by 
Ξέρουμε ότι είναι διαφορικό, ξέρουμε τον ορισμό αλλά πρέπει να παρουσιάσουμε στους μαθητές έννοιες που το περιέχουν. Παρουσιάζεις την ιδέα. Ιδέα που είχε ο Αρχιμήδης, ιδέα που οδήγησε τους Μαθηματικούς σε μια αυστηρή θεμελίωση.
Πρέπει να βοηθήσεις τους πιτσιρικάδες να καταλάβουν κάτι δύσκολο με απλά λόγια.
Πρέπει να αδιαφορήσεις για την πιθανή δυσαρέσκεια ενός Μαθηματικού που θεωρεί ότι κάνεις αρκουδιές ανάγοντας την παραγώγιση σε διαίρεση.
-Αυτά δεν είναι σωστά μαθηματικά διότι…
-Καιρός φέρνει τα λάχανα, καιρός τα παραπούλια.
Σχετικό είναι το απόσπασμα από την απάντηση του Chat GPT που αναφέρει ο Διονύσης στο σχόλιό του και φαίνεται στην Εικόνα.
Aυτα Διονυση του Chatgpt ειναι εν μερει σωστα. Το οτi dx ειναι μια απειροστη μεταβολη του x ειναι λαθος. Δεν οριζεται ετσι. Πρεπει να δουμε τι γραφουν τα καλυτερα βιβλια που εχουν εκπαιδευσει γενεες μαθηματικων και οχι το Chatgpt. Στο παιδαγωγικο κομματι δεν μπορω να επιμενω γιατι εκει τα πραγματα ειναι υποκειμενικα αλλα μην μου λες οτι Το dx ειναι εξ ορισμου μια μικρη μεταβολη του x. Το dx=Δx εξ ορισμου και ειναι οσο μκρο ή οσο μεγαλο θελεις.Τα Μαθηματα Αναλυσεως του Κάππου μαλλον ειχες στο Πανεπιστημιο. Δες τι γραφει στην σελιδα 278.Ασε το Chatgpt
Καλημέρα Ανδρέα.
Είναι βολικό να μη χρησιμοποιηθεί σαν συμβολισμός.
Προτιμώ τη λογική του Αρχιμήδη. Όχι για πατριωτικούς λόγους αλλά γιατί είναι πιο πρώιμο το στάδιο και πιο προσιτό σε παιδιά.
Ο Λάιμπνιτς θεμελίωνε τα Μαθηματικά κάτι που εγώ δεν κάνω.
Εχω το βιβλιο του Κάππου το οποιο το εψαχνα χρονια σε οτι παλαιολωλειο εβρισκα στην Αθήνα. Αναφερομαι σε αυτο διοτι οι παλαιοτεροι ισως τον ειχατε και καθηγητη. Μετα ηρθε ο Νεγρεποντης αλλα και αυτος τα ιδια γραφει. Τα εχω ολα τα βιβλια τους.
Μην επιμενετε το dx δεν ειναι απειροστο. Αν πρεπει ετσι να το παρουσιασουμε σε πρωτη φαση για παιδαγωγικους σκοπους ,εκει παω πάσο.Δεν μπορει ομως να κοιταμε Chatgpt οταν εχουμε αυτα τα βιβλια. Ιεροσυλια! 🙂
Kαι απόξω
Κωνσταντίνε το παρεξήγησες το … Chatgpt και διαμαρτύρεται 🙂
Μου ζήτησε να παρέμβω στη θέση του.
Γράφεις:
“Aυτα Διονυση του Chatgpt ειναι εν μερει σωστα. Το οτi dx ειναι μια απειροστη μεταβολη του x ειναι λαθος. Δεν οριζεται ετσι. Πρεπει να δουμε τι γραφουν τα καλυτερα βιβλια που εχουν εκπαιδευσει γενεες μαθηματικων και οχι το Chatgpt.”
