by 
Ξέρουμε ότι είναι διαφορικό, ξέρουμε τον ορισμό αλλά πρέπει να παρουσιάσουμε στους μαθητές έννοιες που το περιέχουν. Παρουσιάζεις την ιδέα. Ιδέα που είχε ο Αρχιμήδης, ιδέα που οδήγησε τους Μαθηματικούς σε μια αυστηρή θεμελίωση.
Πρέπει να βοηθήσεις τους πιτσιρικάδες να καταλάβουν κάτι δύσκολο με απλά λόγια.
Πρέπει να αδιαφορήσεις για την πιθανή δυσαρέσκεια ενός Μαθηματικού που θεωρεί ότι κάνεις αρκουδιές ανάγοντας την παραγώγιση σε διαίρεση.
-Αυτά δεν είναι σωστά μαθηματικά διότι…
-Καιρός φέρνει τα λάχανα, καιρός τα παραπούλια.
Kαλησπερα Γιάννη. Ειναι και αυτη μια αποψη.Απολυτα σεβαστη.Αν ο σκοπος οπως γραφεις ειναι να αποκτησουν τα παιδια μια λογικη χειρισμου,που εγω το λεω να μαθουν να κανουν πραξεις μηχανικα χρησιμοποιωντας τις ποσοτητες dx,dt dφ κλπ,τοτε καμια αντιρρηση.Αυτες οι πραξεις παντως δεν χρειαζονται στην Α Λυκειου οπου πρεπει να ορισουμε την στιγμιαια ταχυτητα. Εκει δεν υπαρχει κανενας λογος να την ορισεις σαν το πηλικο δυο ποσοτητων ντε.Εκτος του οτι ειναι λαθος,δεν χρησιμευει και σε κατι. Μπορει να οριστει με εναν κομπακτ τροπο χωρις πηλικο.
Στο παραδειγματα χρησης γραφεις υ=dx/dt=Rdφ/dt=Rω.Το οτι εχεις βαφτισει τις απειροστες ποσοτητες ντε και κανεις πραξεις με αυτες,δεν λεει κατι. Απο πουθενα δεν προκυπτει οτι το πηλικο τους ειναι οι στιγμιαιες ταχυτητες. Θα μπορουσες να γραψεις υ=Δx/Δt=RΔφ/Δt=Rω ή υ=δx/δt=Rδφ/δt=Rω Το να μπορει να τα κανει κανεις αυτα δεν σημαινει οτι καταλαβαινει κιολας. Μπορεις να κανει κανεις σωστους χειρισμους απο κεκτημενη ταχυτητα χωρις να εχει καταλαβει και πολλα πραγματα. Εμενα ομως δεν με ενδιαφερει τοσο αυτο.Αν το παιδι φτασει στην Γ Λυκειου,μπορει εκει να ορισει τα διαφορικα με σωστο τροπο αφου μαθαινει αυστηρα τον ορισμο της παραγωγου οπως τον μαθαινουν και οι πρωτοετεις φοιτητες. Κατα την γνωμη μου χρειαζεται να θεωρει κανεις τις ποσοτητες d πολυ μικρες,μονο οταν προκειται να ολοκληρωσει,οπως σε αυτο πιο κατω,οπου υπολογιζουμε την ροη του πεδιου Β=3rκ μεσα απο εναν μοναδιαιο κυκλο με κεντρο στην αρχη των αξονων. Η μεθοδος διδασκαλιας που βασιζεται στο οτι τα διαφορικα ειναι κατ αναγκην απειροστες ποσοτητες εχει καταδικασει πολλους καθηγητες οι οποιοι διδασκουν χρονια στα σχολεια,να νομιζουν απο τα σχολικα τους χρονια μεχρι τωρα,οτι αυτο ειναι το σωστο. Και αυτο δεν επιτρεπεται.Το εχω διαπιστωσει μεσα απο συζητησεις και στα σχολεια που δουλευω,και στους Φοιτητες που κανω φροντιστηριακα μαθηματα,αλλα και εδω.
