by 
Παρουσιάζω εδώ μια αναλυτική μελέτη της ενεργειακής πυκνότητας ενός εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή. Η μελέτη αυτή είναι στα βήματα μιας μελέτης που παρουσίασα πρόσφατα για την ενεργειακή πυκνότητα διαμήκους κύματος σε τεντωμένη χορδή. Καταλήγω στο συμπέρασμα ότι στο εγκάρσιο κύμα η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική.
Η μελέτη εδώ.
Νίκο όταν έχω μια ταλάντωση αντιλαμβάνομαι την δυναμική ενέργεια ως οφειλόμενη στην παραμόρφωση ενός ελατηρίου.
Κατά την διάδοση ενός ήχου, αντιλαμβάνομαι την δυναμική ενέργεια ως οφειλόμενη στην συμπύκνωση ή αραίωση περιοχής.
Όταν προκαλώ κύμα σε ελατήριο, βλέπω περισσότερο παραμορφωμένες τις περιοχές μικρής απομάκρυνσης. Σαν δηλαδή το κομματάκι εκείνο να είναι ένα ελατήριο παραμορφωθέν. Δηλαδή σαν να αποθήκευσε στιγμιαία δυναμική ενέργεια.
Αυτό αντιλαμβάνομαι ως δυναμική ενέργεια και πριν καιρό ασχολήθηκα με υπολογισμούς της.
Όμως υπολόγισα κάτι που προερχόταν από την παραπάνω ιδέα.
Γιάννη, αυτό που παρατηρείς στο ελατήριο που άγει διαμήκη κύματα είναι τοπική παραμόρφωση και έχει δυναμική ενέργεια. Σε παραπέμπω στο πρόσφατο άρθρο μου "κυματικές διαπραγματεύσεις" που ασχολούμαι με τα διαμήκη κύματα.
Αυτό που παρατηρείς σε μια εγκάρσια κυματωση τεντωμένης χορδής δεν είναι παραμόρφωση. Τα στοιχειώδη τμηματα ΑΒ δεν παραμορφώνονται αλλά αλλάζουν συνέχεια προσανατολισμό. Στη χορδή η έννοια παραμόρφωση δεν συνδέεται με τον προσανατολισμό αλλά με την επιμήκυνση.
Καλημέρα Νίκο και συνάδελφοι.
Στο αρχείο Χορδή παραθέτω αναλυτικά κάποιες σκέψεις σχετικά με το μοντέλο σου.
Στάθη καλημέρα.
Η ανάλυση που κάνεις στο αρχείο που μας έστειλες είναι καλή αλλά ισχύει υπό την προυπόθεση ότι οι κινήσεις των Α και Β είναι κάθετες στον άξονα. Το γεγονός ότι στο σχήμα μου έφτιαξα τις μετατοπίσεις κάθετες, δεν σημαίνει ότι είναι καθετες. Αν διαθέτεις λίγη φαντασία μπορείς να σχεδιάσεις διανύσματα μετατόπισης η που να μετασχηματίζουν το ΑΒ σε ένα μη παράλληλο αλλά ισομήκες τμήμα.
Επί πλέον, και επειδή ο σκοπός αγιάζει τα μέσα, ο σκοπός μου ήταν να βγάλω μια πρώτης τάξεως γραμμική ΔΕ που να συνδέει την στιγμιαία ταχύτητα στο x με το στιγμιαίο μοναδιαίο e στο x. Αν εσύ θεωρείς ότι η σχέση από την οποία ξεκίνησα είναι σωστή κατά προσέγγιση, τότε και η ΔΕ είναι σωστή κατά προσέγγιση.
Πολλές σχέσεις στη φυσική ισχύουν προσεγγιστικά. Για παράδειγμα, αν μελετήσεις τη διάδοση του ήχου στον αέρα κάνεις περισσότερες προσεγγίσεις από όσες έχω κάνει εγώ στο εγκάρσιο κύμα. Η πρώτη είναι ότι θεωρείς πως ο ήχος διαδίδεται σε ιδανικό αέριο. Οι άλλες είναι οι προσεγγίσεις που κάνεις θεωρώντας ότι οι διακυμάνσεις της πίεσης και της πυκνότητας είναι πολύ μικρότερες από τις τιμές αυτών των μεγεθών.
