by 
Ξέρουμε ότι είναι διαφορικό, ξέρουμε τον ορισμό αλλά πρέπει να παρουσιάσουμε στους μαθητές έννοιες που το περιέχουν. Παρουσιάζεις την ιδέα. Ιδέα που είχε ο Αρχιμήδης, ιδέα που οδήγησε τους Μαθηματικούς σε μια αυστηρή θεμελίωση.
Πρέπει να βοηθήσεις τους πιτσιρικάδες να καταλάβουν κάτι δύσκολο με απλά λόγια.
Πρέπει να αδιαφορήσεις για την πιθανή δυσαρέσκεια ενός Μαθηματικού που θεωρεί ότι κάνεις αρκουδιές ανάγοντας την παραγώγιση σε διαίρεση.
-Αυτά δεν είναι σωστά μαθηματικά διότι…
-Καιρός φέρνει τα λάχανα, καιρός τα παραπούλια.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Οι ντοπιολαλιές έχουν ιστορική αξία και αξίζει να διατηρούνται τουλάχιστον …από τους ντόπιους αλλά και τους Δασκάλους .
Στο Πανεπιστήμιο στο Ρέθεμνος ,στο παιδαγωγικό τμήμα προσχολικής εκπαίδευσης έχει μπεί σαν μάθημα (νομίζω επιλογής) η διδασκαλία της Κρητικής διαλέκτου.
Εννοείται πως οι ντόπιοι ξέρουν και την νεοελληνική για να συνεννοηθεί ο Άγγλος και κάτι να μάθει επι πλέον από την επίσκεψή του στη νήσο .
Καλησπέρα στους συμμετέχοντες στην πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση που ξεκίνησε με αφορμή την σχετική πρόσφατη ανάρτηση του Κωνσταντίνου με τον πολύ χαρακτηριστικό και εύστοχο τίτλο «Θα φτιάξω μια μακαρονάδα σε χρόνο dt και με θετική Ενέργεια».
Θεωρώ και εγώ ότι το να χρησιμοποιούμε την έκφραση «σε χρόνο ντε τε» για να εκφράσουμε το πολύ σύντομο, «το στιγμιαίο» είναι λάθος. Ένα λάθος που οφείλεται σε κάποια σύγχυση που απορρέει από τον τρόπο γραφής των σχετικών συμβολισμών.
Όσον αφορά σε αυτό δηλαδή στη γραφή των συμβολισμών:
συνέχεια
Τα διαφορικά δεν είναι «στοιχειώδεις ποσότητες» αφού όπως απορρέει από τον αυστηρό επιστημονικό τους ορισμό είναι ποσότητες ανάλογες με συντελεστή αναλογίας τη σχετική παράγωγο. Αν η παράγωγος σε ένα σημείο μιας συνάρτησης f(t ) είναι 2 τότε τα σχετικά διαφορικά dt κα dx θα μπορούσε να ήταν 0,0001 και 0,0002 όπως το ίδιο καλά θα μπορούσε να ήταν 2000 και 4000 …
Το «ντε κάτι» είναι προϊόν ΠΟΠ κατοχυρωμένο στα Μαθηματικά και δεν είναι δίκαιο να “ρίχνουμε στην αγορά” κάτι μη γνήσιο με την ίδια ετικέτα.
Καλησπέρα Μανώλη.
Αν θέλεις πες το λάθος αλλά ένα λάθος που βολεύει και ίσως επιβάλλεται μια και γίνεται κατανοητό εύκολα. Επίσης οδηγεί σε υπολογισμούς και αποδείξεις εύκολα.
Παράδειγμα:
Την απόδειξη την παρουσιάζαμε κάποτε στην Α’ Λυκείου.
Το μικρό βελάκι dυ στο σχήμα γεωμετρικά υπολογιζόταν (dυ=υ.dφ) και όχι ως διαφορικό. Πως αλλιώς θα χειριστούμε τέτοιους υπολογισμούς; Μιλώντας για διαφορικά σε παιδιά της Α’ Λυκείου;
Μήπως να μιλάμε μόνο για ευθύγραμμες κινήσεις ώστε να μην πέσουμε σε κακή χρήση Μαθηματικών;
Το dυ δεν το θέλω μόνο για να ορίσω τη στιγμιαία ταχύτητα.
Ο Αλεξόπουλος στο Γυμνασιακό του βιβλίο δεν μιλούσε για διαφορικά όταν έλεγε dx , dυ κ.λ.π.
Ο Αρχιμήδης δεν ήξερε ορισμό του διαφορικού.
Δηλαδή και λάθος να κάνω έχω καλή παρέα.
Έτσι θα έλεγα ότι μια μικροκακοποίηση όχι μόνο επιτρέπεται αλλά επιβάλλεται.
Σύντομα κάποια παιδιά θα μάθουν τι είναι το διαφορικό. Αν σκεφτούν δεν θα σου χρεώσουν τις απλοποιήσεις που έκανες.
Σε άλλη συζήτηση είχα πει ότι “χρησιμοποιώ τα Μαθηματικά αλλά δεν επιτρέπω να με χρησιμοποιούν αυτά”.
Φυσικά γνωρίζω ότι το σύμβολο δεν είναι πηλίκο.
