by 
Ξέρουμε ότι είναι διαφορικό, ξέρουμε τον ορισμό αλλά πρέπει να παρουσιάσουμε στους μαθητές έννοιες που το περιέχουν. Παρουσιάζεις την ιδέα. Ιδέα που είχε ο Αρχιμήδης, ιδέα που οδήγησε τους Μαθηματικούς σε μια αυστηρή θεμελίωση.
Πρέπει να βοηθήσεις τους πιτσιρικάδες να καταλάβουν κάτι δύσκολο με απλά λόγια.
Πρέπει να αδιαφορήσεις για την πιθανή δυσαρέσκεια ενός Μαθηματικού που θεωρεί ότι κάνεις αρκουδιές ανάγοντας την παραγώγιση σε διαίρεση.
-Αυτά δεν είναι σωστά μαθηματικά διότι…
-Καιρός φέρνει τα λάχανα, καιρός τα παραπούλια.
Εγώ διαφωνώ.
Και τα δύο ως πηλίκα μου παρουσιάστηκαν (1972-1973) και όχι ως συμβολισμοί.
Και τα δύο τα παρουσίαζα (διδάσκοντας) ως πηλίκα με καλά αποτελέσματα.
Στην παρούσα ανάρτηση μιλάω για πηλίκα και όχι για συμβολισμούς.
Ο μόνος συμβολισμός που χρησιμοποίησα είναι το d.
Δεν παίζω με σύμβολα που δεν είναι κατανοητά στον μαθητή.
Δεν λέω ότι η στιγμιαία ταχύτητα είναι κάτι το μυστηριώδες ή ένα όριο που συμβολίζεται με dx/dt.
Την ορίζω ως πηλίκο δύο κατανοητών τελικά ποσοτήτων.
Γιάννη, παραπάνω είπα ότι στη διδασκαλία για να καταλάβουν οι μαθητές την έννοια, χρησιμοποιούμε το κλάσμα βρίσκοντας κάθε φορά το πηλίκον.
Στη συνέχεια όμως για να μπορέσουν να ξεχωρίσουν τη μέση με τη στιγμιαία τιμή της ταχύτητας (αλλά όχι μόνο της ταχύτητας, αλλά και κάθε ρυθμού…) πρότεινα τον συμβολισμό, όπου βλέποντας ο μαθητής dx/dt δεν θα ψάχνει να βρει τιμές για αριθμητή και παρονομαστή, αλλά την εξίσωση π.χ. υ=αt…
Και αν αυτό είναι “αυτονόητο” για την ταχύτητα, δεν είναι για παράδειγμα για την ισχύ (εκεί έγινε η πρόταση).
Αλλά ακόμη και στην Γ΄ τάξη για παράδειγμα σε ένα πρόβλημα αυτεπαγωγής, καλό είναι να γίνεται διαχωρισμός της μέσης τιμής Δi/Δt και του ρυθμού di/dt που οδηγεί σε στιγμιαία ΗΕΔ.
Βρίσκουμε (μέση) ΗΕΔ από μεταβολή της μαγνητικής ροής (Ε=-ΔΦ/Δt) και χρησιμοποιούμε την ίδια εξίσωση αντί για την Ε=-dΦ/dt για τη στιγμιαία… που οδηγεί στο εναλλασσόμενο ρεύμα.
Αυτά πώς λέτε ότι εισπράττονται από το μέσο μαθητή;
Με άλλα λόγια Γιάννη, προτείνω διαφορετικό συμβολισμό για τη μέση τιμή κάποιου ρυθμού μεταβολής μεγέθους Χ, ΔΧ/Δt και διαφορετικό συμβολισμό dX/dt , για τον στιγμιαίο ρυθμό, χωρίς αυτό να είναι κάποια τρομερή μαθηματική ή φυσική έκπτωση…
Γιαννη με οποιο τροπο και να τα παρουσιασεις,τελικα αν ο μαθητης μπορει να τα χειριζεται με επιτυχια,ακομα και αν δεν καταλαβαινει τιποτα σε βαθος,θα γραψει καλα και θα μπει στο Πανεπιστημιο.Εκει υποτιθεται οτι θα τα μαθει σωστα. Μπορεις να μου εξηγησεις γιατι οι περισσοτεροι εν ενεργεία καθηγητες νομιζουν οτι στην εξισωση f'(x)=dx/dt το dt παντα ειναι απειροστο; Πιθανον γιατι το εμαθαν στραβα απο το Λυκειο. Εγω παντως δεν το διδασκω ετσι. Και την δικη μου μεθοδο την εχω αυτοαξιολογησει σε βαθος χρονου,και την βρισκω καλη.
