by 
Δοχείο εμβαδού βάσης , A=0,4m^2 βρίσκεται πάνω σε βάθρο ύψους h=0,8m και έχει στη βάση του μια μικρή οπή Ο εμβαδού Ao=1cm^2 που κλείνεται με τάπα. Αρχικά το δοχείο είναι άδειο . Δεύτερο μικρό δοχείο μάζας m=0.2kg , ύψους β και πλάτους α=0,2m , βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση s από το Ο. Ανοίγουμε τη βρύση , και όταν το νερό φτάσει σε ύψος H=1,25m , ανοίγουμε την τάπα (χρονική στιγμή to=0) έχοντας προηγουμένως ρυθμίσει τη βρύση σε παροχή Π ,τέτοια ώστε το ύψος του νερού στο δοχείο να είναι διαρκώς Η, και η φλέβα περνώντας ελάχιστα πιο πάνω από το σημείο Γ του δοχείου ,να βρίσκει το σημείο Δ της βάσης του. Θεωρούμε ότι μετά την ‘’κρούση’’ της φλέβας με το δοχείο, μηδενίζεται η ταχύτητά της. Δίνονται πυκνότητα νερού ρ=10^3kg/m^3 , και επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s^2 .
Αν η αρχική παροχή της βρύσης είναι Πο=0,2L/s να υπολογίσετε
1. το χρονικό διάστημα το νερό θα φτάσει σε ύψος H=1,25m στο δοχείο.
2. την απόσταση s καθώς και το ύψος β του μικρού δοχείου.
3. την παροχή Π της βρύσης καθώς και το μέτρο της ταχύτητας υΔ που βρίσκει η φλέβα το δοχείο.
4. τη δύναμη που ασκεί η φλέβα στο δοχείο κατά την ‘’κρούση’’ της με αυτό.
5.^*** i) τον ελάχιστο συντελεστή τριβής του δοχείου με το δάπεδο για να μένει ακίνητο.
ii) την κάθετη αντίδραση Ν που δέχεται το δοχείο από το δάπεδο, τη στιγμή που γεμίζει.
Απαντήσεις σε word και σε pdf
Αφιερωμένη στο Διονύση Μητρόπουλο με εκτίμηση
Καλησπέρα Πρόδρομε.
Βλέπω ένα σχόλιο – παρέμβαση σε παρόμοιο θέμα, το μετέτρεψες σε νέα ανάρτηση!
Να είσαι καλά.
Καλησπέρα πατρίδα!
Εκτός από διδακτική , ολοκληρωμένη και πρωτότυπη είναι και πολύ εντυπωσιακή.
Συγχαρητήρια Πρόδρομε!
Διονύση ευχαριστώ. Σωστά, σε κάποια ανάρτηση, δεν θυμάμαι ποιανού, είχα κάνει ένα σχόλιο. Αλλά την ιδέα της άσκησης την είχα από παλιά…Είπα να βάλω 2-3 συνήθη ερωτήματα, και να το δυσκολέψω στα 4και 5!
Το πρόβλημα που με απασχόλησε είναι το εξής:
Αρχικά η φλέβα πέφτει στην κόχη Δ, οπότε άμεσα η δύναμη ”κρούσης” στους άξονες x ,y ασκείται άμεσα στο δοχείο.
Όταν όμως αρχίζει να γεμίζει το δοχείο με νερό, η φλέβα δεν βρίσκει τα τοιχώματα του δοχείου, αλλά την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο.
Ως προς τη δύναμη Fy που ασκείται στον κατακόρυφο άξονα από τη φλέβα στο νερό , δεν γεννάται θέμα, αυτή μεταφέρεται και στο δοχείο, κι έτσι η κάθετη αντίδραση του δαπέδου στο δοχείο αυξάνεται μέχρι να γεμίσει το δοχείο.
Όμως στον οριζόντιο άξονα , η ορμή που μεταφέρεται από τη φλέβα , με την κρούση μεταφέρεται στη μάζα του νερού!
Μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι η ορμή δm*u(x) μεταφέρεται και στο δοχείο; Δηλαδή η δύναμη που δέχεται μια στοιχειώδης μάζα του νερού κατά την ”κρούση” της με το νερό, και ασκεί σύμφωνα με το αξίωμα δράσης -αντίδρασης στο νερό, είναι
Fx=dp(x)/dt=dm.uo/dt=ρ.(dV/dt)uo=ρ.Π.uo=2,5Ν
και το ερώτημα που θέτω είναι: τελικά ασκείται στο δοχείο οριζόντια δύναμη 2,5Ν ;
Η δύναμη 2,5Ν που ασκήθηκε στη φλέβα από την υπόλοιπη μάζα του υπάρχοντος νερού στο δοχείο κατά την ”κρούση” της, και λόγω δράσης-αντίδρασης άσκησε κι αυτή δύναμη 2,5Ν στα μόρια του νερού που ήρθε σε επαφή, μεταφέρθηκε στο δοχείο το οποίο θα παραμείνει ακίνητο λόγω της στατικής τριβής;;
ή μεταφέρεται ορμή μόνο στη μάζα του νερού και γίνεται μια ”αναταραχή” -κυματισμός , όπως στην πλαστική κρούση;
Δηλαδή δm.uo=(δm+Mνερ.).V
η οποία παραμένει μόνο στην ποσότητα του νερού .
Εγώ θεωρώ στην άσκηση ότι μεταφέρεται στο δοχείο αυτή η δύναμη Fx και εξουδετερώνεται από τη στατική τριβή. Άλλωστε έτσι την έλυσα..
Αναμένω τοποθέτησή σου καθώς και από άλλους συναδέλφους, με την προϋπόθεση ότι θεωρούμε το νερό ιδανικό.
Πρόδρομε, μάλλον το 2ο:
Νομίζω ότι γίνεται μια ανάμειξη της φλέβας με το υπόλοιπο νερό χωρίς να μηδενίζεται πραγματικά η ορμή της, οπότε έχουμε μια διάχυση…μια ”αναταραχή” -κυματισμός.
Βέβαια μια σκέψη είναι αυτή, χωρίς να έχω και “ισχυρή θέση”…
Σωστός ο προβληματισμός Πρόδρομε αλλά νομίζω πως η αλληλεπίδραση της φλέβας γίνεται με το σύστημα προϋπάρχοντος υγρού + δοχείου. Κατά την αίσθησή μου, δεν είναι δυνατό να μεταφερθεί ορμή μόνο στο υγρό και όχι στο δοχείο, αφού υπάρχει και αλληλεπίδραση των μορίων του υγρού της επιφάνειας με τα τοιχώματα. Το υγρό σου είναι ιδανικό άρα έχει μηδέν περιθώριο περαιτέρω προσέγγισης των μορίων.
Άλλο είναι που σκέφτομαι τώρα: μήπως αυτή η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης από το υγρό στα τοιχώματα είναι επαρκής ώστε να τουμπάρει το δοχείο. Μάλλον όχι όμως, με τέτοια μάζα υγρού που θα σωρευτεί. Έχεις 20 cm πλάτος βάσης.
Καλησπέρα σε όλους,
Πρόδρομος τα συγχαρητήριά μου για την πολύ όμορφη (και … τσιμπημένη 🙂 ) άσκηση.
Σ’ ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση!
Διάχυση πράγματι παιδιά, αλλά μην ξεχνάτε ότι είναι διάνυσμα!
Άρα όσα κομματάκια και να γίνει, η συνισταμένη τους θα είναι πάντα προς τα … δεξιά 🙂
Διονύση το ερώτημα 5 το έβαλα για συζήτηση! Θα μπορούσα να το παραβλέψω, αλλά με απασχολούσε στη σκέψη μια από τις δύο εκδοχές που σκέφτηκα. Ίσως υπάρχει και άλλη εκδοχή, π.χ. δημιουργία στάσιμου κύματος κοντά στην επιφάνεια του νερού, που συντηρείται από τη συνεχή διέγερση από τη φλέβα.
Αυτό όμως θα είχε και μια περιοδικότητα στη δύναμη που θα ασκείται στα τοιχώματα του δοχείου.
Συγκλίνω στην άποψη ότι η μεταφερόμενη διαρκώς ορμή στον οριζόντιο άξονα, αλλά και στον κατακόρυφο άξονα, διαχέεται τελικά σε όλα τα μόρια του νερού, και αποδίδεται ως θερμική κίνηση αυτών , με ταχύτητες προς όλες τις κατευθύνσεις. Αυτό θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας, δηλαδή της θερμοκρασίας του.
Η ορμή που ”εισρέει” στο σύστημα δοχείο+νερό, εξουδετερώνεται από την εξωτερική δύναμη της στατικής τριβής και της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου Ν.
