web analytics
Φορουμ

Η στροφορμή, η ιδιοστροφορμή και η κρούση

Διονύσης Μάργαρηςby Διονύσης Μάργαρης

Σε διπλανή ανάρτηση, στην οποία είχαμε μελέτη μιας ΑΔΣ μπήκαν διάφορα, παράπλευρα ερωτήματα, για κρούσεις μιας σφαίρας που εκτελεί σύνθετη κίνηση με μια ράβδο και τι γίνεται με το spin της σφαίρας.

Μια τοποθέτηση του Τάσου εδώ, νομίζω ότι αξίζει να την συζητήσουμε. Γράφει ο Τάσος:

“Να με συγχωρείτε αν κάνω λάθος αλλά το spin δεν είναι ελεύθερο διάνυσμα; και συνεπώς ίδιο ως προς οποιοδήποτε σημείο του χώρου;

γιατί να μην μπορώ να το πάρω στην νέα ΑΔΣ ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου;”

  • Ας δούμε λοιπόν, πώς θα γράφαμε την ΑΔΣ για την κεντρική ελαστική κρούση των δύο σφαιρών του σχήματος;
  • Αν η κρούση ήταν έκκεντρη και οι επιφάνειες λείες, τι θα συνέβαινε;
  • Πώς μπορεί να μειωθεί η ιδιοστροφορμή της Α σφαίρας; Αντίστοιχα πώς μπορεί να γίνει η μεταφορά ιδιοστροφορμής από την Α σφαίρα στη Β;

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
68 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Χρήστος Αγριόδημας
Αρχισυντάκτης
Χρήστος Αγριόδημας
02/05/2017 12:11 ΜΜ

Καλημέρα

Αν η κρούση ήταν έκκεντρη και οι επιφάνειες λείες δεν θα άλλαζε η ιδιοστροφορμή της σφαίρας Α καθότι δεν υπάρχει ροπή που να μπορεί να την μεταβάλλει. Αντίστοιχα η σφαίρα Β δεν θα περιστρεφόταν και θα αποκτούσε μόνο μεταφορική κινητική ενέργεια.

Για να υπάρξει περιστροφή της σφαίρας Β και αλλαγή της ιδιοπεριστροφής της Α θα πρέπει οι επιφάνειες να παρουσιάζουν τριβές για να προκληθεί ροπή και να αλλάξει την περιστροφική κατάσταση των σφαιρών.

Ένα δεύτερο θέμα που έχω παραλείψει να αναφέρω ότι οι σφαίρες είναι λείες.

Χρήστος Αγριόδημας
Αρχισυντάκτης
Χρήστος Αγριόδημας
02/05/2017 1:20 ΜΜ

Καλημέρα και πάλι

κατα λάθος έσβησα το σχόλιο που έκανα πριν.

Στο παραπάνω ερώτημα αν οι σφαίρες είναι λείες τότε οι δυνάμεις είναι κεντρικές και δεν μεταβάλλουν τη στροφική κατάσταση των σφαιρών,ακόμη και έκκεντρη να είναι η κρούση. Μεταφορικά θα υπάρξουν αλλαγές κατά τα γνωστά.

Για να αλλάξει η στροφική κατάσταση των σφαιρών θα πρέπει οι δυνάμεις να προκαλέσουν ροπή που μπορεί να συμβεί αν οι σφαίρες δεν είναι λείες και έτσι οι ροπές των τριβών να μεταβάλλουν την στροφική κατάσταση των σφαιρών.

Μία άσκηση παρόμοια με το ερώτημα του Διονύση στηη οποία ξεχνώ να αναφέρω ότι οι σφαίρες είναι λείες.

Σύνθετη Κίνηση και Κεντρική Ελαστική Κρούση, Β θέμα

 

 

 

Διονύσης Μάργαρης
Συγγραφέας
Διονύσης Μάργαρης
02/05/2017 2:30 ΜΜ

Καλό μεσημέρι Χρήστο.

