by 
Μια αγώγιµη µεταλλική σφαίρα ακτίνας α περιβάλλεται από παχύ αγώγιµο κέλυφος εσωτερικής ακτίνας β > α και εξωτερικής ακτίνας γ. Το σύστηµα βρίσκεται στο κενό και αρχικά είναι αφόρτιστο. Φορτίο + Q φέρεται κατάλληλα στην εσωτερική σφαίρα.
- Καθορίστε το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε περίπτωση και παραστήστε το γραφικά σε άξονες Ε και r, όπου r η απόσταση από το κέντρο Κ.
- Ποια είναι η διαφορά δυναµικού ενός σηµείου Α που βρίσκεται στην επιφάνεια της σφαίρας µε ακτίνα α και του ∞ ;
- Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του συστήματος.
Μάλλον δεν διάβασες εδώ.
Να βάλω ένα "φιλοσοφικό"
ερώτημα;
Γιατί να ονομάζουμε το μέγεθος αυτό χωρητικότητα;
Αποτυχημένος όρος; Μπορεί.
Αλλά κάτι δείχνει…
Ερώτηση :αν υπάρχει διαφορά δυναμικού ανάμεσα στην επιφάνεια της σφαίρας α και στην επιφάνεια ακτίνας β, δε θα έχουμε κίνηση ηλεκτρονίων; άρα που είναι η ισορροπία?
Καλημέρα σε όλη την παρέα που ασχολείται με ωραία προβλήματα ηλεκτροστατικής.
Μ΄ αρέσει να λύνω τέτοια προβλήματα χρησιμοποιώντας λίγο προχωρημένα μαθηματικά, αλλά μ΄ αρέσει και να διδάσκω τη λύση τους. Ευκαιρία λοιπόν να σας κάνω λίγη "διδασκαλία".
Ένα πρόβλημα ηλεκτροστατικής είναι ένα πρόβλημα οριακών συνθηκών. Σε τέτοια προβλήματα προσπαθούμε να βρούμε τη μια και μοναδική λύση μιας ΔΕ που ικανοποιεί κάποιες οριακές συνθήκες. Οι οριακές συνθήκες δίνονται είτε σε μια κλειστή επιφάνεια είτε στο άπειρο.
Αν έχουμε μια μεταλλική κλειστή επιφάνεια, ξέρουμε ότι είναι ισοδυναμική. Αυτή χωρίζει το χώρο σε δύο περιοχές, το εσωτερικό της και το εξωτερικό της, και πρέπει να λύσουμε την εξίσωση και στη μια περιοχή και στην άλλη.
Όταν δεν υπάρχουν φορτία στην περιοχή του χώρου που θέλουμε να λύσουμε τη ΔΕ, η ΔΕ που πρέπει να λύσουμε είναι αυτή του Laplace. Δηλ. η Λαπλασιανή του πεδίου δυναμικού είναι 0.
Αν η κλειστή μεταλλική επιφάνεια είναι αφόρτιστη, έχει δυναμικό 0. Τότε μπορούμε να θέσουμε V(r)=0 και στον εσωτερικό χώρο και στον εξωτερικό. Στον εσωτερικό χώρο αυτή η λύση ικανοποιεί τη Laplace και την οριακή συνθήκη στην μεταλλική επιφάνεια. Στον εξωτερικό ικανοποιεί τη Laplace, την οριακή συνθήκη στην μεταλλική επιφάνεια και την οριακή συνθήκη στο άπειρο, αφού απαιτούμε το δυναμικό στο άπειρο να είναι 0.
Αν η μεταλλική επιφάνεια είναι φορτισμένη, έχει σταθερό μη μηδενικό δυναμικό. Το να θεωρήσουμε τη V(r) στο εσωτερικό της να έχει σταθερή τιμή ίση με την τιμή του δυναμικού στην επιφάνεια, ικανοποιεί και τη Laplace και την οριακή συνθήκη. Αλλά δεν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο για την V(r) στο εξωτερικό της επιφάνειας. Γιατί αν υποθέταμε ότι η V(r) στο εξωτερικό είναι σταθερή, θα ικανοποιούσε τη Laplace, θα ικανοποιούσε την οριακή συνθήκη στην επιφάνεια, αλλά δεν θα ικανοποιούσε την οριακή συνθήκη στο άπειρο αν το σταθερό δυναμικό δεν ήταν 0. Η λύση του προσδιορισμού του δυναμικού στον εξωτερικό χώρο δεν είναι πάντα εύκολη. Αλλά αν έχουμε απλή γεωμετρία, πχ σφαιρική επιφάνεια, αποδεικνύεται ότι λύση της μορφής V(r)=a/r ικανοποιεί και την εξίσωση και τις οριακές συνθήκες. Αλλά, αν αντί για σφαιρική επιφάνεια έχουμε κυλινδρική, τα πράγματα δυασκολεύουν σημαντικά.
