by 
Μια σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R διαγράφει κατακόρυφο κύκλο, κέντρου Ο, με τη βοήθεια νήματος μήκους l, το οποίο, μέσω κατάλληλου μηχανισμού, συνδέεται στο κέντρο Κ της σφαίρας, όπως στο σχήμα. Στη θέση αυτή το κέντρο Κ της σφαίρας έχει ταχύτητα υ.
Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας στην θέση του σχήματος;
Πόση είναι η κινητική της ενέργεια;
Διονύση η προσομοίωσή μου δεν είναι (ακόμα) εύγλωττη.
Προσπαθώ να καταλάβω τι σημαίνει να προσθέτουμε δύο γωνιακές ταχύτητες και να λέμε ότι η ολική είναι μηδέν.
Υπάρχουν περιπτώσεις που καταλαβαίνω, αλλά αυτή δεν είναι από αυτές. Το διανυσματικό άθροισμα το βγάλαμε μηδέν. Κατανοητό.
Αυτό είναι γωνιακή ταχύτητα επειδή προσθέσαμε δύο γωνιακές ταχύτητες, όπως θα ήταν στροφορμή αν προσθέταμε στροφορμές και ταχύτητα αν προσθέταμε επιταχύνσεις. Είναι μια γωνιακή ταχύτητα που είναι μηδενική.
Δηλαδή κάποιο dφ/dt είναι μηδενικό μια στιγμή. Ποιο;
Στην προσομοίωσή μου αυτό το dφ/dt είναι συνεχώς μηδενικό. Ποιο είναι όμως;
Σε αντίθεση με αυτό, ένα άλλο παράδειγμα:
Ένας παρατηρητής περιστρέφεται με ω και παρατηρεί τροχό κυλιόμενο με ίδια γωνιακή ταχύτητα, Τον βλέπει να έχει μηδενική γωνιακή ταχύτητα. Η "άθροιση" εδώ μου είναι κατανοητή. Στην περίπτωση της άσκησης και της προσομοίωσής, μου που είναι απλούστευσή της, δεν καταλαβαίνω. Εκτός αν το ερώτημα ήταν "προσθέστε δύο διανύσματα και μην ασχοληθείτε περαιτέρω".
Στα προηγουμενα σχόλιά μου είχα δει μονο την τελευταία σελίδα των σχολίων γιατι μπήκα απο σχόλιο και όχι απο το link της αναρτησης… οπότε εκεί οφειλεται και η παρατηρηση του Διονύση που μολις ειδα οτι είχε κανει αρκετά ξεκάθαρη τη θεση του μεσα στα τοσα σχόλια που εχασα….
Γιαννη, αν θες να κανεις πρόσθεση γωνιακων ταχυτήτων, θα το κάνεις μονο σαν τεχνασμα όπως στην ασκηση που παρέθεσα προηγουμένως και στην οποία έχεις κάνει μια εκτενή αναλυση με τιτλο "αφαιρεση ενεργειων"…
Γωνιακή ταχύτητα τησ σφαιρας, δεν υπάρχει… απλώς αν το θεωρήσεις ολο το συστημα να περιστρεφεται γυρω απο το Ο, θα έχεις προσδώσει γωνιακη ταχύτητα στη σφαίρα χωρις να εχει στην πραγματικοτητα… και μετα, αυτήν την γωνιακη ταχύτητα θα πρέπει να την αφαιρέσεις…
το dφ (για το οποιο αναρρωτιέσαι) ειναι η μεταβολή στη γωνια προσανατολισμού της σφαίρας πανω στο επιπεδο του σχηματος… προσδιδοντας γωνιακη ταχυτητα στη σφαιρα ωστε να παραμενει ακινητη σε σχεση με το νημα… θα πρεπει αυτη τη γωνιακη ταχυτητα να την αφαιρεσεις επειτα (ωστε να εχεις τη ζητουμενη μεταφορικη κίνηση) και αυτο ειναι το ζητουμενο μηδεν που προκύπτει.
Στέλνω μια προσομοίωση.