Κωνσταντίνε αυτή η ταύτιση παραγώγου πηλίκου και κατανοητή μου είναι και ωραία τη βρίσκω.
Διότι πρώτα έρχεται η ιδέα. Λόγου χάριν ο χρυσός κανόνας της Μηχανικής.
Έτσι ορίζεις το έργο ως F.x και όχι ως F.x^2.
Μετά το ντύνεις με ακριβά ρούχα διότι ένα μαθηματικό οικοδόμημα πρέπει να είναι αυτοσυνεπές.
Πρώτα σκεφτόμαστε τις δυναμικές γραμμές και μετά ντύνουμε τη ροή ως ολοκλήρωμα.
Η ιδέα της στιγμιαίας ταχύτητας έρχεται ανθρώπινα και μετά φοράει μαθηματικό ένδυμα. Δεν έρχεται κάτι μαθηματικά ντυμένο και προσπαθούμε μετά να το αποκωδικοποιήσουμε.
Έτσι πολύ καλά οι συνάδελφοι (και εγώ) έχουμε στο μυαλό μια διαίρεση μικρότατων ποσοτήτων.
Όμως….
Ο Αρχιμήδης ήξερε την παράγωγο;
Έχω πληρώσει ακριβά την αντίθετη οδό και ταλαιπωρήθηκα πολύ να καταλάβω την ουσία πραγμάτων που χειριζόμουν μαθηματικά με΄άνεση.
Ο ορισμός της ταχύτητας προκύπτει από την ανάγκη να τη μετρήσουμε:
Αργότερα παρουσιάζεται η ανάγκη να ορίσουμε την παράγωγο.
Όταν αυτή ορισθεί (τον τάδε αιώνα από τους….) ξαναπαρουσιάζουμε τη στιγμιαία ταχύτητα με τη συνδρομή της παραγώγου.
Η μάθηση έχει κάτι το ελικοειδές (για να μην πω “κυκλικό”).
Εμφανίζεται ένα κουίζ ίσως στο Mind your decisions.
«Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι x και αυξάνεται με ρυθμό α.»
-Κύριε με ποιο ρυθμό αυξάνεται το εμβαδόν του.
-Είναι πρόβλημα που απαιτεί την έννοια της παραγώγου που θα μάθεις στη Γ΄.
-Θα πάω στην κατεύθυνση Υγείας.
Κοτζαμ Φέυνμαν μιλούσε σε κοινότατο κοινό για τις πιθανότητες με στρεφόμενα βελάκια χωρίς να τους πει:
-Δυστυχώς αγνοείτε και τους μιγαδικούς και το μέτρο τους.
Φέυνμαν δεν είμαστε αλλά υπεκφυγές του τύπου «Θα μάθεις αργότερα»;;
Εγώ σε ένα παιδί ή ενήλικα που δεν ξέρει παραγώγους θα το παρουσίαζα χωρίς Άλγεβρα. Διότι «Η Γεωμετρία έχει μάτια». Επστάιν έφα!
Και ας κουραστώ περισσότερο κάνοντας σχήμα:
Όσοι πιτσιρικάδες θα μάθουν την παράγωγο θα μπορούν να λύνουν τέτοια προβλήματα.