Κατ αναλογιαν να θεωρουμε οτι η στατικη τριβη ως δυναμη επαναφορας ενος σωματος που κανει ΑΑΤ,εχει δυναμικη ενεργεια και να κανουμε πραξεις. Παλι ολα σωστα βγαινουν .
Καλημέρα Γιάννη και Κωνσταντίνε.
Γιάννη απολαυστικός, αλλά όχι μόνο. Διαβάζοντας είδα τον εαυτόν μου να τα διδάσκει όλα αυτά, σε διάφορες φάσεις της ζωής μου.
Μπορεί Κωνσταντίνε, σαν μαθηματικός, να διατυπώνεις διαφωνία, αλλά το αποφεύγεις τη χρήση του d, επιμένοντας να συμβολίζεις με Δ, είτε η μεταβολή είναι “μεγάλη” είτε απειροστή, δεν βοηθάς το μαθητή να κατανοήσει τα πράγματα…
Άλλωστε μετά, κάποια στιγμή, θα πρέπει να υπολογίσεις τη ροή, όπως στο παράδειγμά σου και θα σημειώσεις στο σχήμα το dr σαν μια μικρή μεταβολή της ακτίνας και για να αποφύγεις την 1η λύση και το διπλό ολοκλήρωμα, θα πάρεις απευθείας το dA=2πrdr, όπως στη 2η λύση που θα καταλάβει εύκολα ένας μαθητής, που θα έχει διδαχτεί από το Γιάννη…
Γεια σου Γιάννη, πολύ ωραίο!
Καλημέρα Γιάννη.
Όταν μπαίνει το χιούμορ φυσικά και ντρέτα ,βοηθά να γελάσεις (δεν είναι κι εύκολο στις μέρες μας), να σκεφτείς και τελικά να καταλάβεις …ντε!
Άιντε ντε
Εγλάκηξε(νε)…
Νάσαι πάντα καλά Κυρ.
Καλημερα σε σε ολους. Διονυση μπορει καποιος μαθητης να εχει αποκτησει ικανοτητες υπολογισμων με μεγαλη ταχυτητα του στυλ
dx/dt=(dx/dφ)(dφ/dt)=x'(φ)ω=…..και ταυτοχρονα να μην εχει καταλαβει τι ειναι αυτα που γραφει. Επειτα αυτα ισως χρειαστει να τα κανει μονο στην Γ Λυκειου οπου οι κατευθυνσεις εχουν χωριστει και ειναι μαθηματικα ωριμος ωστε να μπορει να μαθει με σωστο τροπο τι ειναι τα διαφορικα αφου ασχολειται με ορια,παραγωγους κλπ. Η συζητηση ξεκινησε απο τους στιγμιαιους ρυθμους μεταβολης τους οποιους τους συναντα στην Α και οι ποσοτητες dx και dt αυτουσιες δεν χρειαζονται.Η αποψη μου ειναι οτι δεν τον βοηθαω μαθαινοντας του λαθος. Αν θελω να τον κανω απλως ξεφτερι στους υπολογισμους,αυτο ειναι το πιο ευκολο.Γινεται και χωρις να εχει καταλαβει τιποτα. Bεβαιως τωρα μιλαμε για μεθοδους διδασκαλιας και ο καθενας εχει την αποψη του η οποια ειναι σεβαστη.
Καλημέρα παιδιά.
Ευχαριστώ για τα σχόλια.
Παντελή έφαγα την αύξηση. Διορθώνω.
Ο Διονύσης έκανε σχόλια που με καλύπτουν αλλά θα απαντήσω στον Κωνσταντίνο φυσικά.
Κωνσταντίνε λες ότι δεν χρειάζεται στην Α΄ Λυκείου.
Η Α΄ Λυκείου δεν ήταν πάντα έτσι. Δεν εννοώ την εποχή μου ήμουν στην αντίστοιχη Δ΄ Γυμνασίου αλλά και αρκετά χρόνια που δίδασκα.
Θα μπορούσε να ξαναγίνει ουσιαστική.
Γράφεις:
Εκει δεν υπαρχει κανενας λογος να την ορισεις σαν το πηλικο δυο ποσοτητων ντε.Εκτος του οτι ειναι λαθος,δεν χρησιμευει και σε κατι. Μπορει να οριστει με εναν κομπακτ τροπο χωρις πηλικο.