Δείχνει μια κατάσταση που καταλαβαίνω. Το τετράγωνο γυρίζει με ω=1. Το υλικό σημείο περιστρέφεται με ω=-1 ως προς το τετράγωνο.
Η ολική του γωνιακή ταχύτητα είναι μηδέν. Το βλέπουμε ακίνητο. Κατανοητή κατάσταση. Αυτό το ωολ=0 έχει νόημα.
dφ/dt=0=>φ=φο=0. Επίσης υ=ω.R=0.R=0.
Κατανοητά όλα, απλά και στοιχειώδη.
Κωστή δεν είναι τόσο απλό. Τουλάχιστον για μένα.
Γιαννη, δυστυχως δε μπορω να δω τις προσομειώσεις σου (ειμαι σε Linux) αλλά φανταζομαι πως το προβλημα που βρισκεις βρισκεται στην πολυπλοκότητα της φ(t) που προσδιδεις στη σφαιρα ωστε να μενει σταθερη σε σχεση με το νημα… Το προβλημα του εκκρεμους δεν εχει (ακομα) αναλυτικη λύση ως προς το χρόνο αλλα μονο ως προς τις θεσης… επομένως φανταζομαι πως καπου δεν εχεις δωσει τις καταλληλες συνθηκες για να μενει η φ(t) σταθερη ως προς το νημα.
Άλλη προσομοίωση.
Πάλι το τετράγωνο γυρίζει με ω=1. Πάλι το υλικό σημείο περιστρέφεται ως προς το τετράγωνο με ω=-1.
Αν προσθέσω τα δύο διανύσματα βγάζω ω=0. Δηλαδή dφ/dt=0=>φ=φο=0. Ποια γωνία παραμένει μηδενική;
Προφανώς όχι η γωνιακή θέση αναφορικά με την αρχή των αξόνων.
Ποια ταχύτητα, γραμμική ή άλλη είναι συνεχώς μηδενική;
Ποιο το νόημα της πρόσθεσης των γωνιακών ταχυτήτων εδώ;
Σας θυμίζει μήπως τις ταλαντώσεις με ίδια θέση ισορροπίας που προσθέταμε τα y;
Καλησπέρα Γιάννη.
Σου έγραψα το απόγευμα παραπάνω, ότι δεν καταλαβαίνω τι σκέφτεσαι, πού το πας και τι θέλει να δείξει το i.p. (το πρώτο)
Εγώ δεν βλέπω καμιά περιστροφή της σφαίρας. Τι δεν βλέπω;
Πάμε στην ουσία όμως.
Ας αφήσουμε έξω τους περιστρεφόμενους παρατηρητές (εκεί είναι άλλη …ιστορία). Ένα στερεό στρέφεται, τι σημαίνει;
Για μένα σημαίνει ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του στερεού, κάποια στιγμή είναι όπως στο πρώτο σχήμα, ενώ μετά από λίγο έχει τον προσανατολισμό του δεύτερου σχήματος. Με βάση τη γωνία που έχει διαγράψει, υπολογίζω ΜΙΑ γωνιακή ταχύτητα
ω=dφ/dt
Δεν βλέπω τι νόημα θα είχαν οι δύο ή τρεις γωνιακές ταχύτητες οι οποίες μπορούσαν να συνδεθούν…
Και μέχρι να γράψω τα παραπάνω βλέπω νέα i,p.
Και πάλι δεν καταλαβαίνω. Το ένα είναι το ω της πλάκας και το άλλο του σημείου; Και τι προσθέτουμε για να βρούμε τι;
Ούτε εγώ καταλαβαίνω τι λες τώρα.
Εγώ πρόσθεσα γωνιακές ταχύτητες ή εσύ;
Γράφεις:
Και η γωνιακή ταχύτητα λόγω της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει;
Δεν υπονοείς ότι πρέπει να προστεθούν και να βγει μηδέν;
Δύο περιπτώσεις υπάρχουν:
1. Θεωρείς ότι μια τέτοια πρόσθεση στερείται νοήματος και κάνεις ρητορικό ερώτημα.
2. Θεωρείς ότι έχει νόημα.
Αν ισχύει το δεύτερο τότε αναδύεται το ερώτημα που συνοδεύει τις προσομοιώσεις μου.