Όμως θα καταλαβαίνουν τι συμβαίνει ή θα κάνουν κάτι μηχανικά όπως τον αλγόριθμο της διαίρεσης που εκτελούν χωρίς να τον καταλαβαίνουν;
Τι σημαίνει “καλλιέργεια” στα Μαθηματικά;
Στην διαδικασία της μέτρησης οπως γραφεις με Δt = 2s,1s,…,0.1s ,…,0,0001s μικραίνεις , μικραίνεις καποια στιγμη σταματας.Σωστο.Αυτη την διαδικασία την λεω και εγω στο σχολειο. Η Μετρηση Δx/Δt ειναι άψογη οπως ειπες.Δεν ειμαστε μυστήριοι μας αρεσει.Εστω οτι αυτο τότε το ονομασεις dx/dt.Νατο το υ= dx/dt.Λαθος διοτι αυτο ειναι παλι μια προσεγγιση και διοτι κάποιος άλλος μπορεί να πάρει Δt =0,00000000000001s και να βρει άλλο πιο καλό.Τελικα οι στιγμιαιες ταχυτητες ειναι πολλές η’ μια; Υπάρχει προβλημα λογικης σε αυτή την μέθοδο. Οταν αργοτερα θα μαθουμε παραγωγους θα δουμε οτι η εξίσωση υ=dx/dt ειναι απολύτως ακριβης. Δεν ειναι προσεγγιστικη.Πως γινεται αυτο; Αντιφαση! Τι ειναι τελικα τα dx,dt ;Οσο μικρα και να ειναι απολυτη ακρίβεια δεν έχεις. Πρεπει τωρα να ξεμαθουμε οτι μαθαμε και να τα μάθουμε αλλοιως.Αν μπορεσουμε.Δεν μου αρεσει να διδασκω με αντιφάσεις.Προτιμω στην Α στο υ=dx/dt, το dx/dt να είναι ενα συμπαγές συμβολο και οχι ενα λαθος πηλικο μικροτατων ποσοτητων.
Κωνσταντίνε δεν θα έλεγα “αντιφάσεις”. Ίσως “χωρίς μαθηματική αυστηρότητα”.
Όμως το προτιμώ αν ο άλλος καταλαβαίνει και αν κάνω οικονομία.
Καταλαβαίνουν γρήγορα ότι το d τάδε δεν είναι συγκεκριμένο αλλά όσο μικρό θέλουμε.
Η περιγραφή , οι ορισμοί, οι επιλύσεις ασκήσεων διευκολύνονται και λόγω οικονομίας.
Δεν έχουμε οικονομία λέγοντας:
-Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η ποσότητα την οποία πλησιάζει το πηλίκο Δx/Δt όταν το Δt μικραίνει.
Έπειτα είναι πιθανό ένα “οπτικό” λάθος. Να προσέξουν μόνο τη σχέση Δx/Δt και όχι την ουρά.
Επίσης αυτό το “πλησιάζει” ή “τείνει” ή “έχει όριο” δεν είναι πιο κατανοητό.
Έπειτα έχω καλή παρέα. Τα άκρως αποτελεσματικά βιβλία Αλεξοπουλου, Κάρκαλου κ.α. που με Ντε μιλούσαν και μας βοήθησαν να καταλάβουμε καλά τέτοιες έννοιες.
(Είδες αυτό με τον Κρητικό γέροντα φαντάζομαι).
Ναι Γιάννη το είδα πολυ καλό
Καλησπέρα στην παρέα.
Διάβασα τα γραφέντα σε αυτή την ανάρτηση όπως και σε αυτήν που την προκάλεσε
Με άλλα συμφωνώ πλήρως με άλλα σημεία διαφωνώ άρα αντί να σχολιάσω προτιμώ να περιγράψω τον τρόπο που διαπραγματευόμουνα -τουλάχιστον προσπαθούσα- την έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας στην Α λυκείου.
Η ανθρωπότητα χρειάστηκε δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ζήνωνα (ας θυμηθούμε το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας), ώστε οι θεμελιωτές του διαφορικού λογισμού να λύσουν το αίνιγμα της στιγμιαίας ταχύτητας. Η διαισθητική λύση τους ήταν να ορίσουν την στιγμιαία ταχύτητα ως ένα όριο – συγκεκριμένα, το όριο των μέσων ταχυτήτων που προκύπτουν σε συνεχώς μικρότερα χρονικά διαστήματα.
Τα παιδιά της Α λυκείου είναι όπου ήταν ένας οποιοσδήποτε άνθρωπος πριν τον Νewton και τον Leibniz και εμείς πρέπει να τους βάλουμε στα βαθειά του διαφορικού λογισμού αλλά με ένα τρόπο που κάτι να καταλάβουν αφού δεν κάνουμε μαθηματικά εισαγωγής στον διαφορικό λογισμό.
