by 
Ένας πανεπιστημιακός βάζει μια άσκηση στους φοιτητές του:
Το δυναμικό πεδίο F = i.4 N για κάθε z≥0 και F = 0 για κάθε z<0 είναι συντηρητικό;
Δύο από αυτούς προσεγγίζοντας διαφορετικά το θέμα δίνουν δύο διαφορετικές απαντήσεις.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Ένας πανεπιστημιακός βάζει μια άσκηση στους φοιτητές του:
Το δυναμικό πεδίο F = i.4 N για κάθε z≥0 και F = 0 για κάθε z<0 είναι συντηρητικό;
Δύο από αυτούς προσεγγίζοντας διαφορετικά το θέμα δίνουν δύο διαφορετικές απαντήσεις.
Στάθη αποκτά νόημα αν μας ζητήσουν το έργο από το Α στο Β:
Ποια είναι η τιμή του πεδίου πάνω στον φλοιό; Ή ισοδύναμα ποια η τιμή του πεδίου πάνω σε μία σημειακή πηγή;
Αν πας από το Α στο Β μέσω συνεχούς φλοιού, θα ανοίξεις τρύπα στην πηγή του πεδίου, άρα το πεδίο δεν θα είναι το ίδιο. Έχει νόημα αυτήν η διαδρομή; ΄Η θα κινείσαι εντός ή εκτός.
Υπάρχει βεβαια ως αντιπρόταση και το παράδειγμα της διαμπερούς σύραγγας στην γή, αλλά εκεί προσεγγιστικά θεωρείς ότι η πηγή εξακολουθεί να είναι συμπαγής και σφαιρική. Δεν είναι το ίδιο η προσέγγιση με τον ορισμό.
Η τιμή του πεδίου πάνω στον φλοιό είναι g=G.M/R^2.
Όλα αυτά αποκτούν νόημα όταν (στο γνωστό πρόβλημα με τη σήραγγα) διαιρούμε τη γη σε στοιχειώδεις φλοιούς και λέμε ότι κάθε φλοιός προκαλεί μηδενικό βαρυτικό πεδίο μέσα του και πεδίο G.dM/x^2 στην επιφάνειά του.
Είναι ένα εργαλείο επίλυσης προβλημάτων.
Το ίδιο και όταν εφαρμόζουμε τον νόμο του Γκάους όχι σε μεταλλική επιφάνεια αλλά σε σφαιρική κατανομή φορτίου.
Η αλλοίωση του πεδίου όταν ανοίγεις τρύπες παρακάμπτεται με τρύπες αμελητέας διαμέτρου και φυσικά έχοντας την αίσθηση ότι κάνεις μια υπέροχα καλή προσέγγιση.
Κάτι σαν την ροπή αδράνειας ομογενούς και λεπτής ράβδου, τη ροπή αδράνειας δακτυλίου που δεν αλλάζει αν μια σφαίρα τον διαπεράσει ή…..
Καλημέρα και πάλι. Προσπάθεια απάντησης σε:
Γεώργιος Βουμβάκης
02/06/2025 9:19 ΠΜ
Γεια σας. Δυναμικό πεδίο και μάλιστα ομογενές υπάρχει για z≥0 (περιοχή Α) . Για z<0 (περιοχή Β) ο χώρος δεν είναι δυναμικό πεδίο. Ένα κινούμενο ελεύθερο σωμάτιο στη περιοχή Β κάνει ΕΟΚ . Η μελέτη της κίνησης του σωματίου σε χώρο με τα χαρακτηριστικά του εν λόγω θέματος είναι γνωστή. Είναι για παράδειγμα η κίνηση σωματίου που εισέρχεται στο, ή τοποθετείται σε – εκτοξεύεται από σημείο ΟΗΠ. Στη περιοχή Α οι δύο τρόποι (στροβιλισμός της F μηδέν και έργο μηδέν κατά μήκος κλειστής διαδρομής)
είναι σε πλήρη συμφωνία . Συνεπώς για z≥0 υπάρχει ένα ομογενές – συντηρητικό – πεδίο ενώ στη περιοχή Β δεν υπάρχει δυναμικό πεδίο συνεπώς το ερώτημα αν είναι συντηρητικό ή όχι δεν τίθεται για κάτι που δεν υπάρχει. Αν στη περιοχή Β υπήρχε ένα άλλο πεδίο διαφορετικό του υπάρχοντος στη περιοχή Α το αντιμετωπίζουμε όπως το 1ο ελέγχοντας αν είναι ή όχι συντηρητικό αν χρειάζεται ή ζητείται. Όμως τα δύο διαφορετικά πεδία δεν τα ενοποιούμε, δεν τα συγχωνεύουμε σε ένα κατά τη γνώμη μου . Μελετάμε ξεχωριστά την κίνηση σε κάθε πεδίο.