Με άλλα λόγια, μετά την πρώτη επαφή της φλέβας με το τοίχωμα του δοχείου, και τη μη ολίσθηση του δοχείου όπως απέδειξα, δεν υφίσταται ολίσθηση μετά που η φλέβα θα βρίσκει μόνο την επιφάνεια του νερού.
Γεια σας παιδιά.
Πράγματι το νερό θα εγκλωβιστεί στο δοχείο, αλλά να καταθέσω μια επιπλέον σκέψη.
Γιατί η ορμή της φλέβας (όσο και σπάσει) να μηδενιστεί φτάνοντας στην δεξιά πλευρά του δοχείου; Θα μπορούσα να “δω” ένα τμήμα της ροής να ανακλάται στο τοίχωμα, αλλά τότε η δύναμη έχει ακόμη μεγαλύτερο μέτρο, από αυτό που αντιστοιχεί σε μηδενισμό της ορμής px…
Καλησπέρα Χριστόφορε-πατρίδα. Ευχαριστώ για το σχόλιο και τη συμμετοχή σου στους προβληματισμούς μου.
Έγραψα κάποιες σκέψεις στο Διονύση Μάργαρη, διάβασέ τες αν θέλεις.
Έχω την αίσθηση ότι από την κουβέντα κάτι θα βγει!
Ως προς την εξέταση ανατροπής του δοχείου, δεν νομίζω ότι υφίσταται κάτι τέτοιο. Αυτό ίσως γινόταν αν ”φρόντιζα” το σενάριο ώστε η φλέβα να έβρισκε αρχικά το δοχείο πιο πάνω!
Αυτό είχα αρχικά σχεδιάσει, αλλά το άλλαξα γιατί τα σχολεία δεν μπήκαν ακόμη στο ..στερεό!!!Πλάκα κάνω,,,
Η αρχική κρούση της φλέβας με το δοχείο μπορεί να προκαλέσει είτε ολίσθηση είτε ανατροπή, αν χτυπήσει ψηλά. Αν δεν ανατραπεί από την αρχική ”κρούση” με το δοχείο, δεν μπορεί να γίνει μετά.
Νομίζω ότι η εξέταση του προβλήματος ολίσθησης ή ανατροπής, πρέπει να εστιαστεί στην αρχική αλληλεπίδραση της φλέβας με το δοχείο, και όχι με το νερό.
Δηλαδή αν πέφτει η φλέβα κατευθείαν στο νερό, δεν θα μεταφερθεί ορμή στο δοχείο! Για να δούμε και τις θέσεις κι άλλων συναδέλφων…
Μητρόπουλε απαντούσα στον έτερο Διονύση και τον Χριστόφορο και τώρα είδα την άποψή σου! Συγκλίνω όπως έγραψα παραπάνω αναλυτικά σε αυτή τη θέση κι εγώ.
Διάβασε αν θέλεις τις θέσεις μου παραπάνω…, να μη τις επαναλαμβάνω!
Εν ολίγοις νομίζω ότι αν δεν ολισθήσει στην αρχική αλληλεπίδραση της φλέβας με το τοίχωμα του δοχείου στο Δ, δεν πρόκειται να ολισθήσει μεταγενέστερα.
Μεταφέρω μερικώς κάποιες σκέψεις που έγραψα παραπάνω κι εδώ:
Συγκλίνω στην άποψη ότι η μεταφερόμενη διαρκώς ορμή στον οριζόντιο άξονα, αλλά και στον κατακόρυφο άξονα, διαχέεται τελικά σε όλα τα μόρια του νερού, και αποδίδεται ως θερμική κίνηση αυτών , με ταχύτητες προς όλες τις κατευθύνσεις. Αυτό θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας, δηλαδή της θερμοκρασίας του.
Η ορμή που ”εισρέει” στο σύστημα δοχείο+νερό, εξουδετερώνεται από την εξωτερική δύναμη της στατικής τριβής και της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου Ν.
Με άλλα λόγια, μετά την πρώτη επαφή της φλέβας με το τοίχωμα του δοχείου, και τη μη ολίσθηση του δοχείου όπως απέδειξα, δεν υφίσταται ολίσθηση μετά που η φλέβα θα βρίσκει μόνο την επιφάνεια του νερού.
Διάχυση πράγματι παιδιά, αλλά μην ξεχνάτε ότι είναι διάνυσμα!
Άρα όσα κομματάκια και να γίνει, η συνισταμένη τους θα είναι πάντα προς τα … δεξιά..
