιση ενος βαθμωτου δυναμικου. Η κλιση ενος βαθμωτου δυναμικου ομως δεν εχει ποτέ ασυνεχειες,οπερ ατοπον.»
Ποιες είναι οι αντιρρήσεις σε αυτή την θέση;
Έγραψε ο Στάθης. «Στον φλοιό ο χώρος εκτός ( αλλά και εντός) είναι και απλά συνεκτικός και αστρόβιλος. Άρα ο χώρος εκτός είναι συντηρητικό πεδίο. Σε ποιο σημείο του ορισμού υπάρχει πρόβλημα; Τα προβλήματα αρχίζουν όταν διασχίζεις την επιφάνεια.»
Στο παράδειγμα του Βασίλη με το Μαγνητικό για να βγεις έξω από το πεδίο δεν υπάρχουν πηγές. Εκεί τι λέμε;
Είναι γνωστό ότι μπορούμε να γράψομε άπειρα διατηρητικά πεδία θεωρώντας τυχαίες συναρτήσεις δυναμικής ενέργειας V(x, y, z) μέσω της
Όμως η V(x.y.z) πρέπει να είναι μονότιμη ΠΑΝΤΟΥ στο πεδίο ορισμού. Η όποια ασυνέχεια σημαίνει δεν μπορεί να θεωρήσουμε ότι το διανυσματικό πεδίο προέρχεται από δυναμικό.
Δες και εδώ
https://math.mit.edu/~djk/18_022/chapter06/contents.html την παράγραφο 6.3
Γεια σου Άρη.
Θα τα δω όλα αλλά αμφιβάλλω αν θα λυθεί η απορία μου. Δηλαδή:
Βάζω ένα πεδίο που όλοι συμφωνούμε ότι δεν είναι συντηρητικό.
Ο Κωνσταντίνος λέει ότι δεν είναι συντηρητικό διότι είναι ασυνεχές.
Βάζω δύο πεδία που είναι ασυνεχή αλλά συντηρητικά (πιστεύω).
Μένει να αποδειχθεί ότι είναι συντηρητικά ή ότι δεν είναι συντηρητικά. Την απόδειξη την επιλέγει όποιος την κάνει. Θα δώσω δύο αποδείξεις και θα ζητήσω το λάθος που κάνουν. Έστω σαν σπαζοκεφαλιά.
Όταν λέω λάθος εννοώ αυτό της απόδειξης και όχι κάτι σαν ‘Η απόδειξή σου είναι λάθος διότι το curl….”. Στη σπαζοκεφαλιά που αποδεικνύουμε ότι μία ορθή ισούται με μία οξεία καλούμαστε να βρούμε το λάθος και όχι να πούμε “Είναι λάθος διότι μία οξεία δεν είναι ίση με μία ορθή διότι έχει μικρότερο της μονάδας ημίτονο”.
Σε λίγα λεπτά τη γράφω….
Καλησπέρα Άρη
Στο παράδειγμα του Βασίλη, ο χώρος είναι απλά συνεκτικός, αλλά το πεδίο στροβιλώδες.
Δεν διαφωνώ με τον Κωνσταντίνο. Υπάρχει ασυνέχεια στην επιφάνεια του φλοιού, άρα στροβιλισμός. Το πεδίο σε όλον τον χώρο δεν είναι συντηρητικό. Είναι εκτός φλοιού, άρα εκεί διατηρείται η μηχανική ενέργεια.Δεν ε,ουν φυσικό νόημα διαδρομές από έξω, μέσα και ανάποδα. Γιατί το πεδίο δεν ορίζεται ΠΑΝΩ στον φλοιό, αλλά στο R+ και R- (R η ακτίνα).
Αυτήν είναι η θέση μου.
Μοιάζει με την περίπτωση ομοιόμορφης ροής κατά μήκος μιας φλέβας νερού. Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulli από ένα σημείο εντός φλέβας σε ένα σημείο εκτός. Το είχαμε συζητήσει εκτενώς παλιά
Οι αποδείξεις που έλεγα:
Ζητώ λάθος σ’ αυτές και όχι προσέγγιση από άλλο δρόμο.
Όπως αυτό με τη οξεία που δεν ισούται με μία ορθή και καλούμαστε να βρούμε το λάθος χωρίς να πούμε:
-Είναι λάθος διότι το ημίτονο…..
Καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη συγγνώμη, αλλά τώρα είδα την ερώτησή σου για τον φλοιό.