Θα μπορούσε αλλά το θέμα δεν είναι να οριστεί. Είναι να καταλάβουν και το γιατί και τη φύση του μεγέθους και να αποκτήσουν την κουλτούρα να χρησιμοποιούν τη λογική αυτήν σε άλλες περιπτώσεις.
Έτσι η κομψότητα θυσιάζεται.
Παρακάτω:
Θα μπορουσες να γραψεις υ=Δx/Δt=RΔφ/Δt=Rω ή υ=δx/δt=Rδφ/δt=Rω
Ναι αν τονίσεις ότι το Δt τείνει στο μηδέν.
Διαφορετικά Δx δεν είναι R.Δφ.
Αυτό το “τείνει” προέρχεται από τη γλώσσα των ορίων, γλώσσα άγνωστη.
Οπότε χρειάζονται και όλα όσα είπα για προσομοιώσεις και γραφικές παραστάσεις για να γίνει κτήμα τους το “τείνει”.
Έπειτα η διεύθυνση γιατί είναι αυτή της ακτίνας;
Λείπουν πράγματα έτσι. Λείπουν χωρίς λόγο.
Συμφωνώ με τον Διονύση λέγοντα:
….αλλά το να αποφεύγεις τη χρήση του d, επιμένοντας να συμβολίζεις με Δ, είτε η μεταβολή είναι “μεγάλη” είτε απειροστή, δεν βοηθάς το μαθητή να κατανοήσει τα πράγματα…
Γιατι το Δx δεν ειναι RΔφ ;
Μετά:
Αν το παιδι φτασει στην Γ Λυκειου,μπορει εκει να ορισει τα διαφορικα με σωστο τροπο αφου μαθαινει αυστηρα τον ορισμο της παραγωγου οπως τον μαθαινουν και οι πρωτοετεις φοιτητες.
Τα παιδιά της υγείας ουδέποτε θα μάθουν παραγώγους.
Όσοι μάθουν θα μάθουν πολύ αργά, όταν η Φυσική θα έχει προχωρήσει.
Στη Β΄ Λυκείου τι θα γίνει;
Μετά:
Η μεθοδος διδασκαλιας που βασιζεται στο οτι τα διαφορικα ειναι κατ αναγκην απειροστες ποσοτητες εχει καταδικασει πολλους καθηγητες οι οποιοι διδασκουν χρονια στα σχολεια,να νομιζουν απο τα σχολικα τους χρονια μεχρι τωρα,οτι αυτο ειναι το σωστο.
Ο συνάδελφοι διδάχτηκαν Μαθηματικά και έχουν δει Φυσικά με κομψά Μαθηματικά από τα μέσα του Α’ έτους (την εποχή μου τουλάχιστον). Παρανοήσεις είναι πιθανές αλλά εδώ είμαστε να συζητάμε γι’ αυτές και να διορθώνονται.
Στα παιδιά μιλάς με τον πιο κατανοητό τρόπο. Περνάς την ιδέα θυσιάζοντας την κομψότητα όπου χρειάζεται.
Είπα να ρωτήσω και το Chatgpt.
H ….συζήτηση ΕΔΩ.
Έγραφα και τώρα είδα το σχόλιο.
Η μετατόπιση Δx είναι η χορδή και το R.Δφ είναι το τόξο.
Είναι σχεδόν ίσα μόνο όταν το τόξο είναι απειροστό. Δηλαδή πρέπει να πούμε αυτό το ουρανοκατέβατο “τείνει”.
Έτσι βάζουμε ένα “τείνει” που ξεχνιέται και είναι ταυτόχρονα και πολυλογία.
Τα παιδιά μπερδεύουν το Δ με το d χωρίς λόγο.
Ούτε η κομψότητα είναι λόγος ούτε ψευτοπαιδαγωγικές επικλήσεις.
Γιάννη καλημέρα.
Νομίζω ότι στο κείμενό σου πρέπει να προσθέσεις ότι οι μαθητές της Γ’ Λυκείου γνωρίζουν αυτό που φαίνεται στην Εικόνα.