Τι νόημα έχει η πρόσθεση γωνιακών ταχυτήτων στο δεύτερο παράδειγμα.
Αυτό με την αλλαγή προσανατολισμού δεν έχει σχέση με την κυκλική κίνηση του κέντρου μάζας της σφαίρας.
Δηλαδή η όποια κυκλική κίνηση του Κ.Μ. δεν επηρεάζει την αλλαγή προσανατολισμού.
Γράφεις:
Και τις τις προσθέτουμε για να βρούμε τι;
Έλα ντε. Αυτό ρωτάω και εγώ.
Μετά μια μικρή απουσία.
Δεν είπα να προσθέσουμε γωνιακές ταχύτητες βρε Γιάννη!!!
Ίσα-ίσα το αντίθετο λέω από το πρωί
Απλά δεν καταλαβαίνω τι ψάχνεις με τις προσομοιώσεις που ανέβασες. Σαν να μην δέχεσαι τα "συμπεράσματα" που έγραψα και να ψάχνεις κάτι με τη βοήθεια του i.p.
Τελειώνεις:
"Αυτό με την αλλαγή προσανατολισμού δεν έχει σχέση με την κυκλική κίνηση του κέντρου μάζας της σφαίρας.
Δηλαδή η όποια κυκλική κίνηση του Κ.Μ. δεν επηρεάζει την αλλαγή προσανατολισμού."
Ας το κρατήσουμε και ας το κλείσουμε το θέμα…
Δηλαδή το ερώτημα:
Και η γωνιακή ταχύτητα λόγω της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει;
Ήταν ρητορικό.
Όμως μην οδηγηθούμε στο συμπέρασμα ότι στερείται νοήματος σε κάθε περίπτωση η άθροιση γωνιακών ταχυτήτων.
Τα i.p. στάλθηκαν για να μην περιγράφω κάτι με λόγια.
Άλλες φορές προσθέτουμε και έχει νόημα, άλλες όχι.
Γιάννη, αυτό που ήθελα να αναδείξω ήταν ότι όταν μιλάμε για γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού, μιλάμε για την ω που συνδέεται με αλλαγή προσανατολισμού και όχι με το τι κάνει το κέντρο μάζα του! Δεν ήταν σαφές;
Μου φαίνεται δεν διάβασες την τοποθέτησή μου εδώ….
Οι προηγούμενες ερωτήσεις ήταν …μαιευτικές, αφού ήθελα να αναδειχθεί το σωστό, αφού το να γράψω μια ακόμη ανάρτηση, δεν θα έλεγε τίποτα!
Δεν πρόσεξα το σχόλιο, διότι έπεφταν καταιγιστικά τα σχόλια.
Πίστευα πως κάνεις υπέρθεση γωνιακών ταχυτήτων.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Επειδή διαπιστώνω μια παρανόηση των τοποθετήσεων αλλά και του στόχου της παρούσας συζήτησης, λίγες διευκρινήσεις νομίζω ότι χρειάζονται.
Κάποια πράγματα που τα θεωρούμε “αυτονόητα” σε όσους συμμετέχουν στο δίκτυό μας. δεν είναι αυτονόητα για συναδέλφους οι οποίοι δεν μας διαβάζουν. Διαπίστωσα δηλαδή μια σύγχυση πάνω στο τι ονομάζουμε γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού, αφού την ίδια μέρα πήρα δύο email από συναδέλφους που μου έθεσαν το θέμα.
Πού βρισκόταν το πρόβλημα; Υποψιάστηκα ότι κυκλοφορεί μια ιδέα για αναλογία μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορμής. Πώς ορίζουμε την στροφορμή ενός στερεού ως προς ένα σημείο σαν το άθροισμα της ιδιοστροφορμής και της τροχιακής στροφορμής; Κάτι ανάλογο να κάνουμε και για τη γωνιακή ταχύτητα….