Η άποψή μου:
Αν θεωρήσουμε το πεδίο:
F = 4 N για κάθε z≥0 και F = 2 Ν για κάθε z<0 είναι
Τότε ισχύουν ξανά αυτά που είπε ο Γιάννης και στην περιοχή Β υπάρχει πεδίο, οπότε το ερώτημα τίθεται.
Τότε τι απαντάμε;
Ότι στην περιοχή Α υπάρχει ένα συντηρητικό πεδίο, στην περιοχή Β ένα άλλο, αλλά τα διαφορετικά πεδία δεν τα ενοποιούμε;
Και υποστηρίζουμε την ύπαρξη τέτοιου π.χ. ηλεκτρικού πεδίου αν αντί για F θεωρήσουμε ένταση Ε με τέτοιες τιμές;
Δηλαδή λέμε ότι υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο:
Ε = 4 N/c για κάθε z≥0 και E = 2 Ν/c για κάθε z<0;
Οπότε υφίσταται ένα ηλεκτρικό συνολικό πεδίο με έργο σε κλειστή διαδρομή διάφορο του μηδενός, αλλά αυτό δεν πειράζει γιατί δεν ενοποιούμε τα πεδία;
Ένα οποιοδήποτε πεδίο (κατά τη γνώμη μου) «κρίνεται» ως προς τη συντηρητικότητα σε ΟΛΟ το χώρο.
Γι’ αυτό και δεν είναι δυνατή η ύπαρξη όλων των πεδίων – μαθηματικών κατασκευασμάτων.
Το πεδίο του Γιάννη είναι ΜΗ συντηρητικό και όχι συντηρητικό κατά περίπτωση.
Γι’ αυτό και τα γραφόμενα: «Βέβαια σε πραγματικά φυσικά συστήματα το πεδίο δεν μηδενίζεται απότομα όπως συμβαίνει εδώ κατά το πέρασμα από τη περιοχή Α στη περιοχή Β. Το όριο δεν είναι μια επίπεδη επιφάνεια όπως το επίπεδο xOy». Είναι σωστά
Ακόμη και ΜΗ συντηρητικά πεδία δεν μπορούν να υπάρχουν όπως εμείς θέλουμε, λόγω άλλων περιορισμών. Φαίνεται στην εικόνα και ΔΕΝ είναι δικό μου.
Να είστε όλοι καλά!
Καλημερα Γιαννη και Σταθη. Το πεδιο για το οποιο συζηταμε αν G και Μ τα παρουμε μοναδιαια,ειναι το : g=r/rrr αν r>=R και g=0 αν r<R. Συζηταμε για μια τετοια συναρτηση χψρις να μας ενδιαφερει η Φυσικη που υπαρχει πισω της.Αυτο το πεδιο δεν ειναι αστροβιλο διοτι ο στοβιλισμος ειναι μια ποσοτητα που κατασκευαζεται απο τις παραγωγους κατα μηκος των r,θ,φ και η dg/dr δεν υπαρχει πανω στον φλοιο λογω της ασυνεχειας και συνεπως δεν υπαρχει και ο στροβιλισμος. Το να ειναι ο στροβιλισμος μηδεν παντου ομως ειναι αναγκαια συνθηκη για να ειναι το πεδιο συντηρητικο. Αρα το πεδιο δεν ειναι συντηρητικο.Ομως δεν μπορω να σκεφτω κλειστη καμπυλη με επικαμπυλιο οχι μηδεν Δεν ξερω.
Γεια σας Βασίλη και Κωνσταντίνε.
Κωνσταντίνε εγώ απλώς απάντησα σε κάτι που έγραψες:
Αρα Διονυση και Γιαννη το συμπερασμα ειναι απλως οτι ενα ασυνεχες διανυσματικο πεδιο δεν ειναι ποτέ συντηρητικο.
Αποφεύγοντας κάθε σχέση έδωσα δύο παραδείγματα (σχήματα) συνηθισμένων πεδίων που είναι ασυνεχή αλλά συντηρητικά.
Τα σχήματα αλλά και αυτό του Δημοκρίτειου στην προηγούμενη σελίδα.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε
Τα βαρυτικά πεδία και τα ηλεκτροστατικά δεν μπορούν να οριστούν πάνω στις πηγές τους, ως εκτούτου στις πηγές πάντα θα προκύπτουν ασάφειες Για παράδειγμα, το σημείο του χώρου στο οποίο βρίσκεται ένα σημειακό φορτίο, ανήκει στο πεδίο; Προφανώς όχι. Έχουν νόημα τροχιές που διέρχονται από το σημείο;
Στον φλοιό ο χώρος εκτός ( αλλά και εντός) είναι και απλά συνεκτικός και αστρόβιλος. Άρα ο χώρος εκτός είναι συντηρητικό πεδίο. Σε ποιο σημείο του ορισμού υπάρχει πρόβλημα; Τα προβλήματα αρχίζουν όταν διασχίζεις την επιφάνεια.
