by 
Tρεις ίδιες χάντρες είναι περασμένες σε ένα ιδανικό νήμα, πεπερασμένου μήκους.(Αβαρές και τα ρέστα).Οι δύο ακριανές χάντρες είναι δεμένες στα άκρα του νήματος. Η μεσαία χάντρα μπορεί να κινείται ελεύθερα κατά μήκος του νήματος χωρίς τριβές.
Αρχικά και ενώ το νήμα είναι ευθύγραμμο, δίνουμε στην μεσαία χάντρα ταχύτητα ας πούμε 8m/s κατά μήκος του νήματος.(Βλέπε καταπληκτικό σχήμα.) Οι κρούσεις της μεσαίας χάντρας με τις άλλες δύο είναι ελαστικές. Ναβρείτε τις ταχύτητες των χαντρών μετά από τρεις κρούσεις. Να βρείτε τις ταχύτητες των χαντρών μετά από παρά πολλές κρούσεις. Πάρτε μάζα χάντρας,1Kg
Εξαιρετικοί οι “Άθλιοι” του Ουγκώ… λες να έχω ταλέντο που δεν το έχω ανακαλύψει ακόμα….
Αν διαβάσεις με προσοχή λοιπόν τους “Άθλιους” θα δεις ότι η μοντελοποίηση που γίνεται στις λύσεις που αναφέρονται στα σχόλια, ούτε μοναδική είναι, ούτε υποχρεωτική.
Τουλάχιστον αυτό κατάλαβα εγώ….
Ίσως πρέπει να ξαναδιαβάσω τους “Άθλιους”…
Παρ’όλο που φαίνεται ,για τυπικους λόγους, πρεπει να πολλαπλασιασουμε με υ ,τις σχεσεις των υ(Α),υ(Β), υ(Γ) .
Γιώργο (Χριστ.) για ρίξε μια ματια στους τύπους για υ(Α) , υ(Γ) … θέλει πλην από ότι βλέπω για να συμφωνουμε με τα αποτελεσματα. Εχω κάνει ένα μικρο service ωστε να τους φερω στη μορφή που τους ανέβασε και ο Παύλος .
Μια μεθοδος ειναι να κατασκευασει κανεις την αναλυτικη εκφραση της ακολουθιας των μετρων των ταχυτητων μιας οποιασδηποτε μπιλιας. Και των τριων ιδιες ειναι με εναν ορο μπρος πισω.Εχετε βρει Γιωργο και Κώστα: Για την Β : 0,(υ/2),(υ/4),(3υ/8),(5υ/16),(11υ/32),(21υ/64),…
Και για τις αλλες ιδια ειναι με εναν ορο καθυστερηση. Αυτη η ακολουθια εχει αναδρομικο τυπο οτι καθε ορος ειναι η μεση τιμη των δυο προηγουμενων.Αρα αυτη η ακολουθια δεν σταθεροποιειται ποτε διοτι παντα η μεση τιμη δυο διαφορετικων αριθμων ειναι διαφορετικη και απο τους δυο. Αρα οι ταχυτητες δεν θα γινουν ποτε σταθερες ωστε να σταματησουν οι κρουσεις.Η κινητικη ενεργεια ομως ειναι γνησιως φθινουσα συναρτηση, διοτι σε καθε κρουση χανεται ενεργεια.Η ελαχιστη τιμη της που ικανοποιει ταυτοχρονα την ΑΔΟ ειναι αυτη για την οποια οι ταχυτητες γινονται ολες υ/3.Αυτο αποδεικνυεται ευκολα,χωρις παραγωγους,με ελαχιστη τιμη τριωνυμου με β/2α κλπ..Αυτη την ελαχιστη τιμη ομως δεν θα την παρει ποτε αφου η ακολουθια για την οποια ειπαμε πριν,ειναι απειρων ορων.Αρα τα μετρα των ταχυτητων ανηκουν στο διαστημα [υ.υ/3)=[8,8/3) και η κινητικη ενεργεια του συστηματος ανηκει στο διαστημα.[32,32/3)
Εγω ετσι το εκανα. Φυσικα εσεις Κωστα και Γιωργο,βρηκατε τον αναλυτικο τυπο της ακολουθιας ταχυτητων,κατι οχι ευκολο, οποτε τα παντα προκυπτουν πιο καθαρα.
Τα Μαθηματικα καλα ειναι αλλα το πιο ενδιαφερον εδω ειναι κατα την γνωμη μου το ερωτημα που εκανε ο Κωστας Ψυλάκος στο πρωτο πρωτο του σχολιο,στο οποιο βρισκεται ολο το ζουμι του προβληματος και το οποιο εχει μοναδικη σωστη απαντηση και οχι μου σου του… 🙂
Ναι Κώστα γραφοντας ξέχασα στη σχέση του αρίθμητη, αφαιρώντας το (-1)^n να το πολλαπλασιασω επί 3. Άλλωστε το αναφέρω σωστά στην αμέσως προηγούμενη ανάρτηση μου:
Για την Β : υ(Β)=[2^(n-1)+(-1)^n]*υ / [2^(n-1)*3]
Για τις Α,Γ: υ(Α)=υ(Γ)= [2^n-(-1)^n]*υ / [2^n*3]
Το ανεβάζω ξανα γιανα φανει αυτο που λεω
Ευχαριστώ Κώστα για την επισήμανση.
