by 
Παρουσιάζω εδώ μια αναλυτική μελέτη της ενεργειακής πυκνότητας ενός εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή. Η μελέτη αυτή είναι στα βήματα μιας μελέτης που παρουσίασα πρόσφατα για την ενεργειακή πυκνότητα διαμήκους κύματος σε τεντωμένη χορδή. Καταλήγω στο συμπέρασμα ότι στο εγκάρσιο κύμα η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική.
Η μελέτη εδώ.
Καλημέρα Νίκο.
Το ότι η τελική εξίσωση δίνει την ολική ενέργεια ως συνάρτηση της μάζας και της ταχύτητας, δεν νομίζω να αποδεικνύει το συμπέρασμα που λες. Δηλαδή ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική.
Καλημέρα Διονύση.
Δεν καταλήγω ότι η ολική ενέργεια είναι συνάρτηση της μάζας και της ταχύτητας, αλλά ότι η πυκνότητα ολικής ενέργειας είναι ίση με την πυκνότητα κινητικής ενέργειας. Αλλά κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο αφού εξ αρχής έκανα την υπόθεση ότι η τάση κατά μήκος της χορδής είναι σταθερή συνάρτηση του x και του t. Ο λόγος που την έκανα σταθερή ήταν ότι αλλιώς δεν έβγαινε η κυματική εξίσωση.
Καλημέρα Νίκο.
Διάβασα την μελέτη σου και θα ήθελα να μου διευκρινίσεις δύο σημεία:
Στην ολοκλήρωση της σχέσης (24) θα προκύψει μία συνάρτηση δ(x,t), η οποία εξαρτάται και από τον χρόνο, εφ' όσον ο ρυθμός μεταβολής της πυκνότητας ενέργειας εξαρτάται επίσης από τον χρόνο. Συνεπώς η πυκνότητα ενέργειας ακόμη και όταν το κύμα αποσβεστεί θα μεταβάλλεται χρονικά… (προφανώς κάτι δεν καταλαβαίνω?). Εκτός και αν η συνάρτηση δ(x,t) επίσης μηδενίζεται όταν αποσβεστεί το κύμα (το οποίο μου φαίνεται λογικό).
Το δεύτερο σημείο (το οποίο άμεσα εξαρτάται από το πρώτο) είναι ποια ακριβώς είναι η ενέργεια αναφοράς;
Στάθη, δεν είναι έτσι ακριβώς όπως τα λες. Εξέτασε την (25) και δες τι μορφή θα είχε η χρονική της παράγωγος αν η δ δεν μηδενιζόταν στην παραγώγιση. Αν η δ μηδενίζεται στην χρονική παραγώγιση, σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από το t.
Το συμπέρασμα ότι η ολική ενέργεια δεν περιέχει όρο δυναμικής ενέργειας προέρχεται από την υπόθεση που έγινε στην αρχή, ότι η Τ(x,t) είναι σταθερά. Στο υλικονετ είχε επικρατήσει η άποψη ότι η τάση εξαρτάται από την κλίση του ΑΒ που οδηγούσε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει όρος δυναμικής ενέργειας. Εγω δεν βλέπω τρόπο να στηρίζεται η κυματική εξίσωση σε ένα εγκάρσιο κύμα στο οποίο η τάση δεν είναι σταθερή ως προς x και ως προς t.
Η ενέργεια αναφοράς είναι η ενέργεια μιας ελαστικής χορδής υπό τάση Τ.
Συνεπώς Νίκο ισχυρίζεσαι ότι η δ δεν εξαρτάται χρονικά, σωστά;
Δηλαδή Νίκο, υποθέτεις εξαρχής ότι η τάση είναι σταθερή, χωρίς προσεγγίσεις και οποιαδήποτε μεταβολή της.
Αυτό εμένα μου λέει ότι δεν υπάρχει καμιά παραμόρφωση, που ισοδύναμα οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν μπορεί να υπάρχει δυναμική ενέργεια!