Ενώ το Chatgpt είπε:
και παρακάτω για να δικαιολογήσει γιατί πρέπει να χρησιμοποιούμε μικρή τιμή για το dx που εμείς ορίζουμε, είπε:
Ε το οριζει λαθος τι να κανουμε τωρα.Και η δικαιολογια του για ποιο λογο πρεπει να εναι μικρο και αυτη λαθος ειναι διοτι το εχει θεσει μικρο εξ ορισμου και ευθυς εξαρχης. Για πιο λογο πρεπει να το διαλεγουμε μικρο πρεπει να πει οχι για ποιο λογο πρεπει να ειναι μικρο εξ ορισμου.
Δεν πρεπει να κοιταμε τσατ τζι τζι πι.Πρεπει να κοιταμε τα καλά βιβλια 🙂
Τον Κάππο, Κωνσταντίνε, τον έχω….
Διδάχτηκα το βιβλίο του, στο πρώτο έτος, παρόλο που δεν τον είχα καθηγητή, αφού είχε πάρει σύνταξη όταν μπήκα στο Πανεπιστήμιο.
Είχα την εντύπωση ότι είναι πανεπιστημιακό βιβλίο Μαθηματικών και όχι διδακτικό εγχειρίδιο Φυσικής για το Λύκειο!!!
Ξαναπάμε λοιπόν επιμένοντας στην ιεροσυλία 🙂
Το Chatgpt δεν όρισε το dx ως απειροστό!!! Δες το κείμενο που ανέβασα. Είπε αυθαίρετα ορίζουμε έναν μικρό αριθμό … Άλλο το μικρό, άλλο το απειροστό!
Και στο παράδειγμα που χρησιμοποίησε για την συνάρτηση y=x^2 στο σημείο x=2, την πρώτη φορά πήρε dx=0,1 και την δεύτερη φορά dx=1.
Ποιο από αυτά τα δύο είναι όριο του x τείνοντος στο μηδέν;
Κανένα!
Συνεπώς πεπερασμένη τιμή έδωσε στο dx για να δείξει ότι η σωστή χρήση του είναι να είναι “μικρό”! Τώρα πώς από το μικρό θα φτάσουμε στο απειροστό και στο όριο, είναι μια άλλη συζήτηση…
Κωνσταντίνε κοιτάζουμε τα πάντα.
Την ΤΝ, τα βιβλία Μαθηματικών, τις παρουσιάσεις των βιβλίων Γενικής Φυσικής, αυτές των βιβλίων Θεωρητικής Μηχανικής, βιβλία Ηλεκτρισμού και Ηλεκτρολογίας, σχολικά βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής.
Κοιτάζουμε και τα σχόλια συναδέλφων.
Έτσι μπορεί να καταλάβουμε το αυστηρά σωστό.
Θα συμφωνήσω κάπως με ότι είπες πριν:
Στο παιδαγωγικο κομματι δεν μπορω να επιμενω γιατι εκει τα πραγματα ειναι υποκειμενικα…
Περίπου υποκειμενικά διότι υπάρχουν τεχνικές που έχουν αποδώσει και άλλες με οικτρά αποτελέσματα.
Στο κείμενό μου θεωρώ πιο σοβαρά δύο σημεία:
Όντως θα έρθει η ώρα της αυστηρής θεμελίωσης.
Το άλλο:
Με απασχολεί περισσότερο να καταλάβει ο άλλος (επικοινωνία) παρά να με χαρακτηρίσουν “προσεκτικό ομιλητή”.
Ενταξει Διονυση δεν θα τσακωθουμε 🙂 Aν προκειται για διδακτικη μεθοδο μπορει να εχω εγω αδικο. Αν προκειται ομως για το τι ισχυει στην πραγματικοτητα τοτε ισχυει οτι λενε τα εγκυρα βιβλια. Του Καππου ειναι τετοιο. Και για θεματα Μαθηματικων,βιβλια Μαθηματικων κοιταμε δεν κοιταμε εγχειρίδια Φυσικής για το Λύκειο. Τελικα εσυ επιμενεις οτι το dx ειναι εξ ορισμου πολυ μικρο ή απειροστο; Η οτι συνηθως το διαλεγουμε μικρο διοτι ετσι βολευει οπως πχ σε μιά γραμμικοποίηση; Γιατι με μπερδεψες ολίγον.
