Ισορροπία ράβδου και ταλάντωση υποστηρίγματος

Λεία, λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους L = 2 m και μάζας Μ = 4 kg ισορροπεί οριζόντια. Στο άκρο Γ της ράβδου είναι δεμένο αβαρές και μη έκτατο κατακόρυφο νήμα που το άλλο του άκρο είναι δεμένο σε σημείο της οροφής. Κάτω από την ράβδο και σε επαφή με αυτή βρίσκεται σφαιρικό υποστήριγμα Σ μάζας m = 1 kg που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σφαιρικό υποστήριγμα είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m που έχει την ίδια διεύθυνση με την ράβδο και το άλλο του άκρο είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχωμα. Η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου απέχει οριζόντια απόσταση L/4 από το άκρο Α της ράβδου.
Δίνεται g = 10 m/s².
1) Να δείξετε ότι το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος ταλάντωσης του υποστηρίγματος Σ ώστε η ράβδος να ισορροπεί συνεχώς είναι Αmax = 0,5 m.
2) Να γράψετε την σχέση που μας δίνει το πως μεταβάλλεται το μέτρο της τάσης του νήματος σε σχέση με την απομάκρυνση του υποστηρίγματος Σ από την θέση ισορροπίας του θεωρώντας ως θετική φορά την προς τα δεξιά και ότι το πλάτος ταλάντωσης του είναι αυτό που υπολογίστηκε από το 1ο ερώτημα.
3) Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος την χρονική στιγμή t = 5π/60 s θεωρώντας την αρχική φάση ταλάντωσης του υποστηρίγματος Σ ίση με μηδέν.
4) Σε πόση απόσταση από το άκρο Α της ράβδου πρέπει να τοποθετήσουμε ένα μικρό σώμα μάζας m = 2 kg ώστε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος ταλάντωσης του υποστηρίγματος Σ να είναι το μισό σε σχέση με αυτό που υπολογίστηκε στο 1o ερώτημα.

Η άσκηση και η λύση της.