Γιωργο εκανα μια επεξεργασια των αποτελεσμάτων και θελησα να αποδικωποιήσω την διαδοχή τους όσο το δυνατον πιο “μαζεμενα” . Τους αναγωγικούς τύπους τους έβγαλα στηριζόμενος στα αποτελέσματα της 3ης και 4ης “κρούσης” . Συμφωνουμε στους τύπους . Βγήκε εκτιμώ κάτι ωραιο και το ανεβάζω ….
Πολυ καλη σκεψη Κώστα. Στηρίζεται σε αυτο που παρατηρησα προηγουμένως, δηλ ότι η μεσαία μετα την κρούση έχει την ταχύτητα που είχαν οι άλλες πριν την κρούση.
Εξασφαλίζεται Κωνσταντίνε η σταθερότητα της απόστασης των δύο σφαιρών και αποφεύγεται η όλη συζήτηση που ακολούθησε περί αυτού και έτσι επικεντρωνομαστε στις ισχύουσες αρχές διατήρησης.
Καλησπέρα σε όλους. Καλησπέρα Κωνσταντίνε που δεν “ησυχάζεις” ούτε με 40 βαθμούς :). Μια συνεισφορά κι από μένα στην ενδιαφέρουσα συζήτηση που δημιούργησε το πρόβλημά σου. Καλό υπόλοιπο διακοπών
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Αν κατάλαβα καλά μετά απο κάθε ζευγάρι κρούσεων (ελαστική και πλαστική) έχουμε τα εξής:
Διατήρηση ορμής πρέπει η ορμή να βγαίνει συνέχεια 8.
Χάνεται ενέργεια
Η ενέργεια όμως δεν μπορεί να χάνεται συνέχεια και να μηδενιστεί γιατί τότε δεν θα έχουμε διατήρηση ορμής δηλαδή 8
Άρα μία περίπτωση υπάρχει κάποια στιγμή πρέπει να πάψει να χάνεται ενέργεια και πως θα γίνει αυτό μόνο όταν σταματήσουν οι κρούσεις δηλαδή και τα τρία σώματα κινούνται ομόρροπα με ίδιες ταχύτητες. Επομένως , υ=8/3.
Αυτό λέγεται Φυσική.
Μένει τώρα να εξηγηθεί και μαθηματικά και να που τα μαθηματικά έχουν εφαρμογές.
Κωνσταντίνε πρόκειται για αριστούργημα, πρέπει ίσως και με άλλα παραδείγματα γιατί εδώ με το νήμα στην αρχή υπήρξαν διάφορα θέματα, ο Κώστας έδειξε το δρόμο, να διδάσκεται στα σχολεία και αν μπορούσε να γίνει και πείραμα απο πανεπιστήμιο και να έχουμε το βίντεο , θα γινόταν βούκινο ή βάϊραλ όπως λένε και στο χωριό μου.
Συγχαρητήρια.
Καλημέρα παιδιά. Σπύρο ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες και κάνεις πάντα σημαντικές (και δύσκολες) σκέψεις. Γιώργο Χριστοπουλε ευχαριστώ για τους υπολογισμούς.(είσαι υπολογιστικό ον). Γιώργο Βουμβακη ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο. Δεν ξέρω αν η αβαρής ράβδος θα συμπεριφερθεί όπως το ιδανικό νήμα. Κώστα Ψυλάκο το να βρίσκεις ένα πάτερν που ακολουθείται είναι κλειδί σε παρά πολλές περιπτώσεις στην Φυσική και στα Μαθηματικά. Το τελευταίο σχήμα σου θα το τυπώσω και θα το βάλω στο γραφείο μου 🙂 . Γρηγόρη ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο, χαίρομαι που σου άρεσε το πρόβλημα.
Καλησπέρα σε όλους, ασχολήθηκα και εγώ με το θέμα και επιβεβαιώνω ως σωστή τη λύση του Θοδωρή Παπασγουρίδη.
Έπειτα απο περιττό αριθμό κρούσεων οι ταχύτητες των σφαιρών θα είναι (υ1,υ2,υ3)=(16/3, – 8/3, 16/3) m/s
Έπειτα από άρτιο αριθμό κρούσεων οι ταχύτητες των σφαιρών θα είναι (υ1,υ2,υ3)=(0, 8, 0) m/s
Με αυτή τη λύση ικανοποιούνται οι ΑΔΟ & ΑΔΚΕ τόσο πριν και έπειτα απο κάθε κρούση, όσο και στην έναρξη και σε μια τυχαία χρονική στιγμή της εξέλιξης του φαινομένου.
Μπορείτε να βρείτε και μια προσομοίωση του φαινομένου εδώ.
Για να “παίξει” η προσομοίωση, αρχικά την κατεβάζουμε τοπικά στον υπολογιστή μας και στη συνέχεια με δεξί κλικ στο ποντίκι μας επιλέγουμε να ανοίξει με έναν φυλλομετρητή π.χ. Google Chrome.