Τι ακριβώς θα σήμαινε δυναμική ενέργεια, παρά ενέργεια που να είναι “ενέργεια παραμόρφωσης”;
Αλλά, αν δεν υπάρχει παραμόρφωση, τότε τι ακριβώς νόημα έχει η “διάδοση διαταραχής” (κύματος);
Τείνω να συμφωνήσω με τον Διονύση…
Αντιλαμβάνομαι την απαίτηση η τάση να είναι χωρικά ανεξάρτητη για να προκύψει εξίσωση κύματος, αλλά γιατί δεν μεταβάλλεται χρονικά μέσω της κλίσης της; Συγκεκριμένα στην προσέγγιση μικρών κλίσεων που υιοθετούμε η οριζόντια συνισταμένη τάση μηδενίζεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής αλλά η κατακόρυφη προκύπτει ανάλογη της κλίσης (θυμίζει το απλό εκκρεμές για μικρές γωνίες αιώρησης).
Στάθη και Διονύση, τα πράγματα είναι απλά και μεις τα κάνουμε πολύπλοκα. Η σχέση κλίσης-τάσης προκύπτει σε ένα μοντέλο που οι κινήσεις των σημείων είναι κάθετες στον άξονα. Μα αυτό το μοντέλου δεν έχει προκύψει από κάπου (πχ από πείραμα). Κάποιοι το υιοθέτησαν και μελέτησαν τις συνέπειες.
Το ότι οι κινήσεις των σημείων της χορδής χαρακτηρίζονται εγκάρσιες αυτό δεν σημαίνει ότι το τυχαίο σημείο Α της χορδής κινείται συνέχεια σε μια ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα. Τα σημεία κινούνται σε καμπύλες που είναι κατά προσέγγιση ευθείες κάθετες στον άξονα. Άρα δεν θα ήταν καλό να στηριχθούμε σ΄ αυτό το μοντέλο για να ορίσουμε δυναμική ενέργεια σε στοιχειώδες τμήμα χορδής.
Η δική μου θεώρηση είναι ότι η εγκάρσια κίνηση των σημείων της χορδής είναι τέτοια ώστε να μην δημιουργούνται τοπικές παραμορφώσεις και η τάση να είναι ενιαία σ΄ όλο το μήκος. Η θεώρηση αυτή έχει το προσόν ότι διευκολύνει τη μελέτη. Επί πλέον είναι συμβατή και με την αρχή της ελάχιστης ενέργειας. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το μοντέλο που κυριαρχεί στο υλικονετ, η πυκνότητα ενέργειας στην εγκάρσια ταλάντωση είναι μvv ενώ στο δικό μου μοντέλο είναι η μίση από αυτή. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, όταν η τάση μοιράζεται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος, το σύστημα χαλαρώνει ενεργειακά.
Όταν λέμε "διάδοση διαταραχής" Διονύση, εννοούμε ότι η χωρική συνάρτηση κάποιας ποσότητας κατά μήκος της χορδής μεταφέρεται σε άλλη περιοχή της χορδής με την πάροδο του χρόνου.
Νίκο, θυμάσαι από τις καλοκαιρινές ανταλλαγές επιχειρημάτων, ότι έχουμε διαφορετική ματιά στο θέμα και δεν περιμένω να συμφωνήσουμε ξαφνικά!
Αλλά το να γράφεις:
"Όταν λέμε "διάδοση διαταραχής" Διονύση, εννοούμε ότι η χωρική συνάρτηση κάποιας ποσότητας κατά μήκος της χορδής μεταφέρεται σε άλλη περιοχή της χορδής με την πάροδο του χρόνου."
μάλλον υποτιμάς τα λεγόμενά μου. Λες αυτή να ήταν η "απορία μου";
Ας το γράψω λοιπόν αναλυτικά. Είτε δεχθείς ότι οι κινήσεις είναι κάθετες στον άξονα, είτε δεχτώ ότι ένα σημείο της χορδής κινείται σε καμπύλες, το κοινό στοιχείο είναι η τοπική παραμόρφωση της χορδής. Αυτή η παραμόρφωση (από την ευθεία) διαδίδεται, αλλά αυτή η παραμόρφωση συνδέεται με κάποια ενέργεια, που ονομάζεται (και όχι από μένα… δεν διεκδικώ την πατρότητα της ιδέας!) δυναμική ενέργεια….
Και κάτι ακόμη Νίκο.
Δεν υπάρχει θέση του υλικονέτ πάνω στο θέμα. Υπάρχουν προσωπικές απόψεις των μελών του, όπως για παράδειγμα διαφορετική είναι η αντιμετώπιση από μένα και σένα. Τίποτα περισσότερο.