Δεν διάβασα γιατί γράφουμε μαζί.
Είναι πυκνωτής αν γειωθεί;
Νίκο ας μη μιλάμε γενικά. Ποια δυναμικά υπολογίζεις;
Αν τον συνδέσω έτσι τι γίνεται;
Δεν λειτουργεί ως πυκνωτής;
Έχει σχέση με το πρόβλημα που συζητάμε;
Είναι τα φορτία +Q,-Q,+Q ;
Αν ήταν γειωμένοs ο εξωτερικόs οπλισμόs τότε στο αγώγιμο κέλυφοs θα παρέμενε το φορτίο -Q στην εσωτερική του επιφάνεια και θα είχαμε πυκνωτή.Τώρα όμωs δεν είναι.Μπορούμε να πάρουμε σαν χωρητικότητα συστήματοs C=Q/Vα?
Γεια σου Νίκο με την ωραία σου απάντηση!
Μετά τόσα σχόλια αυτό βρήκες να πεις;
Στο δια ταύτα;
Γιάννη συμφωνώ. Αν γειώσεις το κέλυφος, δημιουργείς έναν πυκνωτή. (όχι τη σφαίρα, αφού αυτή φορτίσαμε, αλλά το κέλυφος που δεν το φορτίσαμε αλλά απέκτησε φορτία λόγω επαγωγής).
Στην περίπτωση αυτή έχεις δύο αγωγούς, τη σφαίρα και το κέλυφος με αντίθετα φορτία!
Στο αρχικό ερώτημα δεν έχουμε πυκνωτή, απλά έναν φορτισμένο αγωγό, αφού το συνολικό φορτίο του κελύφους είναι μηδενικό.
Αλλά τότε μπορούμε να μιλάμε για χωρητικότητα;
Νομίζω ναι. Υπάρχει και χωρητικότητα αγωγού.
Ας εστιάσουμε λοιπόν στον ορισμό.
Τι ονομάζουμε χωρητικότητα αγωγού;
Όμως κάπως προέκυψε η συζήτηση.
Υπάρχει ανάρτηση με σχετικό ερώτημα;
Αν ναι υπάρχει πρόβλημα με την εκφώνηση της άσκησης.
Στον σφαιρικό πυκνωτή δύο φορτία "έπαιζαν". Ήταν αντίθετα.
Δεν καταλαβαίνω. Δεν έγραψα εκφώνηση αρχικά;
Χωρητικότητα αγωγού ονομάζεται το πηλίκο του φορτίου του προς το δυναμικό του.
Η χωρητικότητα σφαιρικού αγωγού είναι ίση προς R/4πεο.
Αυτό καθιστά τεράστια την χωρητικότητα της γης και μηδενικό το δυναμικό της.
Αν της ρίξεις ένα φορτίο Q τότε V=Q/C . Το τεράστιο μέγεθος της C καθιστά το δυναμικό προσεγγιστικά μηδέν.
Όμως εδώ δεν ζητάμε την χωρητικότητα του κελύφους ή της μέσα σφαίρας. Σύστημα έχουμε.
Σκέφτηκα πως κάπου (σε φυλλάδιο λ.χ.) βρήκες την άσκηση και θέλεις να σχολιασθεί ένα μελανό της σημείο.
Μπορεί φυσικά να θέτεις προβληματισμό που είχες και εσύ, χωρίς να σχολιάζεις θέμα.
Αν ήταν μόνη της η σφαίρα θα είχαμε ως χωρητικότητα το πηλίκο C=Q/V, όπου V=Q/4πεοα με αποτέλεσμα η χωρητικότητα να ήταν ίση με:
C=4πεοα
Τώρα μιας και υπάρχει το κέλυφος κάτι αλλάζει. Θα είναι ίδια η χωρητικότητα; Νομίζω όχι.