Ξεκινώντας από ένα πινακάκι όπως το παρακάτω [είναι από το Νίκος Δαπόντες, Αντρέας Κασσέτας, Σταμάτης Μουρίκης, Μανώλης Σκιαθίτης. «Φυσική Α τάξη ΕΠΛ, ΓΕΛ, ΤΕΛ», ΟΕΔΒ,, 1997] φαίνεται ότι ενώ για «μεγάλα» Δt η τιμή του πηλίκου Δx/Δt αλλάζει εξαρτώμενη από το Δt όταν αυτό μικραίνει πολύ η τιμή σταθεροποιείται άσχετα από το Δt και εξαρτάται μόνο από το t=2s στο συγκεκριμένο παράδειγμα (πρόκειται βέβαια για τον παράγωγο αριθμό της συνάρτησης της ταχύτητας στο 2 ).
Εδώ επιχειρούσα την υπέρβαση τους εξηγούσα ότι η τιμή αυτή είναι η τιμή στο t=2 μιας νέας συνάρτησης που προκύπτει γενικά με ορισμένη μαθηματική διαδικασία αν ξέρουμε πως εξαρτάται το χ από το t και αυτή είναι στην περίπτωση η στιγμιαία ταχύτητα. Την συμβολίζουμε με u ή και dx/dt αλλά τώρα το τελευταίο σύμβολο δεν δείχνει πηλίκο αλλά την νέα συνάρτηση.
Συμπλήρωμα και οπτικοποίηση με τα γνωστά για την σχέση μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας σχήματα
Τα συγκεκριμένα κλεμμένα από τον Γιάννη
και εδώ τελείωνε το θέμα.
Τα αποτελέσματα συνήθως ήταν αρκετά ικανοποιητικά
Γιάννη, νομίζω η κουβέντα στην ανάρτηση του Κωνσταντίνου αφορούσε την διαφορά ανάμεσα στη μέση τιμή κάποιου ρυθμού μεταβολής μεγέθους x, Δx/Δt και του συμβολισμού της παραγώγου dx/dt.
Δεν αφορούσε γενικά το περίφημο d(ντε).
Δεν νομίζω να έχει κάποιος πρόβλημα όσον αφορά το παράδειγμα σου π,χ. του βαρελιού ή της δεξαμενής και της μαζούλας dm που φεύγει από αυτά.
Εννοείται συμφωνώ με αυτό με τον Κρητικό γέροντα.
Καλημέρα Άρη.
Ωραίο το σχόλιο. Συμφωνείς τρόπον τινά με τον Κωνσταντίνο.
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Άρη.
Γλακώ έστω καθυστερημένα να κάμω μια διόρθωση επι της διορθώσεως,
στην αρχική έκφραση του Κυρ ,που αφορά το γέροντα Κρητικό.
Στην αρχική ανάρτηση λοιπόν,στο τέλος της, ο Κυρ είχε γράψει:
“Γλάκηξε να βγει στον καφά μου και του την έπαιξα.”
Ήταν σωστό το “γλάκηξε” μια και το “γλακώ” σημαίνει τρέχω γρήγορα.
Για να την προσεγγίσω στην κρητική καθομιλουμένη του “είπα” πως θα την έλεγα
…Εγλάκηξε(νε)…και ο Κυρ μου απαντά …” Παντελή έφαγα την αύξηση”
Πρόσθεσε λοιπόν την “αύξηση” ομπρός (Ε) και πίσω (νε) αλλά του ξέφυγε το (γ) και την έγραψε “Ελάκιξενε” που στη Κρήτη εννοούμε …”το ‘βαλε στα πόδια” και δεν ταιριάζει για να φτάξει στο καφά του γέροντα.
Μάλλον τον είδε κι εφοβήθηκε τη κατσούνα.
Γιάννη συγνώμη για την πολυλογία και για την καθυστέρηση.
Καλημέρα Παντελή.
Ευχαριστώ.
Κατέχω το “γλακώ” αλλά τώρα έφαγα το γ από κακή χρήση του ντηλήτ.
Ξαναδιορθώνω.
Καλήμερα σε όλους. Φανταστείτε έναν Αγγλο που του αρέσει πολύ η Ελλάδα να έχει πάει σε ένα σχολείο στην Αγγλία να μάθει ελληνικά για να ταξιδέψει στην Ελλάδα και να μείνει κιόλας. Πάει στην Κρήτη και ακούει γλάκηξε και ξαμώνω και λέει ωχ τίποτα δεν έμαθα τελικά!