Τι να απαντήσω τώρα επί της ουσίας, αφού τα είπες όλαyes.

Περιμένοντας όμως και άλλες τοποθετήσεις, να πω ότι ο Τάσος έχει δίκιο ότι το spin είναι ελεύθερο διάνυσμα.

Να πω ακόμη ότι η τροχιακή  σττροφορμή είναι "στροφορμή", όπως επίσης και το spin είναι "στροφορμή".

Ο διαχωρισμός είναι χρήσιμος, αλλά θα μπορούσε και να μην γινόταν….

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Γιάννης Κυριακόπουλος
02/05/2017 3:31 ΜΜ

Αν οι σφαίρες δεν είναι λείες. Μεταβάλλεται η ιδιοστροφορμή.

Έχω στείλει πάρα πολλές με το θέμα αυτό:

Μπάλα πέφτει σε τραίνο.

Δύο δαχτυλίδια συγκρούονται. 

Η άσκηση 5.41 μετά τριβής.

Οι σφαίρες δεν γυρίζουν πίσω.

Ανάκλαση δίσκου.

Άλλες πολλές που έχω ξεχάσει.

Πρόκειται για δύσκολα προβλήματα.

Η ιδιοστροφορμή μπορεί να χαθεί και στην περίπτωση πλαστικής κρούσης.

Μία σφαίρα μπορεί να περιστρέφεται πριν καρφωθεί σε ένα ξύλινο ραβδί. Μετά την κρούση θα περιστρέφεται το συσσωμάτωμα, αλλά σφαίρα και ξύλο θα είναι ένα σώμα.

Άλλο πρόβλημα:

Πετάω πάνω σε μύλο παιδικής χαράς έναν δίσκο στρεφόμενο. Μετά την προσγείωσή του θα αναγκάσει τον μύλο σε περιστροφή διαφορετική από αυτήν που θα αποκτούσε αν ο δίσκος δεν περιστρεφόταν.

 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Γιάννης Κυριακόπουλος
02/05/2017 4:00 ΜΜ

Αν κάποιος βρει την υπομονή να διαβάσει τις παραπάνω αναρτήσεις θα διαπιστώσει ότι:

1. Η στροφορμή αναφέρεται σε σημείο και όχι γενικώς.

2. Αναλύεται σε τροχιακή στροφορμή (που εξαρτάται από το σημείο) και σε ιδιοστροφορμή που είναι ανεξάρτητη του σημείου.

3. Όταν διατηρείται η στροφορμή ως προς κάποιο σημείο, διατηρείται το άθροισμα και όχι μόνον η τροχιακή στροφορμή.

4. Δεν παίρνουμε ΑΔΣ ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος αλλά ως προς το σημείο επαφής των δύο σωμάτων. Τούτο διότι οι δυνάμεις επαφής διέρχονται από το σημείο επαφής και διατηρείται όχι η οιαδήποτε στροφορμή, αλλά η στροφορμή ως προς το σημείο επαφής.

5. Αν το σύστημα είναι μονωμένο (λ.χ. ράβδος και δίσκος σε παγωμένη λίμνη) διατηρείται η στροφορμή ως προς οιοδήποτε σημείο.

6. Η όποια ροπή είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής του αθροίσματος τροχιακών στροφορμών-ιδιοστροφορμών και όχι με το άθροισμα τροχιακών στροφορμών.

7. Τα προβλήματα αυτά γράφτηκαν αποκλειστικά για συναδέλφους.

Έχω όμως την αίσθηση ότι κάτι άλλο απασχολεί τον Τάσο.

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης
Διονύσης Μητρόπουλος
02/05/2017 5:37 ΜΜ

Καλημέρα σε όλους,

Γράφω κι εγώ μερικές σκέψεις,

Ο νόμος του Νεύτωνα στη μορφή Στεξ = dLσυστ/dt δεν διαχωρίζει την ισιοστροφορμή από τη στροφορμή.

Απλά την στροφορμή L(A) ενός σώματος ως προς κάποιο σημείο Α μπορούμε να τη γράψουμε σαν συνισταμένη δύο όρων.