η οποία Διονύση Μητρ. θα εξουδετερωθεί από τη στατική τριβή στο δοχείο και την κάθετη αντίδραση Ν από το δάπεδο, παραμένοντας μόνο στο νερό σε όλη τη μάζα του ως θερμική άτακτη κίνηση , συμπληρώνω εγώ.
Καλησπέρα Πρόδρομε. Μια ακόμα εξαιρετική άσκηση για την επανάληψη των μαθητών μου, αφού ξεκίνησα το στερεό.
Το ύψος β το βρήκα με την εξίσωση τροχιάς. ψ = 0,2x^2, θέτοντας x = 1,8m και ψ = 0,8 – β, οπότε βγαίνει φυσικά β = 0,152m.
Για το 5ii, αφού το νερό θεωρείται ασυμπίεστο ρευστό, συμπεριφέρεται σαν στερεό δηλαδή τι γίνεται με την ορμή στον χ άξονα; Πως θα μηδενιστεί; Υπάρχει διάχυση ενέργειας, αλλά όχι ορμής. Νομίζω ότι δεν κάνεις λάθος στη λύση.
Ανδρέα ευχαριστώ για το σχόλιο και για την πρόθεσή σου να κάνεις την άσκησή μου στους μαθητές σου στην επανάληψη.
Όντως το ύψος β του δοχείου μπορεί να υπολογιστεί και από την εξίσωση της τροχιάς!!
Όσο για το τί γίνεται η ορμή που μεταφέρει η φλέβα στον οριζόντιο άξονα, έγραψα κάποιες σκέψεις παραπάνω.
Έχω την αίσθηση ότι από τη στιγμή που η φλέβα βρίσκει μόνο την επιφάνεια του νερού, και όχι το τοίχωμα, διαχέεται , η συνεχώς μέχρι να γεμίσει το δοχείο μεταφερόμενη ορμή, σε όλα τα μόρια του νερού και γίνεται θερμική κίνηση αυτών, αυξάνοντας τη θερμοκρασία του.
Φυσικά το μεταβλητό σημείο πτώσης της φλέβας στο νερό, δημιουργεί και κυματισμούς στην επιφάνειά του αλλά και στο εσωτερικό του, με αποτέλεσμα να γίνονται ανακλάσεις στα τοιχώματα και ίσως στάσιμο κύμα που η ”πηγή” διέγερσης μεταφέρεται όσο αυξάνεται η ποσότητα του νερού στο δοχείο.
Επειδή θα έχουμε ανακλάσεις των κυμάτων στα τοιχώματα , με δεσμούς πάνω σε αυτά, ίσως δεν θα έχουμε δυνάμεις του νερού πάνω στα τοιχώματα. Μη ξεχνάμε ότι θεωρούμε το νερό ιδανικό υγρό, πράγμα που σημαίνει ότι από την αλληλεπίδραση-κρούση της φλέβας με το νερό, θα έχουμε αύξηση της κινητικότητας των μορίων όλης της μάζας του νερού στο δοχείο, πράγμα που σημαίνει και αύξηση της θερμοκρασίας του. Η ολική ορμή που μεταφέρθηκε από το νερό στον οριζόντιο άξονα
m.uo=6,08×5=30,4 kg.m/s νομίζω ότι εξουδετερώνεται τελικά από την εξωτερική δύναμη της στατικής τριβής . Μπορούμε να πούμε ότι το δοχείο είναι ένα με τη γη, αφού η τριβή δεν το επιτρέπει να κινηθεί.
Καλό βράδυ Ανδρέα.
Υ,Γ, κινούμενος στο μεταίχμιο των πραγμάτων πολλές φορές, και κάνοντας και λάθη, προκαλώ συζητήσεις, που για μένα τουλάχιστον είναι και τροφή γνώσης!!
Καλησπέρα παιδιά.
Τώρα τη διάβασα.
Πολύ καλή.
Για τον υπολογισμό της τριβής σκέφτομαι ότι η υπόθεση της ακινητοποίησης του νερού στον άξονα x είναι καλή. Ταιριάζει με ότι θα βγάζαμε αν ασχολούμαστε με το κέντρο μάζας του συστήματος νερό-δοχείο.
Οπότε η υπόθεση για μηδενισμό της ταχύτητας δίνει σωστό αποτέλεσμα είτε στέκει είτε όχι. Αν αναπηδήσει το νερό στο τοίχωμα θα ασκήσει σ’ αυτό μεγαλύτερη δύναμη, όμως υπάρχει και το άλλο νερό καθώς και το άλλο τοίχωμα.
Όταν το φαινόμενο γίνεται χαοτικό σκέφτομαι το σύστημα.