Καλημέρα Βασίλη. Έγραψα την γνώμη μου στο προηγούμενο σχόλιό.
Βασίλη λες:
Γι’ αυτό και τα γραφόμενα: «Βέβαια σε πραγματικά φυσικά συστήματα το πεδίο δεν μηδενίζεται απότομα όπως συμβαίνει εδώ κατά το πέρασμα από τη περιοχή Α στη περιοχή Β. Το όριο δεν είναι μια επίπεδη επιφάνεια όπως το επίπεδο xOy». Είναι σωστά.
Δεν είναι δικό μου
Δεν έχουμε απότομο μηδενισμό κατά το πέρασμα από τη μία περιοχή στην άλλη;
Να το θέσω διαφορετικά, όπως το καταλαβαίνω.
Το βαρυτικό πεδίο μιας κατανομής μάζας ορίζεται από τα αντίστοιχα πεδία των σημειακών μαζών της. Και δεν αγγίζουμε τις σημειακές πηγές.
Το κριτήριο περί συντηρητικότητας αναφέρεται σε απλά συνεκτική περιοχή του χώρου (domain) και αστρόβιλα πεδία στην περιοχή αυτή. Άρα εκτός και εντός μια χαρά λειτουργεί το κριτήριο.
Αν πάμε όμως από ένα σημείο εκτός σε ένα σημείο εντός, προφανώς και δεν διατηρείται η μηχανική ενέργεια, πρέπει να “σπάσεις” τον φλοιό.Αυτές οι διαδρομές απαγορεύονται στο υπάρχον μοντέλο. Αλλιώς είμαστε στην δυσάρεστη θέση να μην υπάρχουν μηδενικά έργα σε όλεςβτις κλειστές διαδρομές, αλλά το πεδίο να είναι μη συντηρητικό.
Δεν συμφωνώ Στάθη.
Αν ο σφαιρικός φλοιός παραμείνει σφαιρικός φλοιός και μετά την τρύπα δεν υπάρχει ούτε μία διαδρομή με μη μηδενικό έργο.
Η απόδειξη πολύ εύκολη:
Σπάμε το έργο σε 3 κομμάτια. Από το Α στο Ε, από το Ε στο Ζ και από το Ζ στο Α.
Τα Ε και Ζ είναι ισοδυναμικά (διότι ο φλοιός αντικαθίσταται από υλικό σημείο) και το πρώτο έργο είναι αντίθετο του τρίτου.
Το έργο από το Ε στο Ζ είναι μηδέν διότι εσωτερικά δεν δέχεται δύναμη.
Έτσι σε κάθε κλειστή διαδρομή το έργο θα είναι μηδέν.
Μάλλον δεν χρειάζεται να τη γράψω αναλυτικά, κάτι όχι δύσκολο.
Υπάρχει και άλλη απόδειξη Στάθη:
Ο φλοιός αποτελείται από υλικά σημεία. Το βαρυτικό πεδίο κάθε σημείου είναι συντηρητικό. Η επαλληλία τους θα δώσει φυσικά ένα συντηρητικό βαρυτικό πεδίο.
Δηλαδή το έργο από το Α στο Α θα είναι μηδέν για κάθε πεδιάκι που γεννά κάθε μαζούλα. Για να βρούμε το συνολικό έργο από το Α στο Α προσθέτουμε αυτά τα μηδενικά έργα. Μηδέν θα βγάλουμε σε κάθε διαδρομή.
Συμφωνώ Γιάννη.
Το πεδίο πάνω σε ένα υλικό σημείο ορίζεται;
Φυσικά δεν ορίζεται το πεδίο που σημειακή μάζα δημιουργεί πάνω στο σημείο που αυτή βρίσκεται.
Ούτε στα Α, ούτε στο Β, ούτε στις τρύπες έχουμε υλικά σημεία.
Τα άλλα υλικά σημεία δημιουργούν πεδία στο Α στο Β και σε κάθε σημείο της διαδρομής, συμπεριλαμβανομένων και των σημειακών τρυπών.
Αν κατάλαβα καλά, ο φλοιός δεν είναι συνεχής, αλλά έχει τρύπες στην επιφάνειά του από όπου περνούν οι μαζούλες.
Εξακολουθεί να μου φαίνεται περίεργο.
Αλλά πέραν αυτού, το πεδίο σε όλο τον χώρο είναι ασυνεχές στην επιφάνεια του φλοιού, απλά συνεκτικό σε όλον τον χώρο, αστρόβιλο και συντηρητικό γιατί όλα τα κλειστά έργα είναι μηδέν.
Αστρόβιλο και ασυνεχές πώς γίνεται; Γιατί αν είναι στροβιλώδες σε απλά συνεκτική περιοχή, πως είναι συντηρητικό;
Αν είναι μη συντηρητικό, τότε γιατί όλα τα κλειστά έργα είναι μηδέν;
Αυτά δεν είναι αντιφατικά;