Της ιδιοστροφορμής του Lσπιν που είναι ανεξάρτητη από το Α και της τροχιακής του στροφορμής LτροχA) ως προς ΑQ

L(A) = Lιδιοστρ + Lτροχ(Α)

Έτσι, αν ως προς κάποιο σημείο A είναι Στεξ(A) = 0, τότε ως προς το σημείο αυτό θα είναι Lσυστ(A) = σταθ.

Δηλαδή:     L₁σπιν + L₁τροχ(Α) + L₂σπιν + L₂τροχ(Α) + … = σταθ.

Στο παράδειγμα του Διονύση τώρα:

Εάν οι επιφάνειες δεν είναι λείες, οι εσωτερικές δυνάμεις θα είναι όπως στο σχήμα (κόκκινες) οπότε μετά την κρούση οι σφαίρες δεν θα κινούνται στην ίδια ευθεία.

Έχουμε διατήτηση ορμής σε άξονες, στροφορμής ως προς οποιοδήποτε σημείο Α, και κινητικής ενέργειας. Με δεδομένα τα υ και ω, οι άγνωστοι είναι συνολικά έξι: Οι σινιστώσες των δύο ταχυτήτων (4) και οι γωνιακές ταχύτητες (2).

Οι εξισώσεις τέσσερεις (2 από ορμή, 1 από στροφορμή και 1 από ενέργεια), θα πρέπει επομένως να μας έχουν δοθεί άμεσα ή έμμεσα δύο από τους αγνώστους.

Για την ΑΔΣ τώρα θα πρέπει να επιλέξουμε το πιο βολικό σημείο, ίσως π.χ. το σημείο τομής των φορέων των υ₁, υ₂ αν βολεύει γεωμετρικά ώστε να μην έχουμε τροχιακές στροφορμές μετά.

Ούτως ή άλλως πάντως η γενική μορφή της ΑΔΣ θα είναι (θέτουμε Ι=0,4ΜR²) κάπως έτσι:  ₂₁

Ι₁ω ± Μυd = I₁ω₁ ± Μυ₁d₁ – I₂ω₂ ± Μυ₂d₂

 

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης
Διονύσης Μητρόπουλος
02/05/2017 5:46 ΜΜ

Καλησπέρα Γιάννη, τώρα είδα το σχόλιό σου 🙂

Διονύσης Μάργαρης
Συγγραφέας
Διονύσης Μάργαρης
02/05/2017 5:55 ΜΜ

Καλησπέρα Γιάννη.

Ας τα πάρουμε από την αρχή ένα-ένα.

Οι δυο σφαίρες που έδωσα στο σχήμα συγκρούονται. Πώς γράφουμε την ΑΔΣ για την κρούση;

Αν πάρουμε τις στροφορμές ως προς το σημείο Σ1 θα γράψουμε:

M1υ1cmd1+Ι1cmω1=Μ1υ΄1cmd1 +Ι1cmω΄1+Μ2υ΄2cmd1+Ι2cmω’2.

Αλλά αν πάρουμε τις δυνάμεις που αναπτύσσονται στη διάρκεια της κρούσης:

 

Διαπιστώνουμε ότι δεν εμφανίζουν ροπή ως προς το κέντρο των σφαιρών. Άρα δεν θα έχουμε καμιά αλλαγή στις γωνιακές ταχύτητες, οπότε ω1΄=ω1 και ω2=0 και η σχέση γίνεται:

M1υ1cmd1=Μ1υ΄1cmd1 +Μ2υ΄2cmd1.

Η οποία θα είναι ίδιας μορφής αν αντί να πάρουμε ως  σημείο αναφοράς το Σ1 πάρουμε το Σ2, αλλά και σχέση που οδηγεί στην διατήρηση της ορμής!

Στην πραγματικότητα δηλαδή αυτό που μεταφέρθηκε από τη μια σφαίρα στην άλλη, δεν ήταν καμιά στροφορμή, αλλά ορμή.