Από εκεί και πέρα, πάνω στο εγκάρσιο κύμα σε χορδή έχουν γράψει πολλοί φίλοι, όπως ο Γιάννης (Κυρ) και πρόσφατα ο Κωνσταντίνος Σαράμπαλης εδώ.
Το να διαφωνείς με τις τοποθετήσεις αυτές, προφανώς είναι δικαίωμά σου.
Νίκο εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω ποια ακριβώς είναι αυτή η ενέργεια αναφοράς δ… και γιατί είναι χρονικά μη εξαρτημένη. Για παράδειγμα πώς μπορώ να την υπολογίσω; Και τι γίνεται με τις στάσιμες καταστάσεις της χορδής όπου δεν υπάρχει απόσβεση, εκεί πώς ορίζεται; Επίσης δεν κατάλαβα ποιο είναι το πρόβλημα αν παραγωγίσω την σχέση (25).
Οι απορίες μου πηγάζουν από καθαρό ενδιαφέρον και όχι από πρόθεση αντιδικίας και φυσικά δεν δέχομαι το επιχείρημα ότι κάνουμε τα εύκολα δύσκολα… Για μένα τουλάχιστον είναι δυσνόητα.
Και μια παράλειψή μου.
Πάνω στο θέμα έχει κάνει και μια πολύ σημαντική ανάρτηση, ο αείμνηστος Βαγγέλης Κορφιάτης:
Με ποιο ρυθμό διαδίδονται η κυματική ενέργεια και ορμή;
Καλησπέρα παιδιά.
Η αλήθεια είναι ότι δεν μπορώ να παρακολουθήσω την ιδέα.
Δηλαδή αντιλαμβάνομαι ως δυναμική ενέργεια μιας μικρής περιοχής του ελαστικού μέσου, την οφειλόμενη σε παραμόρφωση της περιοχής.
Κάτι διαφορετικό δεν το συλλαμβάνω.
Χαιρετίζω την παρέα που έγινε μεγάλη!
Λοιπόν επαναλαμβάνω κάτι που ήδη έχω γράψει. Έγραψα:
Η δική μου θεώρηση είναι ότι η εγκάρσια κίνηση των σημείων της χορδής είναι τέτοια ώστε να μην δημιουργούνται τοπικές παραμορφώσεις και η τάση να είναι ενιαία σ΄ όλο το μήκος.
Φαίνεται ότι ο Διονύσης δεν το παρατήρησε και έγραψε ότι:
Ας το γράψω λοιπόν αναλυτικά. Είτε δεχθείς ότι οι κινήσεις είναι κάθετες στον άξονα, είτε δεχτώ ότι ένα σημείο της χορδής κινείται σε καμπύλες, το κοινό στοιχείο είναι η τοπική παραμόρφωση της χορδής.
Αν η κίνηση των σημείων της χορδής διέπεται από κάποιο νόμο, ο νόμος αυτός είναι ο εξής:
Τα σημεία κινούνται έτσι ώστε να μην δημιουργούνται τοπικές παραμορφώσεις.
Οπότε περιμένω να με ρωτήσετε αν μπορώ να το αποδείξω.
Και απαντώ ευθέως πως όχι. Δεν μπορώ να το αποδείξω. Απλά θεωρώ ότι δουλεύει καλύτερα από το αντίπαλο μοντέλο. Γιατί βγάζω κυματική εξίσωση. Γιατί ελαχιστοποιώ την ενέργεια.
Άλλωστε είναι ένα μοντέλο που απαιτεί μικρές αποκλίσεις από την καθετότητα (της τάξης της 1 μοίρας).
Πάντως εγώ ξέρω ότι όταν υπάρχει διαφωνία σε επιστημονικό θέμα, ανατρέχουμε σε έγκυρη βιβλιογραφία. Υποστηρίζει η βιβλιογραφία το μοντέλο των τοπικών παραμορφώσεων; Πάντως εγώ όταν ήμουν φοιτητής πριν το 84 δεν είχα ακούσει κάτι τέτοιο (λέτε να εξελίχθηκε η επιστήμη από τότε;)
Στάθη, δεν ξεκαθάρισα ακόμα που βλέπεις το λάθος.
Να σου απαντήσω Γιάννη: αν, ως συνέπεια της κυματικής κίνησης, η χορδή επιμηκύνεται κατά 1%, τότε αν πάρεις οποιοδήποτε τμήμα της, επιμηκύνεται κατά 1%. Τόσο απλά. Απορώ τι δεν καταλαβαίνεις.