Επί πλέον εγώ δεν αμφιβάλλω ότι αν θεωρήσουμε κάθετες μετατοπίσεις των σημείων της χορδής θα βρούμε πυκνότητα ενέργειας μvv, δηλαδή την διπλάσια. Αμφιβάλλω όμως για τις κάθετες μετατοπίσεις αυτές καθ΄ αυτές. Τις θεωρώ μια αυθαίρετη παραδοχή.
Νίκο κάποιες διευκρινίσεις για το αρχείο που έστειλα.
Όλη η ανάλυση βασίζεται στο δικό σου μοντέλο.
Στην τελευταία σχέση για την πυκνότητα ενέργειας, το διάνυσμα n είναι το ίδιο με αυτό που χρησιμοποιείς , κάθετο ή όχι.
Η βασική μου ένσταση είναι ως προς την ισχύ της προσέγγισης e*e=1, στο δικό σου μοντέλο, μέσω της οποίας εξουδετερώνεται ο δυναμικός όρος στην ενέργεια. Γιατί δηλαδή το τετράγωνο του διαφορικού ως προς τον χρόνο το κρατάμε, αλλά το αντίστοιχο τετράγωνο ως προς την μεταβλητή x όχι. Στο σημείο αυτό αποφασίζεις να απαλείψεις τον δεύτερο όρο και δεν καταλαβαίνω τον λόγο.
Τέλος όπως και να μετατοπίζεται το τμήμα ΑΒ, διατηρώντας έστω το μήκος του, εφ όσον στρέφεται, πρέπει να παραμορφώνει την χορδή. Στην κλασσική λύση αυτή η παραμόρφωση αλλάζει την κάθετη τάση (εννοώ την δύναμη ανά μονάδα μήκους) στην χορδή, αφήνοντας σε γραμμική προσέγγιση την οριζόντια τάση μηδέν.
Επί της ουσίας συμφωνώ με την ανάλυσή σου μέχρι του σημείου του εσωτερικού γινόμενου του διανύσματος κατεύθυνσης.
Εξακολουθώ να βρίσκω την χρήση του διανύσματος e ευρηματική.
Στάθη τα μαθηματικά είναι ΟΚ. Μην ψάχνεις να βρεις τρωτό. Το e έχει μοναδιαίο μετρο και το e.e είναι μονάδα.
Προσεγγιστικές είναι οι εξισώσεις. Θεωρείται η τάση σταθερή ενώ στην πραγματικότητα έχει διακυμάνσεις. Η Τ είναι συνάρτηση του χρόνου αλλά όχι του x.
Αυτό οφείλεται στις οριακές συνθήκες. Θεωρούμε τα άκρα ακίνητα. Ας αλλάξουμε λοιπόν οριακές συνθήκες. Αν υποθέσουμε ότι τα άκρα δεν είναι ακίνητα αλλά ότι η τάση στα άκρα είναι σταθερή ως προς t, τότε η τάση της χορδής θα είναι σταθερή.
Για να πραγματοποιηθούν αυτές οι οριακές συνθήκες πρέπει τα άκρα της χορδής (το ένα τουλάχιστον) να είναι δεμένα σε ελατήρια που είναι δεμένα στον τοίχο. Τα ελaτήρια πρέπει να έχουν μικρό k.
Νίκο τα Μαθηματικά είναι ένα εκπληκτικό δημιούργημα του ανθρώπινου πνεύματος.
Οι άνθρωποι όμως κάποιες φορές κάνουν λάθη, είτε μαθηματικά, είτε στο μοντέλο.
Πως πειθόμαστε ότι κάποιο λάθος έχει γίνει κάπου;
Αρκεί μια προσομοίωση γι’ αυτό.