Και αν η κρούση ήταν έκκεντρη και λείες οι επιφάνειες; Η κατάσταση θα ήταν ακριβώς ίδια.

Αλλά τότε πότε μπορούμε να έχουμε πραγματικά μεταφορά στροφορμής; Όταν οι σφαίρες συγκρούονται όπως στο σχήμα και αναπτύσσεται δύναμη τριβής μεταξύ τους:

Στην περίπτωση αυτή η ροπή της Τ1 θα μειώσει την ιδιοστροφορμή της πρώτης  σφαίρας και η ροπή της Τ2 θα προσδώσει ιδιοστροφορμή στην Β.

Διονύσης Μάργαρης
Συγγραφέας
Διονύσης Μάργαρης
02/05/2017 5:59 ΜΜ

Αλλά μήπως τα παραπάνω σημαίνουν ότι το λεγόμενο spin ανταλλάσσεται με spin;

Ένα υλικό σημείο Α κινείται ευθύγραμμα και συγκρούεται με την οριζόντια δοκό σε λείο οριζόντιο επίπεδο (κάτοψη). Μετά την κρούση η κατάσταση είναι αυτή του σχήματος:

Η ράβδος έχει spin μετά την κρούση, ενώ δεν είχε πριν. Είναι ένα μέρος της αρχικής στροφορμής ως προς ένα τυχαίο σημείο Ο που απέχει κατά d από το φορέα της υ1:

M1υ1d=Μ1υ1΄d+Μ2υ2΄d1 + Ιcmω

Όπου d1 η απόσταση του φορέα της υ2΄από το Ο.

Και το αντίστροφο: Η ράβδος στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της και συγκρούεται με ακίνητο υλικό σημείο.

ένα μέρος της αρχικής ιδιοστροφορμής της ράβδου εμφανίζεται ως τροχιακή στροφορμή ράβδου-σώματος.

Διονύσης Μάργαρης
Συγγραφέας
Διονύσης Μάργαρης
02/05/2017 6:00 ΜΜ

και προσπαθώντας να ανεβάσω τα δύο σχόλια, δεν είδα ότι στο μεταξύ έγραψε και ο Διονύσης…

Καλησπέρα Διονύση!

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Γιάννης Κυριακόπουλος
02/05/2017 6:26 ΜΜ
Απάντηση σε  Διονύσης Μητρόπουλος

Διονύση θεωρώ βολικότερο σημείο το σημείο επαφής.

Τούτο δε διότι δεν διατηρείται απλώς η ολική στροφορμή. Διατηρείται η στροφορμή κάθε σώματος.

Έτσι έχουμε:

Μια εξίσωση από διατήρηση ορμής.

Δύο εξισώσεις από διατήρηση στοφορμής.

Μία εξίσωση από ενέργεια. Η ενέργεια δεν διατηρείται ολικώς. Διατηρείται όσον αφορά τις ταχύτητες y. 

Για παράδειγμα στο σχήμα σου θα είχαμε ανταλλαγή ταχυτήτων στον άξονα y.

Διονύσης Μάργαρης
Συγγραφέας
Διονύσης Μάργαρης
02/05/2017 6:30 ΜΜ

Πάμε τώρα στην κρούση μιας σφαίρας που περιστρέφεται και συγκρούεται με μια σανίδα, όπως στο σχήμα, όπου «έχουμε σημαδέψει» το μέσον της σανίδας .

Τι δυνάμεις θα αναπτυχθούν στη διάρκεια της κρούσης;

Αν δεν υπάρχουν τριβές οι δυνάμεις είναι όπως στο σχήμα και η σανίδα θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση, χωρίς να αλλάξει κάτι στην ιδιοστροφορμή της σφαίρας.

Η ίδια κρούση, σε άλλο σημείο της ράβδου θα οδηγήσει σε ιδιοστροφορμή της ράβδου, χωρίς όμως απώλεια ιδιοστροφορμής της σφαίρας:

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Γιάννης Κυριακόπουλος
02/05/2017 6:35 ΜΜ
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση δεν καταλαβαίνω το σχόλιό σου.