Γνωρίζω τι είναι το διαφορικό. Αλλά:
Πως αλλιώς θα παρουσιάζαμε τη λύση του προβλήματος σε παιδιά που δεν ξέρουν παραγώγους ούτε διαφορικά;
Αντικαθιστώντας με το Δέλτα;
Να επαναλάβω προηγούμενο σχόλιό μου:
Εμφανίζεται ένα κουίζ ίσως στο Mind your decisions.
«Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι x και αυξάνεται με ρυθμό α.»
-Κύριε με ποιο ρυθμό αυξάνεται το εμβαδόν του.
-Είναι πρόβλημα που απαιτεί την έννοια της παραγώγου που θα μάθεις στη Γ΄.
-Θα πάω στην κατεύθυνση Υγείας.
Κοτζαμ Φέυνμαν μιλούσε σε κοινότατο κοινό για τις πιθανότητες με στρεφόμενα βελάκια χωρίς να τους πει:
-Δυστυχώς αγνοείτε και τους μιγαδικούς και το μέτρο τους.
Φέυνμαν δεν είμαστε αλλά υπεκφυγές του τύπου «Θα μάθεις αργότερα»;;
Εγώ σε ένα παιδί ή ενήλικα που δεν ξέρει παραγώγους θα το παρουσίαζα χωρίς Άλγεβρα. Διότι «Η Γεωμετρία έχει μάτια». Επστάιν έφα!
Και ας κουραστώ περισσότερο κάνοντας σχήμα:
Όσοι πιτσιρικάδες θα μάθουν την παράγωγο θα μπορούν να λύνουν τέτοια προβλήματα.
Όμως θα καταλαβαίνουν τι συμβαίνει ή θα κάνουν κάτι μηχανικά όπως τον αλγόριθμο της διαίρεσης που εκτελούν χωρίς να τον καταλαβαίνουν;
Τι σημαίνει “καλλιέργεια” στα Μαθηματικά;
Καλησπέρα Γιάννη
Στην πολύ ωραία ανάρτηση σου αναδεικνύεις ότι είναι βολικό να χαρακτηρίζουμε κάποιες ποσότητες εκ των πραγμάτων πολύ μικρές και να χρησιμοποιούμε τον “βολικό” όρο στοιχειώδεις ποσότητες και να πορευόμαστε. Αυτό που λες το κάνουν τα βιβλία και το κάνουμε και εμείς στη διδασκαλία μας – και εγώ αυτό έκανα και αυτό το συμβολισμό “d κάτι” χρησιμοποιύσα για να δηλώσω κάτι πολύ μικρό κάτι “στοιχειώδες”. Κάποιες φορές έκανα μια νύξη σχετικά. Θα ήταν πιο δίκαιο να χρησιμοποιούσαμε κάποιο άλλο σύμβολο όπως κάποια βιβλία κάνουν όπως πχ “δ κάτι”. μια και το “d κάτι” είναι κατοχυρωμένο ως διαφορικό από τους εταίρους μας τους μαθηματικούς. Αυτό που δε μου αρέσει τελικά είναι ότι και με ευθύνη εμάς των φυσικών διαστρεβλώνεται ως προς τη σημασία της μια αυστηρά ορισμένη μαθηματική ένοια. Πως να το πω με ενοχλεί κάπως όπως όταν κάποιος λέει “να έρθουν όλα δεξιά” εγώ ποτέ δεν το λέω αν και μάλλον δεν είμαι αριστερός.
Αν πάλι κάτι επικρατήσει γλωσσικά .. τελικά υποκύπτουμε. All right εντελώς αυθόρμητα λένε οι Άγλλοι ..
Εγώ στα προηγούμενα σχόλια μου προσπάθησα να εξηγήσω ότι ένεκα της γραφής από εμάς των συμβόλων που σχετίζονται με την παράγωγο δημιουργείται κάποια σύγχυση.
Καλησπέρα Γιαννη και Μανώλη.Γιάννη στην εξίσωση F=dp/dt τα διαφορικα dp,dt δεν ειναι μικροτατες ποσοτητες.Καμια απο τις ποσοτητες dp,dt,dx,dυ που εμφανιζονται στον υπολογισμο που κάνεις δεν ειναι μικροτατη. Ειναι διαφορικα τα οποια τα διαιρούμε τα απλοποιουμε και τα χειριζόμαστε οπως θελουμε.
Μανώλη θα μπορούσε να είναι δ μικρό αντί d.
Θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε.
Στα βιβλία που είχα σαν μαθητής (Αλεξόπουλος κ.ά.) ήταν d.
Κωνσταντίνε ξέρω τι είναι τα διαφορικά στη σχέση F=dp/dt.
Στους άλλους υπολογισμούς είναι μικρότατες ποσότητες.
Όταν λύνονται τέτοιες ασκήσεις παρουσία μαθητών χρησιμοποιούνται οι συμβολισμοί Δx , Δυ , Δt.
Με την υπόμνηση όμως ότι τείνουν στο μηδέν.
Φυσικά και δεν εκλαμβάνονται ως διαφορικά.
Να μην επαναλάβω για τον Αρχιμήδη που δεν τα ήξερε.