Δεν μπορώ να το αποδείξω, αλλά πιστεύω ότι στην πράξη κάποια φορτία θα είναι και πιο εσωτερικά από την ακτίνα, οπότε θα έχουμε και βαθμιαία μείωση.
Όπως και σε ένα πυκνωτή δεν έχουμε απότομο μηδενισμό του πεδίου.
Βασίλη είναι βαρυτικό και όχι ηλεκτρικό πεδίο.
Σε έναν σφαιρικό φλοιό έχουμε μηδενισμό του πεδίου μέσα και σημαντική τιμή μέσα.
Οι φλοιοί αυτοί ήταν νοητικό κατασκεύασμα και λύναμε το πρόβλημα της ταλάντωσης μέσα σε σήραγγα της γης.
Και τα ηλεκτρικά πεδία μηδενίζονται απότομα. Το χρησιμοποιούσαμε σε εφαρμογές του νόμου του Γκάους.
Από το Δημοκρίτειο:
Και εκεί διδάσκουν απότομους μηδενισμούς πεδίων
Και σε ένα κάρο βιβλία όπως βιβλία πρωτοετών, το βιβλίο των Δεσμών κ.λ.π.
Αν μη τι άλλο στέκει ως προσέγγιση της πραγματικότητας.
Προσεγγίσεις κάνουμε πολλές. λεπτές ράβδοι , λεπτοί κυλινδρικοί φλοιοί, αρθρώσεις μικρές σαν σημείο κ.λ.π.
Δεν λέμε:
-Ναι αλλά δεν υπάρχει κυλινδρικός φλοιός χωρίς πάχος!
Γεια σου Στάθη.
Η τελευταία φράση σου είναι:
«Δεν έχουν φυσικό νόημα διαδρομές από έξω, μέσα και ανάποδα. Γιατί το πεδίο δεν ορίζεται ΠΑΝΩ στον φλοιό, αλλά στο R+ και R- (R η ακτίνα). Αυτήν είναι η θέση μου.»
Αφού σε προηγούμενη κουβέντα λύσαμε το θέμα του να είναι απαραίτητο ο χώρος να είναι απλά συνεκτικός για να είναι το curlF=0 ικανή και αναγκαία ώστε το πεδίο να είναι συντηρητικό, με αυτή την ανάρτηση ο Γιάννης θέτει το ζήτημα της ασυνέχειας.
Δηλαδή από τους δυο ορισμούς για το συντηρητικό ο ένας το βγάζει συντηρητικό και ο άλλος όχι λόγω της ασυνέχειας του πεδίου.
Στην τελευταία σου φράση λες εγώ θα πάρω χωριστά το πεδίο έξω και χωριστά το μέσα που είμαι σίγουρος τι συμβαίνει.
Στην φύση και την πραγματικότητα που δεν κάνουμε εμείς κουμάντο φορτία περνάνε από ασυνέχειες μαγνητικού και ηλεκτρικού πεδίου και πρέπει να δούμε τι γίνεται τότε.
Ίσως θυμάσαι στα μαθήματα του Αλυσανδράκη να σας είχε μιλήσει για την «Επιτάχυνση Fermi πρώτης και δεύτερης τάξης»
Πρόκειται για δυο μηχανισμούς επιτάχυνσης της κοσμικής ακτινοβολίας που περιέγραψε το 1949 ο Fermi όπου τα φορτία του κοσμικού πλάσματος (δεν έχει να κάνει με ιδιότητες του πλάσματος) συγκρούονται με μαγνητικά νέφη περιοχές με έντονο μαγνητικό πεδίο και τελικά επιταχύνονται ακριβώς λόγω της ασυνέχειας του πεδίων. Όποτε θέλεις ρίξε μια ματιά στο https://repository.kallipos.gr/handle/11419/3108 σελ. 97 τελευταία παράγραφος μέχρι σελ 102 Ιδιαίτερα τα σχήματα 8.2 8.3
Καλό κουράγιο την δύσκολη αυτή περίοδο.
Μα φυσικά ορίζεται το πεδίο πάνω στην επιφάνεια του φλοιού.
Όλες οι στοιχειώδεις μάζες δημιουργούν πεδίο σε κάθε σημείο της επιφάνειας εκτός από τη μάζα που βρίσκεται σ’ αυτό το σημείο.
Δηλαδή χάσαμε το πεδίο από μια μάζα dm.
Το πεδίο αυτό υπολογίζεται από το νόμο του Γκάους αλλά προσαρμοσμένο στο βαρυτικό πεδίο.