Δεν είπα εγώ να πάρουμε το κέντρο των σφαιρών. Το σημείο επαφής χρησιμοποιώ.

Ακριβώς το τελευταίο τμήμα του σχολίου σου (από το σχήμα και κάτω, με τριβή) είναι λυμένο στην ανάρτηση:

Η άσκηση 5.41 μετά τριβής.

Εκεί θα δούμε:

Διατήρηση ορμής.

Διατήρηση στροφορμής της σφαίρας 1.

Διατήρηση στοφορμής της σφαίρας 2.

Ανταλλαγή ταχυτήτων στον y άξονα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Γιάννης Κυριακόπουλος
02/05/2017 6:41 ΜΜ

Διονύση πρέπει να λυθεί το γενικό πρόβλημα και μετά να διερευνήσουμε.

Όταν έχουμε το γενικό πρόβλημα θα έχουμε μεταβολές και στην ιδιοστροφορμή και στην τροχιακή στροφορμή.

Και δεν μιλώ για την περίπτωση της ράβδου η οποία μεταβιβάζει τμήμα της ιδιοστροφορμής της ακόμα και χωρίς τριβές.

Μιλώ ακόμα και για δύο σφαίρες αν παρουσιάζουν τριβή.

Έπειτα αφαιρώντας τριβές καταλήγουμε σε ίδιοστροφορμές εύκολα.

Δημήτρης Αγαλόπουλος
Δημήτρης Αγαλόπουλος
02/05/2017 6:48 ΜΜ

 Καλησπερα σε ολους!

Συνεπώς  Διονύση στο παράδειγμα που έφερα  χθες (μήπως είναι καλυτερα να μεταφέρουμε τα σχόλια εδω 😉 πρέπει να γράψουμε για την Α.Δ.Σ ως προς τον άξονα της αρχικά ακίνητης ράβδου που παραμονέυει με το ελεύθερο άκρο της στο ανώτερο σημειο του οδηγου ανακυκλωσης και τη μπίλια να κυλιεται χωρίς ολισθηση εντός του οδηγου,για πλαστικη κρουση:

m•ucm•.L+Iμπ•ω=[1/3M•L•L+2/5m•r•r+ m• (L+r)^2]•ωσυστ 

Όπου ω=ucm/r, Iμπ=2/5m•r•r, Iρ=1/3M•L•L ως προς το άκρο της ραβδου με steiner,και με steiner  επισης  για τη μπίλια προκυπτει ο όρος της μάζας της επί το τετράγωνο της αποστασης (L+r)μέσα στην αγκύλη για μετά τη κρουση. Η αγκύλη είναι η ροπή αδρανειας του  νεου στερεού που προκύπτει από τη πλαστικη.

Το  spin πριν τη κρουση ο όρος Ιμπ•ω    και η τροχιακή  ως προς το κεντρο του οδηγου της μπιλιας επίσης πριν:m•ucm• (R-r) αν ζητηθει, αφού στην Α.Δ.Σ δεν μετέχει 

Αν για τη κρουση αναφέρει ότι r << R=L τότε θεωρείται σημειακή η μπιλια και στην Α.Δ.Σ απλοποιείται το spin αρχικά, και τελικά η συνεισφορά  της μπιλιας στη ροπή αδράνειας του συστήματος περιορίζεται στον όρο m•L•L

Αρα:m•ucm•L=(1/3 M+m)L•L•ωσυστ όπως γράφτηκε στη προηγούμενη συζητηση ,που  ορθώς μεταφερθηκε εδω για περισσοτερες αποψεις …μακριά απο βλέμματα μαθητών μια που το θέμα με πλαστικη κρουση στερεων ραβδου-  μπιλιας που κ.χ.ο στον οδηγό ξεφευγει..wink

Θεωρητικά συμφωνούμε όλοι τώρα;

 

1 2 3 … 5
wpdiscuz   wpDiscuz