Παραθέτω εικόνα από ακριβέστατη προσομοίωση στην οποία απεικονίζονται οι δυναμικές ενέργειες των τμημάτων της “χορδής”. Είναι εμφανές το ότι η δυναμική ενέργεια στο “όρος” είναι μηδενική. Είναι εμφανές ότι μεγιστοποιείται στην θέση y=0.
Αν προσθέσουμε όλους τους μετρητές, θα έχουμε την ολική δυναμική ενέργεια του τμήματος.
Αν μου πεις ότι το πλάτος είναι μεγάλο σε σχέση με το μήκος κύματος, το μικραίνω όσο θέλεις.
Αν μου πεις ότι τα μπαλάκια δεν κινούνται ακριβώς “κατακόρυφα”, τα μετατοπίζω όπου θέλεις, σε μικρές φυσικά x αποκλίσεις από τις θέσεις που τώρα έχουν.
Ότι και να κάνουμε κάτι θα γράψουν οι μετρητές. Αυτό το κάτι θα είναι η ενέργεια η δυναμική του τμήματος.
Κάποια τιμή θα έχει το άθροισμα των μετρητών. Το άθροισμα αυτό θα είναι η ολική δυναμική ενέργεια όλης της χορδής.
Αυτήν την αίσθηση έχω περί δυναμικής ενέργειας. Όχι μόνο εγώ, αλλά και οι μετρητές που χρησιμοποίησα.
Επειδή οι τιμές δεν φαίνονται καλά, εστιάζω:
Δηλαδή τα Μαθηματικά που έγραψες μπορεί να είναι μια χαρά, αλλά να υπολόγισες κάτι άλλο από αυτό που είναι η δυναμική ενέργεια.
Δυναμική ενέργεια είναι αυτό που οι μετρητές μετρούν.
Τα διανύσματα βάσης ενός χώρου έχουν εσωτερικό γινόμενο μονάδα, μόνον όταν ο χώρος είναι ορθοκανονικός. Στρεφόμενα διανύσματα βάσης σε καμπυλόγραμμους χώρους θα δώσουν εσωτερικό γινόμενο μονάδα μόνον αν κανονικοποιηθούν. Συνεπώς δεν είναι απαραίτητο e.e=1.
Είναι μοναδιαία διανύσματα του Ευκλείδιου χώρου Στάθη. Δεν κάνω ανώτερα μαθηματικά.
Καλημέρα παιδιά.
Νίκο το ότι είναι διανύσματα του Ευκλειδίου χώρου, καθιστά ότι υπολόγισες δυναμική ενέργεια;
Το θέμα είναι η μαθηματική συνέπεια;
Γιάννη τα μαθηματικά είναι εντάξει.
Στο θέμα της ενέργειας τεντωμένης χορδής υπάρχει ένα λεπτό σημείο που δεν έθιξε κανείς μέχρι τώρα. Τι κάνουν τα άκρα της χορδής; Δύο είναι οι κυριότερες οριακές συνθήκες:
Αν ισχύει η ακινησία των άκρων, το μήκος της χορδής θα είναι συνάρτηση του χρόνου, l(t), που θα έχει ελάχιστο όταν η χορδή είναι σε ηρεμία. Αν θεωρήσουμε σαν μηδενική τη δυναμική ενέργεια της ήρεμης χορδής, τότε η δυναμική ενέργεια της δονούμενης χορδής είναι συνάρτηση του χρόνου.
Η δυναμική ενέργεια ενός τμήματος της χορδής εξαρτάται από την κατανομή της επιμήκυνσης. Εγώ θεωρώ ότι η κατανομή της επιμήκυνσης είναι ομογενής (ίσα τμήματα ίση επιμήκυνση), εσύ θεωρείς ότι εξαρτάται από την κλίση του τμήματος. Για να συμβεί όμως αυτό θα έπρεπε τα σημεία της χορδής να κινούνται σε ευθείες αυστηρά κάθετες στον άξονα και η απορία μου είναι: γιατί πρέπει να κινούνται έτσι τα σημεία; αφού, αν κινούντο λίγο διαφορετικά, θα πετύχαιναν ομογενή κατανομή της επιμήκυνσης.