Oχι Γιαννη δεν κοιταζουμε τα παντα. Στο ιντερνετ βρισκεις και οτι ο Γαιδαρος πεταει. Αυτα ειναι Μαθηματικα αιωνων. Για τον ορισμο του διαφορικου της ανεξαρτητης μεταβλητης δεν θα κοιταξω δεκα πηγες για να βγαλω το ρεζουμε. Αν κοιταξω εναν Κάππο και εναν Σπίβακ αυτο αρκει. Δεν θα μπαινω τσατ τζι τζι πι ουτε θα ρωταω συναδελφους. Εγω ετσι λειτουργω δεν ξερω εσυ.
Κωνσταντίνε η ανάρτηση δεν είχε στόχο τον ορισμό του διαφορικού.
Σε μια τέτοια συζήτηση ανοίγεις φυσικά έγκυρα βιβλία Μαθηματικών και όχι Φυσικής ή Ηλεκτρολογίας. Αυτά όμως τα ανοίγεις όταν θέλεις να δεις πως χρησιμοποιούνται τα διαφορικά σε εφαρμογές. Εκεί τα βιβλία Μαθηματικών χάνουν.
Ο στόχος μου ήταν πως θα περάσουμε δύσκολες έννοιες με απλό τρόπο βασιζόμενοι στα απλά που γνωρίζουν. Θέμα διδασκαλίας δηλαδή.
Ανέφερα την ΤΝ κα τα σχόλια μεταξύ πολλών άλλων για να πω ότι ψάχνουμε τα πάντα και κάτι βρίσκουμε. Παράδειγμα:
Ήξερα την παρουσίαση της διαστολής χρόνου με το γνωστό κινούμενο βαγόνι και μου άρεσε.
Βρήκα όμως το ρολόι του Επστάιν και κατάλαβα ότι είναι πολύ καλύτερος τρόπος παρουσίασης. Αν η ΤΝ η το σχόλιο κάποιου φίλου μου δείξει κάτι καλύτερο είμαι πρόθυμος να το υιοθετήσω.
Κωνσταντίνε, το θέμα δεν είναι αν τα μαθηματικά ορίζουν το dx με τον ένα ή άλλο τρόπο.
Το ζήτημα είναι να πας στην Α΄ Λυκείου και να περάσεις στα παιδιά την σημασία της στιγμιαίας ταχύτητας, χωρίς να τους μπλέξεις με όρια και με άγνωστες …λέξεις!
Εκεί λοιπόν θα μιλήσεις για πολύ – πολύ μικρά χρονικά διαστήματα, χωρίς να μιλήσεις για όριο του Δt και το κλάσμα Δx/Δt θα το προσεγγίσεις με πολύ μικρές μετατοπίσεις και πολύ μικρά χρονικά διαστήματα. Αυτό για να μπορέσουν να καταλάβουν την έννοια.
Αυτό που πρέπει να ξεκαθαριστεί στη συνέχεια, είναι η διαφορά της μέσης με τη στιγμιαία ταχύτητα. Στο σημείο αυτό, πρότεινα σε πρόσφατη συζήτηση τους συμβολισμούς:
υμ=Δx/Δt για την μέση και υ=dx/dt για τη στιγμιαία
αλλά την 2η σαν “μπλογκ” χωρίς να το σπάνε σε κλάσμα. Αλλά αυτό σαν συμβολισμό, ώστε να μην τα μπερδεύουν…
Όμως αν χρειαστεί (σε κάποιο πείραμα για παράδειγμα να υπολογίσουν στιγμιαία τιμή ταχύτητας), ας το σπάσουν… Δεν χάθηκε ο κόσμος.
Επί της ουσίας δηλαδή με καλύπτει το συμπέρασμα του Chatgpt ότι:
Διονύση με το τελευταιο σου σχολιο συμφωνω σε ολα.
Αλλωστε Διονύση περιεγραψα πως τα εξηγω στην Α Λυκειου στο τελευταιο μου σχολιο εδω Θα φτιάξω μία μακαρονάδα σε χρόνο dt. (και με θετική ενέργεια!) Περιπου οπως λες και εσυ. Βλεπεις να χρησιμοποιω ορια και αγνωστες λεξεις;
Αρα που διαφωνουσαμε τοση ωρα;