Το θέμα νομίζω ότι έχει καλυφθεί με αρκετές αναρτήσεις, οι οποίες όμως, όπως φάνηκε δεν ήταν ικανές να ξεκαθαρίσουν το τοπίο. Έτσι σκέφτηκα να βάλω τη συζήτηση αυτή και να κάνω “το δικηγόρο του διαβόλου”, ώστε διαβάζοντας κάποιος τη συζήτηση, να μην του μείνουν απορίες.
Έτσι φάνηκε να υπάρχει διαφωνία, ενώ στην πραγματικότητα, όλοι οι συμμετέχοντες κινήθηκαν στην ίδια λογική, χωρίς να υπάρχει αντίλογος, παρά μόνο από τις “στημένες” δικές μου ερωτήσεις.
Δίνω λοιπόν ξανά την τοποθέτησή μου, την οποία όταν έγραφα την είχα στο μυαλό μου σαν ένα “συμμάζεμα” που κλείνει το θέμα… Έγραψα λοιπόν παραπάνω:
………………………
Παιδιά σας ευχαριστώ για τη συμμετοχή στη συζήτηση.
Μπορεί να νομίζει κάποιος, ότι έγινα ανακριτής ή ιεροεξεταστής ξαφνικά. Τίποτα από τα δύο.
Απλά νόμιζα ότι ήταν σαφές ότι ένα στερεό περιστρέφεται όταν αλλάζει ο προσανατολισμός του στο χώρο και η γωνιακή ταχύτητα του στερεού, συνδέεται με την αλλαγή αυτού του προσανατολισμού. Αλλά διαπίστωσα χθες ότι αυτό δεν ήταν απολύτως ξεκάθαρο και προχώρησα στην συζήτηση αυτή.
Ας τα πάρουμε λοιπόν με τη σειρά, για να μην μπερδευτεί κάποιος φίλος από τις πολλές «διασταυρούμενες» απαντήσεις και σε διαφορετικά ερωτήματα.
Στην πρώτη εικόνα:
Η σφαίρα δεν αλλάζει προσανατολισμό, άρα δεν έχει γωνιακή ταχύτητα. Η απάντηση που πρέπει να δοθεί είναι ότι ω=0. Για τη μεταφορική βέβαια κίνησή της ως υλικό σημείο, γύρω από το κέντρο Ο της τροχιάς της μπορούμε να μιλάμε για «γωνιακή ταχύτητα του κέντρου μάζας της» Έτσι έχει κινητική ενέργεια:
Κ= ½ mυ2
Κινητική ενέργεια μεταφορική και τίποτα άλλο.
Στο 2ο σχήμα:
Εδώ η πλάκα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από το Ο και αλλάζει προσανατολισμό. Αρκεί κάποιος να σκεφτεί ότι όταν η ράβδος ολοκληρώνει μια περιστροφή γύρω από το Ο και μια διαγώνιος της πλάκας, διαγράφει γωνία 2π…
Άρα η πλάκα στη θέση του σχήματος έχει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=υ/l και κινητική ενέργεια:
Κ=½ Ιο∙ω2
Η οποία όμως ισοδύναμα μπορεί να θεωρηθεί μια περιστροφή γύρω από άξονα που περνά από το κ.μ. και μια μεταφορά, οπότε να γραφτεί και:
Κ= ½ mυcm2+ ½ Ιcmω2.
Στο 3ο σχήμα:
έχουμε ένα στερεό (σφαίρα) που εκτελεί σύνθετη κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, αφού δεν δέχεται κάποια ροπή. Αλλά τότε η γωνιακή της ταχύτητα παραμένει σταθερή και ω2=ω0.
Δεν έχουμε δηλαδή δύο γωνιακές ταχύτητες (μία γύρω από τον άξονά της και μία γύρω από το Ο) και να τις αφαιρέσουμε… Έχουμε ΜΙΑ που συνδέεται με την αλλαγή του προσανατολισμού μιας ακτίνας της σφαίρας.
Αλλά τότε για την σύνθετη αυτή κίνηση γράφουμε:
β) Κ= ½ mυcm2+ ½ Ιcmωο2.
Αυτό ήταν το συμπέρασμα και σε αυτό ήθελα να καταλήξουμε και να μείνει «γραμμένο» και στο δίκτυο, τελευταίες μέρες…