Αν ισχύει αυτή η συνθήκη, η τάση της χορδής είναι ίση με την τάση στα άκρα. Αλλά σταθερή τάση χορδής σημαίνει μηδενική δυναμική ενέργεια. Και επειδή μηδενική επιμήκυνση δεν θα έχει μόνον η χορδή αλλά και κάθε τμήμα της, άρα το κάθε τμήμα της χορδής θα έχει μηδενική δυναμική ενέργεια.
Στη διαπραγμάτευση που έκανα θεώρησα ότι το T είναι σταθερό και χρονικά και χωρικά. Και με τα μαθηματικά οδηγήθηκα ότι η ενέργεια είναι μόνο κινητική.
Νίκο κάνεις ένα λάθος.
Το θέμα δεν είναι τι θεωρώ εγώ και τι εσύ και τι ο οιοσδήποτε φίλος.
Είναι το τι βλέπουμε στην προσομοίωση.
Το interactive physics ούτε οριακές συνθήκες γνωρίζει, ούτε Μαθηματικά, ούτε καν σκέπτεται.
Είναι πασιφανέστατο το ότι εξαρτάται από την κλίση του τμήματος. Είδες την εικόνα; Διάβασες τους μετρητές;
Ας υποθέσουμε ότι εγώ ενστερνιζόμουν την άποψή σου. Για να την επιβεβαιώσω κατασκευάζω την προσομοίωση και…..
-Περίεργο! Οι μετρητές μηδενικής κλίσης δείχνουν μηδέν! Ο μετρητής μεγαλύτερης κλίσης δείχνει μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια!!
Μετά την προσομοίωση που κατασκεύασα πρέπει να συνεχίσω να ενστερνίζομαι την θέση σου;
Νίκο ένας πίνακας του Bezzuoli:
Νίκο και Γιάννη καλημέρα σας.
Νίκο εξακολουθώ να έχω την εντύπωση ότι αδικείς το μοντέλο σου. Το διάνυσμα e είναι πάντα εφαπτόμενο στα σημεία της χορδής, η οποία καμπυλώνεται, ως εκ τούτου δεν είναι ευκλείδειο (αλλάζει συνεχώς διεύθυνση ανάλογα με την στιγμιαία τοπική γεωμετρία της χορδής). Σε ένα καρτεσιανό (ευκλείδειο) χώρο θα ήταν σταθερό, τοπικά και χρονικά. Απέδειξες δε με ευρηματικό τρόπο ότι για μικρές μετατοπίσεις της χορδής εξαρτάται από τον όρο dn/dx στην σχέση (1). Στην συνέχεια βρίσκεις τον ρυθμό μεταβολής του χωρίς να απαλείψεις τον όρο αυτό, ο οποίος σε οδηγεί στην βαθμίδα της ταχύτητας (σχέση (2)) και στην κυματική εξίσωση που υπακούει το διάνυσμα e. Από την αρχή μέχρι την κυματική εξίσωση ο όρος dn/dx βρίσκεται, έμμεσα ή άμεσα, σε όλες τις εξισώσεις. Γιατί λοιπόν απαλείφεται στην πυκνότητα ενέργειας;
Τα μαθηματικά είναι εντάξει μέχρι το εσωτερικό γινόμενο. Μετά δεν είναι, γιατί:
Σύμφωνα με το αποτέλεσμα (1), αν e.e=1, τότε
(x+δn/δx).(x+δn/δx)=1=>1+(δn/δx)^2+2x.(δn/δx)=1=>(δn/δx)=0… δηλαδή το διάνυσμα n είναι ανεξάρτητο του x, άρα το ίδιο σε όλο το μήκος της χορδής σε κάθε χρονική στιγμή. Η χορδή μετακινείται ολόκληρη ως να ήταν στερεά.
Επίσης, και πάλι μέσω της (1), e=x=>(δe/δx=0 και δe/δt=0) ή κυματική εξίσωση τέλος.