Αυτό που είναι μηδέν πάνω στην επιφάνεια (μετάλλου) είναι το ηλεκτρικό πεδίο.
Γεια σου Βασίλη. Συγνώμη για την καθυστέρηση. Μια προσπάθεια απάντησης στη ερώτησή σου. Βασικό στοιχείο ενός πεδίου δυνάμεως είναι η πηγή που το παράγει. Η πηγή καθορίζει τα χαρακτηριστικά του πεδίου που αυτή δημιουργεί. Το πεδίο που δημιουργεί επίπεδος φορτισμένος πυκνωτής εκτείνεται θεωρητικά σε όλο το χώρο μεταξύ αλλά και εκτός των οπλισμών και είναι συντηρητικό. Όμως μόνο στο χώρο μεταξύ των οπλισμών είναι ομογενές . Στο παράδειγμά σου έχουμε δύο πηγές ΟΗΠ ,δύο φορτισμένους πυκνωτές ο ένας «δίπλα» στον άλλο, που ο καθένας δημιουργεί το δικό του πεδίο που εκτείνεται ως το «άπειρο». Το κάθε πεδίο διατηρεί την ανεξαρτησία του. Μπορούμε να τα θεωρήσουμε αυτά τα δύο πεδία ως ένα; Από τις περιπτώσεις που σκέφτηκα δεν θεωρούμε τα δύο πεδία ως ένα και αναφέρθηκα σε κάποια παραδείγματα . Βέβαια θα δεχθώ ότι δεν είναι αυτός ο ενδεδειγμένος τρόπος απάντησης. Αυτό και μόνο κάνει την ερώτησή σου εύλογη. Εκ των υστέρων όμως σκέφτηκα το εξής: Αν θεωρήσουμε τα δυο ΟΗΠ ως ένα τι είναι αυτό το πεδίο ; Συντηρητικό ή μη συντηρητικό; Θα απαντήσω με ένα ερώτημα: Μπορεί να είναι το καθένα από τα δύο πεδία συντηρητικό όμως ενώ το έργο κάθε δύναμης είναι μηδέν κατά μήκος τυχούσης κλειστής διαδρομής, να μην ισχύει το ίδιο για τη συνισταμένη τους; Το μείζον πρόβλημα – αιτία της αντίφασης θεωρώ ότι είναι η περιοχή περί το σύνορο των πεδίων . Περί αυτού νομίζω ότι συμφωνούμε . Και τώρα στο υπό συζήτηση παράδειγμα του Γιάννη. Ο απότομος μηδενισμός της δύναμης για μένα δεν σχετίζεται με πέρασμα δια μέσου της πηγής του πεδίου π.χ. λεπτού σφαιρικού φλοιού γιατί τότε ένα σωμάτιο που κινείται στη μια περιοχή δεν θα μπορούσε να περάσει στην άλλη χωρίς να αλληλοεπιδράσει με τις δομικές μονάδες της πηγής. Ούτε να παρεμβαίνουμε αυτοβούλως – κατόπιν επιλογής μας- στη πηγή του πεδίου ανοίγοντας τρύπες για να περάσει το σωμάτιο από τη μία πλευρά της πηγής του πεδίου στην άλλη και τούμπλαλιν γιατί αυτό δεν είναι εύκολο να γίνει, όπως προαναφέραμε.
Άσκηση:
Ο φλοιός έχει ακτίνα R και μάζα Μ.
Το σώμα αφήνεται από ύψος R και βγαίνει από την άλλη περνώντας από τις δύο τρύπες.
Σε πόση ώρα διασχίζει τον δακτύλιο;
Μπορεί να είναι άσχημη, άχαρη ή οτιδήποτε άλλο αλλά υπάρχει και μοιάζει με την άλλη με την τρύπα στη γη.
Καλησπέρα και πάλι.
Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.
Γιάννη μπερδεύτηκα λίγο.
Λες βαρυτικό είναι, όχι ηλεκτρικό και η γραφική παράσταση είναι ηλεκτρικού.
Πάντως από την αρχή σε αυτή τη γραφική παράσταση αναφέρομαι.
Απλώς θεωρώ ότι είναι εξιδανίκευση – προσέγγιση.
Στην πράξη πιστεύω ότι η μετάβαση θα είναι πιο ομαλή.
Βασίλη το βαρυτικό πεδίο:
Το ηλεκτρικό πεδίο:
